中考数学专题复习练习：三边关系

中考数学专题复习练习：三边关系

典型例题一 例01．在中，，并且AC为奇数，那么的周长是多少？‎ 分析：已知三角形两边，可以求第三边范围：‎ ‎，有 即 而第三边为奇数，所以，从而总是可求，‎ 解答：根据三角形三边关系有 ‎∴ ‎ 即 ‎ 又 ∵AC为奇数 ‎∴‎ ‎∴的周长 典型例题二 例02．如图，在等腰中，，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长. ‎ 分析 由题意可知，中线BD将的周长分成和两部分，故有两种可能. ‎ ‎（1） （2）‎ 再由，知（1）式成立，（2）式不成立. ‎ 解答：设，则 ‎（1）当时 有 ∴‎ ‎（2）当时，‎ 有 ‎∴ ∴‎ ‎∵‎ 故不能组成三角形 答：三角形的腰长为10，底边长为1. ‎ 例03．已知年度为的四条线段，能组成多少个不等边三角形？‎ 分析：四条线段中任取三条线段能否组成三角形，只要验证：较短的两条线段长之和是否大于第三条线段的长. ‎ 解答：可经组成三个不等边三角形，它们的三边长分别为2,3，4，5；2，4，5. ‎ 典型例题四 例04．已知等腰三角形的周长是14，底边与腰的比为，求各边的长. ‎ 分析：求等腰三角形各边的长，即需求出其底与腰长即可，可以通过方程组求解. ‎ 解答：由题意可设等腰三角形底边与腰的长为，. ‎ 则 解之得. ‎ 答：底边长为6，腰长为4. ‎ 说明：本题也可设底边的长为，则腰长为或设腰长为，则底边的长为.‎ 典型例题五 例05．如图，D是内任意一点，BD延长线与AC交于E点，连结DC. ‎ 求证：. ‎ 分析 求证的结论是边的不等关系，因此，应考虑本节定理“两边之和大于第三边”，将AB、AC、BD、DC联系起来的三角形有、‎ 证明：在中，‎ ‎∵ ‎ 即 ‎ 而在中，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 典型例题六 例06．如图，O为内一点. ‎ 求证：‎ 分析：由三角形的三边关系可知：‎ 在中， ①‎ 在中， ②‎ 在中， ③‎ 将上面的三式相加 ‎①＋②＋③得 从而得证 证明：在中，‎ ‎ ①‎ 在中 ②‎ 在中， ③‎ ‎①＋②＋③得 即：‎ 典型例题七 例07．两根木棒的长分别为3和5，要选择第三根木棒，将它钉成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒的长是多少？‎ 分析：这是一个利用三角形三边关系，已知两边，确定第三边的总是，再加第三边为偶数的限制，则可确定具体的长度是多少厘米. ‎ 解答：设第三根木棒的长为，依据三角形三边关系可得 ‎∴ ‎ 又 ∵为偶数，‎ 故只能取4或6‎ 答：第三根木棒的长是4或6. ‎ 与三角形三边关系定理有关的题目 ‎　‎ 分析：在已知三角形的两边为时，则第三边的取值范围为：‎ ‎　特别注意用“两边之差小于第三边”时，一定用较大的边减去小 的边，在不知谁大时，为了保证两边的差非负，需加绝对值.‎ 解：（1）根据三角形三边关系有 ‎　　‎ ‎　（2）（略）‎ 说明：解本题的关键是根据三角形三边关系定理及推论并结合题设条件列出不等式组.‎ 实际应用题 ‎　A B C D 例　草原上有4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，如图1现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离HA+HB+HC+HD为最小，说明理由.‎ 分析：此题是一个实际问题，首先应转化为 H P 数学问题，即转化为三角形，再利用三角形 三边关系定理求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解：维修站应建在两条对角线的交点H处 理由如下：‎ 取不同于H的点P，三角形的两边　之和大于第三边 有：PD+PB＞HD+HB　　PC+PA＞HC+HA 所以：PD+PB+PC+PA＞HD+HC+HB+HA 即HD+HC+HB+HA为最小.‎ 说明：此题是一道典型问题――求线段之和最值问题，首先要找到符合条件的点，然后说明理由.所应用的解决方法也是常见的方法，需要添加辅助线，构成新的三角形，然后运用三角形三边关系定理.‎ 选择题 ‎（1）以下列长度①1，2，3 ②2，3，4 ③4，5，6 ④4，5，10的三条线段为边，能组成三角形的组数是（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（2）已知等腰三角形的一条边等于4，另一条边等于9，那么这个三角形的周长是（ ）‎ ‎（A）17 （B）22 （C）17或22 （D）以上都不对 ‎（3）有木条4根，长度分别是12厘米，10厘米，8厘米和4厘米，选其中三根组成三角形，则选择的种数有（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（4）有下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）‎ ‎（A）4，，10 （B）4，6，10‎ ‎（C）1，1，100 （D）1，100，100‎ ‎ 参考答案：‎ ‎ （1）B （2）B （3）C （4）D 填空题 ‎（1）在中，若，则的取值范围是_______.‎ ‎（2）三角形两条边长分别是和，周长恰好是6的倍数，则第三边长是_______.‎ ‎（3）等腰三角形的两条边长分别为4和9，则这个三角形的腰长为_______.‎ ‎（4）三角形两条边长分别是和，若第三边的数值是偶数，则这个三角形的周长是______，若第三边的数值是奇数，则这个三角形的周长是________.‎ ‎（5）的周长是，、、为三边长，且，，则______，______，_______.‎ ‎ 参考答案：‎ ‎（1） （2） （3）9 （4）或， （5），，‎ 解答题 ‎1．解答题 等腰三角形ABC中，一腰AC上的中线把三角形的周长分为和两部分，求此三角形各边的长.‎ ‎2．证明题 如图，P为内任意一点，‎ 求证：‎ 参考答案：‎ ‎1.解：（1）当底边小于腰长时，如下图，依题意有：，‎ ‎.‎ ‎∵，D是AC中点，‎ ‎∴，从而.‎ ‎ ∴ ‎ ‎（2）当底边大于腰长时，如下图，则有，‎ 同上法可求得，‎ 上述两种情况解得的线段都构成三角形，故原题有两解.‎ ‎2．‎ 证明：延长AP交BC于D，则有 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①＋②得 ③‎ 即 ④‎ 同理可证： ⑤‎ ‎ ⑥‎ ‎④＋⑤＋⑥，整理得 ‎ ‎ 在中， ⑦‎ 在中 ⑧‎ 在中 ⑨‎ ‎⑦＋⑧＋⑨，整理即得 ‎∴ 有 能力 ‎1、如图，P是内一点，求证PB+PC＜AB+AC ‎ 提示：此题证明线段之和之间的不等问题 ‎ 要联想到三角形三边关系定理，‎ 由于涉及到的线段不在同一个三角形中，‎ 因此需要添加辅助线，构成新的三角形.‎ ‎2、若的边长是且满足，，试判断三角形的形状.‎ ‎ 答案: 等边三角形.‎ ‎3、已知一个三角形中两条边的长分别为且，那么这个三角形的周长t的取值范围（　　　）（希望杯试题）‎ 提示：解答本题的关键是应用“三角形三边关系定理及推论”，求出第三边c的取范围为：‎