中考数学专题复习练习：圆周角

中考数学专题复习练习：圆周角

例 在半径等于5cm的圆内有长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）．‎ ‎ （A）60°或120° （B）30°或120° （C）60° （D）120°‎ 解：如图， OA＝OB＝5cm，AB＝5cm．过O作OC上AB于C，‎ 则AC=cm．∵sinα= ‎ ‎ ∵α为锐角，∴α=60°． ∴∠AOB=120°．‎ ‎ 当圆周角的顶点在优弧上时，得∠ADB=60°；当圆周角的顶点在劣弧上时．得∠AD’B＝120°．‎ ‎ ∴此弦所对的圆周角为60°或120°．‎ 说明：此题为基础题，求一条弦所对的圆周角．圆周角的顶点可以在这条弦所对的优孤上，也可以这这条弦所对的劣弧上．‎ 例 （河南省，2002）已知：如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E作EF⊥BC，垂足为F，且BF:FC=5:1，AB=8，AE=2．求EC的长．‎ 分析：连结BE，构造直角三角形，并出现典型的双垂直图形，通过解直角三角形解得．‎ 解：如图，连结BE，则BE⊥AC，‎ ‎∴，‎ 设BF=5x，BC=6x．‎ ‎∵EF⊥BC，∠EBF=∠CBE，‎ ‎∴△BEF∽△BCE，∴．即60=5x·6x，∵FC>0，∴．‎ ‎∴，∵，∴．‎ 说明：①添加辅助线，构造直角三角形；②构成典型的双垂直图形，非常重要．‎ 例 （陕西省，2002）已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E．‎ ‎（1）求证：BE·BF=BD·BC；‎ ‎（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．‎ 分析：（1）连结FC，证△BDE∽△BCF即可；（2）要比较两条线段的大小，通常是把两条线段转移到一个三角形内，利用大角对大边来判断．‎ 证明：（1）连结FC，则BF⊥FC．‎ 在△BDE和△BCF中，‎ ‎∵∠BEC=∠EDB=90°，∠EBC=∠EBD，∴△BDE∽△BCF．‎ ‎∴，即BE·BF=BD·BC．‎ 解：（2）AE>BD，连结AC、AB，则∠BAC=90°，∵=，∴∠1=∠2．‎ 又∵∠2+∠ABC=90°，∠3+∠ABD=90°，∴∠2=∠3，∴AE=BE．‎ 在Rt△EBD中，BE>BD，∴AE>BD．‎ 说明：①训练学生添加辅助线；②第（2）小问是教材P102中3题的拓展．‎ 例 （太原市，2002）如图，已知BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE=BF．‎ ‎（1）求证：=；‎ ‎（2）如果sin∠FBC=，AB，求AD的长．‎ 解：（1）连结AC．∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，‎ 又AD⊥BC，垂足为D，∴∠1=∠3．‎ 在△AEB中，AE=BE，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3，=．‎ ‎（2）设DE=3x，∵AD⊥BC，sin∠FBC=，∴BE=5x，BD=4x．‎ ‎∵AE=BE，∴AE=5x，AD=8x．‎ 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AB，∴．‎ 解这个方程，得 x=1，∴AD=8．‎ 说明：①此题是教材P102中3题的变形；②训练学生求线段长度的方法：直接求和列方程求解．‎ 典型例题五 例 如图，等腰三角形中，，顶角为，以其一腰为直径作半圆分别交、于、，求的度数.‎ 分析：一般在圆或半圆中要作出一些辅助线构成直角.‎ 本题若连结，则为直径，和互相垂直，再应用等腰三角形三线合一的性质，问题就解决了.‎ 解 连结，为直径，‎ 又，，‎ ‎，同理，，‎ 说明：弧的度数等于它所对的圆心角的度数，也等于它所对的圆周角的度数的2倍.已知中有关于直径的条件时，常添辅助线使之构成直角三角形.‎ 典型例题六 例 （辽宁省试题，2002）已知：如图，AB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，连结AC，过点C作直线于D（），点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线CD交于点G.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明，若不成立，请说明理由.‎ ‎（1）证明：‎ 证法一：‎ 延长CG交⊙O于H ‎，∴‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴∽‎ ‎∴‎ 即 证法二：‎ 连结CB 是直径，‎ ‎∴Rt∽Rt ‎∴‎ 又，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴∽‎ ‎∴‎ 即 ‎（2）当点E是AD（点A除外）上任意一点时，上述结论仍成立.‎ ⅰ）如图（1），当点E是AD（点A除外）上任意一点（不包括点D）时.‎ 证法一：设CG与⊙O交于H ‎，∴‎ ‎∴‎ 又 ‎∴∽‎ ‎∴‎ 即 证法二：如图（2），连结CB ‎∵Rt∽Rt ‎∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴∽‎ ‎∴‎ 即 ⅱ）如图（3），当点E与点D重合时，F与G也重合，有，‎ ‎，∴‎ ‎∴‎ 因此.‎ 典型例题七 例 如图，已知：在⊙中，弦，于，求证：.‎ 分析：设法找出长为的线段，由为的中点，联想到中位线定理，进而构造出有关的基本图形，作直径，连，则是的中位线，下面再设法证明 ‎.‎ 证明 作直径，连结、‎ 于点，为的中点，‎ 为的中位线，‎ 为⊙的直径，‎ 为直角，即：‎ 有，‎ ‎ ‎ 说明：在圆的问题里，作直径是常见的辅助线，由此可得到很多结果；利用与圆有关的角的性质，将圆内线段相等的问题转化为角的相等问题，也是一种重要的证题思路.‎ 典型例题八 例 已知以的一边为直径作圆交另一边于，过引于，交圆于.交于，如图，求证：.‎ 分析：本题重在考查灵活运用圆周角变换构造相似三角形创建比例线段的能力，要证明的线段共线，怎样“非线性化”呢？咋一看，有一筹莫展之感，但转化为乘积式 就有了“柳暗花明”由可创造，于是转证，再转化为证比例式：.‎ 证明 连结、，则 ‎，‎ ‎.‎ 下面证明：，即.‎ ‎，‎ ‎、、、共圆 ‎，‎ 又，，‎ ‎∽，‎ 故 ‎，‎ ‎.‎ 说明：把“共线比例式非线性化”的途径因题而异，本题运用射影定理以取代来完成，射影定理也是创建比例式的重要依据.‎ 典型例题九 例 如图，为⊙的直径，为弦，为延长线上一点，且，的延长线交⊙于，求证：‎ 分析：要证而，也就是证，转证，由为直径可得，故证出结论.‎ 证明 连结 为⊙的直径，‎ 说明：这是证斜边中线的问题.‎ 典型例题十 例 如图，已知：内接于⊙，、在边上，且，，求证：‎ 分析：要证，由题知，不能直接证出，故需添加辅助线，而由圆周角，想到了作、的对弧，构造弦等、弧等的条件.‎ 证明 分别延长、，它们分别交⊙于、，连结、‎ 说明：在圆中有相等的圆周角时常作它们所对的弧和弦，利用在圆周或等圆中相等的圆周角所对的弧等以及圆心角、弦、弦心距之间关系定理证题.‎ 典型例题十一 例 如图，中，是⊙的弦，交⊙于，作的外角平分线交⊙于，连.求证：.‎ 证明 ∵ ∴ ‎ 又， 平分，‎ ‎∴ .∴ ∥.‎ 又 ∵ ∴ ‎ ‎∴ ∥.∴ 四边形是平行四边形.‎ 说明：本题考查圆周角定理的推论的应用，解题关键是找到同弧所对的圆周角.‎ 典型例题十二 例 求证：三角形两边之积等于其外接圆直径与第三边的高的积.‎ 已知 如图，⊙是的外接圆，是的高，是⊙的直径.‎ 求证：.‎ 证明 连结.∵ 是直径，∴ .‎ ‎∵ ，∴ .‎ ‎∵ ，∴ ∽.‎ ‎∴ .∴ .‎ 说明：本题考查圆周角定理的应用，题目的结论告诉我们一个求三角形外接圆直径的方法.解题关键是连，构造，易错点是忽视先写已知，求证.‎ 典型例题十三 例 如图，为⊙的弦，过两点任作一⊙，交于，交⊙于.‎ 求证：‎ 证明 连 则.‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ，∴ .∴ .‎ 说明：本题考查圆周角定理的应用，解题关键是作出辅助线，易错点是作错或作不出正确的辅助线，使解题思路受阻.‎ 典型例题十四 例 如图，内接于⊙，的垂直平分线与、分别相交于、，与的延长线相交于，与相交于D.‎ ‎ 求证：‎ ‎ 证明 连结、，‎ ‎ 垂直平分，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 又，∽，‎ ‎ ‎ 又 ‎ 又 ∽‎ ‎ 即：‎ 说明：由于本题的结论可转化为，所以需要证明∽，而证这两个三角形相似的关键在于证；为此又需要证明∽，要证这两个三角形相似，关键又在于证得.观察图形特征，可发现这两个角的补角有如下关系：是所对圆心角的一半，是所对的圆周角.它也等于的一半.这个关键问题一解决，本题便能顺利获证.这种图形具有一定的普遍意义，同学们应重点注意.‎ 选择题 ‎1．下列命题中，正确的个数为（）‎ ‎（1）相等的圆周角所对的弧相等 ‎（2）同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 ‎（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 ‎（4）等弧所对的圆周角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．一条弦分圆周为，这条弦所对的两个圆周角为（）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎3、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）．‎ ‎ （A）30° （B）150° （C）30°或150° （D）)60°‎ ‎4、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则的度数为（ ）．‎ ‎ （A）60° （B）80° （C）100° （D）)120°‎ ‎5、如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．‎ ‎ （A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎6、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（ ）‎ ‎（A）70° （B）65° （C）60° （D）)50°‎ ‎7．如图，，，均为⊙上的点，，则等于（）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，正方形，，在半圆的直径上，，在半圆上，正方形的边长为1，，，则下列式子中不正确的是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知下列四个命题：①过原点O的直线的解析式为.②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.④在同圆或等圆中，若圆周角不等，则所对的弦也不等，其中正确的命题是（ ）‎ A．只有①② B．①②③ C．①②④ D．②③④‎ ‎10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的度数是（ ）‎ A．80° B．100° C．140° D．160°‎ ‎11．如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦，如果为40°的弧，那么的度数为（ ）‎ A．110° B．80° C．40° D．70°‎ ‎12．如图，A、B、C、D是圆上四点，AB、DC延长线交于点E，分别为120°、40°，则等于（ ）‎ A．40° B．35° C．60° D．30°‎ ‎13．使用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆形的凹面，成半圆形的为合格，如图所示的四种情况中的合格的是（ ）‎ ‎14．已知，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若，则所对的弧的度数为（ ）‎ A． ‎40° B．100° C．120° D．30°‎ ‎15．如图，A、B、C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，的度数为（ ）‎ A．40° B．100° C．120° D．30°‎ ‎16．如图，A、B、C是⊙O上的三点，角那么等于（ ）‎ A．70° B．110° C．140° D．220°‎ ‎17．如图，BC为半圆O直径，A、D为半圆O上两点，，则的度数是（ ）‎ A．60° B．120° C．135° D．150°‎ ‎18．如图所示，AD是Rt 的斜边BC上的高，，过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G，则图中与相似的三角形的个数为（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎19．如图，图中圆周角的个数是（　　）．‎ ‎　A．9个　　B．12个　　C．8个　　D．14个 ‎20．如图，是的中点，与相等的角的个数是（　　）．‎ ‎　A．7个　　B．3个　　C．2个　　D．1个 ‎21．已知：如图，是⊙直径，弦，交于．则（　　）．‎ ‎　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎22．如图，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，点是直径上一动点，⊙的半径为1，则的最小值为（　　）．（荆门市，2000）‎ ‎　A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ 答案与提示：‎ ‎1．B 2. B 3、C； 4、A； 5、B； 6、B； 7. A 8. D.9．C 10．C 11．A 12．B 13．C 14．C 15．C 16．C 17．C 18．C. 19．B；20．B 21．B；22．C，提示：作关于的对称点，连，交于．则最小，的最小值为；‎ 填空题 ‎1.如图，已知⊙的弦、相交于点，的度数为，度数为，则 ‎= ‎ ‎2.如图，已知是⊙直径，是圆上任意一点（不与点重合），连结，并延长到，使，连结，则的形状是 三角形。‎ ‎3.如图，内接于⊙，，，则 ‎4.在⊙中，圆心角，则弦所对圆周角的度数是 ‎ ‎5.如图，为圆心，弦与直径平行，且交于点，若，，则梯形的面积为__________‎ ‎6. 如图，已知是⊙直径，是弦，，并且和的度数都等于，那么的长是________‎ ‎7、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4‎ ‎:5，那么这个三角形内角的度数分别为 ．‎ ‎8．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，与⊙O切于C，那么度.‎ ‎9．如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知，度.‎ ‎10．如图BA是半圆O的直径，点C在⊙O上，若，度.‎ ‎11．为⊙的直径，，为⊙上的点，且，在两旁，，则=___________．‎ ‎12．如图，，则________．‎ ‎13．如果一条弦分圆为两部分，那么这条弧所对的圆周角的度数分别是_________．‎ ‎14．已知点为外心，，则________．‎ ‎15．如图，已知四边形中，，则_______．‎ 答案:‎ ‎1. 2. 等腰 3. 4. 或 5. ‎6. 5. 7‎、45°，60°，75°. 8．30 9．100 10．100° 10．40 11．；12．；13．或；14．；15．.‎ 解答题 ‎1、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．‎ ‎（第2题）‎ ‎（第1题）‎ ‎2、已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证： ‎ ‎3．已知：在⊙中，直径，弦，的平分线交⊙于，求、和的长。‎ ‎4．已知：如图，内接于⊙，过圆心作的垂线交⊙于点、两点，交于，、的延长线交于点，求证：‎ ‎5．如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于，求的度数.‎ ‎ 6．已知：如图在⊙中，过圆心，且，垂足为，过点任作一弦 交⊙于，交于，求证：‎ ‎7．如图，两弦、交圆内于点，度数是，度数是，而与面积之和为，求这两个三角形的面积。‎ ‎8．如图，为直径，两弦．求证：．‎ ‎9．如图，已知⊙中所对的圆周角是，圆心角是，圆心在内部，求证：．（黑龙江省，1994）‎ ‎10．如图，中，已知，，以为直径的圆分别交、于、，求，，的度数．‎ ‎11．已知：如图，内接于⊙，过圆心作的垂线交⊙于点，，交于点．，的延长线于．求证：．（南京市，1998）‎ ‎12．如图，内接于⊙，，弦于点，是⊙的直径，连结，．已知，．(1)求证：；(2)求⊙的半径及的值．（温州市，2000）‎ ‎13．如图，为直径，为半圆上任一点，为中点，于．求证：．‎ ‎14．如图，是⊙的直径上一点，，交⊙于，的平分线交⊙于，当点在半径（包括点，但不包括点）上移动，试比较与 的大小，并证明你的结论．‎ 答案与提示：‎ 提示：1、提示：连结BC，构成双垂直三角形，由△ADC∽△ACB，△ADC∽△CDB得比例式，求得CD=6cm，AC=cm．‎ ‎2、提示：连结AD，可证∠C=∠D=∠BAG，△ABG∽△CBA即可．3．，‎ ‎4．提示：连结、、证∽‎ ‎5． 6. 略 7．提示：证明∽.利用相似三角形面积之比等于相似比.‎ ‎8．连，证；‎ ‎9．连并延长交⊙于；10．连，．，，的度数分别是，，．11．连．证∽；‎ ‎12．(1)∵，∴为直径．又∵，∴．又∵，∴；(2)⊙的半径等于，．13．连．证，．‎ ‎14．＝．证明：连．，，则．∴＝．‎