中考数学专题复习练习：用公式解一元二次方程

中考数学专题复习练习：用公式解一元二次方程

典型例题一 例 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项，一次项及常数项.‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）（）‎ ‎（5）‎ 解：（1）整理，得 ‎ 二次项：，一次项，常数项0‎ ‎（2）整理，得：‎ 二次项：，一次项：，常数项：‎ ‎（3）整理，得：‎ ‎ ‎ ‎（4）整理得：‎ 二次项：，一次项：0，常数项：‎ ‎（5）整理得：‎ 二次项：，一次项：，常数项：‎ 说明：在移项，合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心.要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项的系数.特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号.‎ 典型例题二 例 解关于的方程 分析：此方程的字母没有任何限制，则为任何实数。所以此方程不一定是一元二次方程，因此需分和两种情况进行讨论。‎ 解：（1）当且时，原方程可变为 ‎∴ ‎ ‎（2）当时，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明：通过此题，在加强练习公式法的基础上，渗透分类的思想.‎ 典型例题三 例 关于的方程（）是不是一元二次方程？‎ 分析：此方程是不是一元二次方程，可直接根据定义判断，看它是否同时满足一元二次方程定义的条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.观察方程易知它已满足(1)、（2）两条，能否满足条件：‎ 解：‎ 由于时，‎ 所以不存在的值同时满足 故关于的方程（）不是一元二次方程.‎ 典型例题四 例 方程 ‎（1）取何值时，是一元二次方程，并求此方程的解；‎ ‎（2）取何值时，方程是一元一次方程.‎ 分析：此题应注意对项的指数与系数的讨论.‎ 解：（1）当且时，方程为一元二次方程.‎ 由 解得 又∵ 得 ‎∴ 时方程为一元二次方程.‎ 将代入原方程，‎ 得方程无实数解.‎ ‎（2）由得，且这时方程为一元一次方程.‎ ‎（时，和均无解.）‎ 说明：解一元二次方程时，是关键，在二次项系数是含字母的代数式时，应特别注意这一条件.‎ 典型例题五 例 已知是方程的根，化简.‎ 分析:可将方程的根代入方程,求出的值,再代入已知代数式化简之.‎ 解:将代入方程 得,‎ 解得 ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ =0.‎ 典型例题六 例 一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 .‎ 分析与解：该一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为2、4、，所以它们的和为5，故填5.‎ 说明: 根据一元二次方程的标准式先确定各项的系数及常数项, 然后相加即得所求,要注意常数项包括符号,即为.‎ 典型例题七 例 若是关于的一元二次方程，则（ ）.‎ ‎(A) 为任意实数 (B ) ‎ ‎(C) ( D) 或1‎ 分析与解：显然方程是关于 的整式方程，且方程中含有一个未知数，若想让它满足一元二次方程的定义，需使未知数的最高次数为2的系数，故应选（C）.‎ 典型例题八 例 用配方法解关于的方程：‎ 分析：要注意运用配方法解一元二次方程的方法步骤.‎ 解 原方程化为 ‎ 即 ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ 说明：用配方法解一元二次方程时，首先应将二次项系数化为1，然后移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，再在方程两边各加上一次项系数一半的平方，变形成的形式，如果右边是非负实数，就可以用直接开平方法解这个一元二次方程.‎ 典型例题九 例 解关于的方程：‎ ‎（）.‎ 分析：容易判断已知方程是关于的一元二次方程，由于方程含字母系数，所以在求解时必须在确定的前提下进行.‎ 解 ∵ ，‎ ‎∴ 原方程是关于的一元二次方程.‎ 又∵ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎∴ 当，时，，此时 故 ‎ 当时，，此时 ‎ ‎ ‎ 当时，，此时原方程没有实数解.‎ ‎ 说明：一元二次方程，当时，才可以运用求根公式求出它的两个根，而当时，原方程没有实数解.‎ 典型例题十 例 若两个关于的方程与有一个公共的实数根，求的值.‎ 分析：由题设可知，先设两个方程的公共根为，然后根据方程的解的定义，可将分别代入两个方程，再通过解方程组求得的值.‎ 解 设两个方程的公共根为，则 ‎（1）—（2），得 ‎（）+—1=0.‎ ‎∴ ‎ 由题设知与是两个不同的方程，所以，即 ‎∴ ，.‎ 把代入（1），得.‎ 说明：从上述解法可以看出，条件成为解题过程中关键的一步，而此条件的挖掘是解题能力的一种表现.‎ 典型例题十一 例 已知为非负实数，关于的方程：‎ ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ ‎（1）求证：方程（1）有两个非负实根，并求出这两个实根；‎ ‎（2）取什么值时，方程（1）与（2）有一个相同的实根？‎ 分析：对于方程（1），可通过因式分解求得它的两个根，然后判断是否为非负实数即可.对于问题（2），若方程（2）与（1）有一个相同的实根，那么可将（1）的实根分别代入求相应的值.‎ 证明 （1）将方程（1）的左边因式分解，得 ‎∴ 或 ‎∴ ‎ ‎∵ 是非负实数，‎ ‎∴ 方程（1）有两个非负实数根：‎ 解 （2）若是方程（1）和（2）的相同实根，把代入方程（2），得 解之，得=2.‎ 若是方程（1）和（2）的相同的实根，把代入（2），得 即 ‎∴ 或 由解得 ‎.‎ ‎∴ ‎ ‎∵ 是非负实数，而，‎ ‎∴ 不符合题意，舍去.‎ 故当=2或或时，两方程有一个相同的实根.‎ 说明：上述解证中，运用了解一元二次方程的有关方法，以及一元二次方程的概念等，本题具有一定的综合性.‎ 典型例题十三 例 把下列关于的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。‎ ‎（1）（）‎ ‎（2）（）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ 解：（1）（）‎ 二次项系数：，一次项系数：，常和项：‎ ‎（2）（）‎ 二次项系数：，‎ 一次项系数：0‎ 常数项：‎ ‎（3）‎ 二次项系数：2，‎ 一次项系数：‎ 常数项：‎ ‎（4）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二次项系数：，一次项系数：，常数项：1‎ 说明：对于字母系数的方程的整理，应先明确其未知数，再确定各项的系数，特别要注意，一定要讨论所除的二次项系数不能为0，因为一元二次方程只有在这个条件下才是有意义的。‎ 典型例题十四 例 用直接开平方法解下列方程 ‎（1）；（2）.‎ 分析 用直接开平方法解方程,要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负常数的形式,再根据平方根的定义求解.‎ 解：(1) 移项得：‎ 将方程各项都除以4‎ 得：‎ ‎∵ 是64的平方根 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎ ∴，‎ 说明：对于无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过应注意二次根式的化简。‎ 典型例题十五 例 用配方法解方程 ‎(1) ; (2) ‎ 解：(1) 移项得：‎ 配方得：‎ ‎ ‎ 解这个方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ ，‎ 说明: 配方法是解一元二次方程的重要方法,是导出求根公式的关键.熟练掌握完全平方式是用配方法解题的基础. 对于二次项系数是1的方程, 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方.‎ ‎(2) ‎ 分析 因为二次项系数不为1, 所以要先将方程各项同时除以二次项系数后,再配方.‎ 解：方程两边同除以3‎ 得 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明: “方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步,是配方法的关键, “将二次项系数化为1” 是进行这一关键步骤的重要前提.‎ 典型例题十六 例 用公式法解方程 ‎(1); (2) .‎ 解：(1) ‎ 移项得：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎(2) ‎ 移项得：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 说明：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般式；（2）确定出，，的值；（3）求出的值（或代数式）；（4）若，则可用求根公式求出方程的解，这样可以减少许多不必要的计算. 另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用, 其中也包括不完全的一元二次方程. ‎ 典型例题十七 例 解关于的方程 分析：解关于字母系数的方程时，一定要把字母看成已知数。‎ 解：∵ ‎ 又 ∵ ，‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明：用公式法解字母系数的一元二次方程，只要把字母看成已知数即可，步骤和不含字母的一元二次方程一样，也是分为四步. ‎ ‎ ‎ 典型例题十八 例 解下列方程 分析：（1）可设，用换元法解；（2）可用公式法求解.‎ 解 （1）设，则原方程可变为 ‎∴原方程有两个解 典型例题十九 例 解关于的方程 解：∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明：解此方程时，要注意的变化过程.注意的条件.‎ 典型例题二十 例 指出下列方程中哪些是一元二次方程 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ 解：（1）整理得：‎ 移项，合并得：‎ ‎∴ 是一元二次方程 ‎（2）移项得：‎ ‎∴ 是一元二次方程 ‎（3）‎ ‎∵方程的分母中含有未知数 ‎∴它不是一元二次方程 ‎（4）‎ ‎∵ 方程中含有两个未知数 ‎∴ 它不是一元二次方程 ‎（5）‎ ‎∵‎ ‎∴它是一元二次方程 ‎（6）整理得：‎ 移次，合并得：‎ ‎∵二次项系数合并后为0‎ ‎∴它不是一元二次方程 说明：对方程要先进行整理，然后再根据条件：‎ ‎①整式方程 ‎②只含有一个未知数 ‎③未知数的最高次数为2‎ 只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程。‎ 选择题 ‎1．下列方程中有（　　　）是一元二次方程 ‎（1）　　　　（2）‎ ‎（3）　　（4）‎ ‎（5）　（6）‎ ‎（A）（1）（5）（6）　　（B）（1）（4）（5）　　‎ ‎（C）（1）（3）（4）　　（D）（2）（4）（5）‎ ‎2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　　）‎ ‎（A）　　（B）　　（C）或　　（D）且 ‎3．方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为（　　　）‎ ‎（A）3，－4，－2　（B）3,2，－4　　（C）3，－2，－4　　（D）2，－2，0‎ ‎4．一元二次方程化为一般形式（）后，的值分别为（　　）‎ ‎（A）6,4，3　（B）6，－4,－3　（C）5,4，－3　　（D）5,－4，3‎ ‎5．一元二次方程化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为－1，则的值为（　　　）‎ ‎（A）－1　　（B）1　　（C）－2　　（D）2‎ ‎6. 方程的解是（）.‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 方程的解是（）.‎ A． B．‎ C．， D．，‎ ‎8. 方程的解是（）.‎ A． B． C． D．‎ ‎9.下列一元二次方程中，两根分别为的是（ ）.‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．方程的根是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．对于形如的方程，它的解的正确表达式为（ ）‎ A．都可以用直接开平方法求解，且 B．当时，‎ C．当时，‎ D．当时，‎ ‎12．用公式法解方程，得到（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎13．方程化简整理后，写成的形式，其中分别是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎14. 关于的一元二次方程的一个根是0,则的值为( ). (2002年北京市东城区试题)。‎ ‎(A) 1 (B) (C) 1或 (D) .‎ 选择题 ‎1.A 2. D 3．B　4．C 5．B 6 . B 7. D 8. C 9 . B. 10. D 11. C 12．B 13．C 14. B.‎ 填空题 ‎1．已知关于的方程当　　　　时，方程为一元二次方程，当 ‎ 时，方程为一元一次方程.‎ ‎2．的二次项系数是　　　　，常数项为　　　　，的值为　　.‎ ‎3．方程化为一般式为　　　　，二次项系数，一次项系数，常数项的和为　　　　.‎ ‎4．一元二次方程，有两个解为1和－1，则有　　　，且有　　　　　　　　　‎ ‎5．若，则的值是 .‎ ‎6．若方程有解，则的取值范围是 .‎ ‎7．方程的解为 .‎ 答案：‎ ‎1．，2．，0,1　3．；－8　4 ．0,0. 5． 6． 7．.‎ 解答题 ‎1. 已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围。‎ ‎2．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项。‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎3．下列关于的方程是否为一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出二次项系数，一次项系数及常数项。‎ ‎（1）　　（2）‎ ‎（3）　　（4）‎ ‎4．用直接开平方法解下列一元二次方程：‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）；‎ ‎（5）；（6）.‎ ‎5．用配方法解下列方程：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5）；（6）；‎ ‎（7）；（8）；‎ ‎（9）‎ ‎6．用配方法将下列各式化成的形式 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎7．用公式法解下列方程：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）；‎ ‎（7）。‎ ‎8．用公式法解下列一元二次方程：‎ ‎（1）（精确到）；（2）（精确到）‎ ‎9．选用适当的方法解下列方程：‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）；‎ ‎（5）；（6）.‎ ‎10．用配方法证明：的值恒大于0‎ ‎11．已知：.求、的值.‎ ‎12．要使与是同类项，则的值为多少？‎ ‎13．如果关于的一元二次方程的各项系数之和等于3，求的值并解此方程.‎ ‎14．解关于的方程.‎ 答案：‎ ‎1.的取值范围是.‎ ‎2.（1）；　，　，　‎ ‎（2）；　，　，　‎ ‎（3）；　，　，　‎ ‎（4）；　　　　，　　0，　　‎ ‎（5）；　　，　，　　　　‎ ‎3．（1）∵　∴是一元二次方程　二次项系数，一次项系数－4，常数项 ‎（2）是一元二次方程 二次项系数5，一次项系数，常数项0。‎ ‎（3）当时，是一元二次方程　二次项系数是，一次项系数是，常数项是 当时，不是一元二次方程。‎ ‎（4）∵　∴是一元二次方程 二次项系数是，一次项系数是，常数项是 ‎4．（1）（2），（3），（4）（5）（6）‎ ‎5．（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）。‎ ‎（5），（6）；（7）（8），（9），‎ ‎6．（1）原式； （2）原式；‎ ‎ （3）原式； （4）原式.‎ ‎7．（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）； （7）。‎ ‎8．（1），（2），‎ ‎9．（1）；（2）（3），（4），（5）（6），‎ ‎10．原式. 11．，.‎ ‎12．或 . 13．，，.‎ ‎14．当=0时, =;‎ 当且0时,,;‎ 当>时,方程无实根.‎