2020年秋九年级数学上册 第3章圆的基本性质

2020年秋九年级数学上册 第3章圆的基本性质

第3章　圆的基本性质 ‎3.4　圆心角 第2课时　圆心角定理的推论 知识点　圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 ‎1．如图3－4－14，AB，CD是⊙O的两条弦，OM⊥AB，ON⊥CD，则：‎ ‎(1)如果AB＝CD，那么________，________，________；‎ ‎(2)如果＝，那么________，________，________；‎ ‎(3)如果∠AOB＝∠COD，那么________，________，________；‎ ‎(4)如果OM＝ON，那么________，________，________.‎ 图3－4－14‎ ‎　　图3－4－15‎ ‎2．如图3－4－15所示，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B的度数是(　　)‎ A．150° B．75° C．60° D．15°‎ ‎3．如图3－4－16，已知点A，B，C均在⊙O上，并且四边形OABC是菱形，那么∠AOC与2∠AOB之间的大小关系是(　　)‎ A．∠AOC＞2∠AOB B．∠AOC＝2∠AOB C．∠AOC＜2∠AOB D．不能确定 11‎ 图3－4－16‎ ‎　　图3－4－17‎ ‎4．如图3－4－17，已知AB是⊙O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的度数为(　　)‎ A．40° B．60° C．80° D．120°‎ ‎5．如图3－4－18，圆心角∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数是________．‎ 图3－4－18‎ ‎　　图3－4－19‎ ‎6．如图3－4－19，在⊙O中，C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝________°.‎ 图3－4－20‎ ‎7．如图3－4－20, O是圆心，且PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论：①AB＝CD；②＝；③PO＝PE；④＝；⑤PB＝PD，其中正确的是________(填写序号)．‎ 11‎ ‎8．课本课内练习第2题变式如图3－4－21所示，在⊙O中，弦AB与弦CD相等．求证：＝.‎ 图3－4－21‎ ‎9．2017·牡丹江如图3－4－22，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：AD＝BE.‎ 图3－4－22‎ ‎10．如图3－4－23所示，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是(　　)‎ A．51° B．56° C．68° D．78°‎ 图3－4－23‎ 11‎ ‎　　图3－4－24‎ ‎11．如图3－4－24所示，在⊙O中，＝2，那么(　　)‎ A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB＝2CD D．无法比较AB与2CD的大小 ‎12．如图3－4－25所示，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)上移动时，点P(　　)‎ A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．等分 D．随点C的移动而移动 图3－4－25‎ ‎　　图3－4－26‎ ‎13．如图3－4－26，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是弧BC的中点，则∠ACD＝________°.‎ ‎14．如图3－4－27，在⊙O中，＝＝，OB，OC分别交AC，DB于点M，N.‎ 11‎ 求证：∠OMN＝∠ONM.‎ 图3－4－27‎ ‎15．如图3－4－28所示，在⊙O中，半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.‎ 求证：AE＝BF＝CD.‎ 图3－4－28‎ ‎16．如图3－4－29所示，A是半圆上的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则PA＋PB的最小值是多少？‎ 11‎ 图3－4－29‎ 11‎ 详解详析 ‎1．(1)∠AOB＝∠COD　＝　OM＝ON ‎(2)AB＝CD　∠AOB＝∠COD　OM＝ON ‎(3)OM＝ON　AB＝CD　＝ ‎(4)∠AOB＝∠COD　AB＝CD　＝ ‎2．B ‎3．B　[解析] ∵四边形OABC是菱形，‎ ‎∴AB＝BC，‎ ‎∴∠AOB＝∠BOC，‎ ‎∴∠AOC＝2∠AOB.‎ 故选B.‎ ‎4．C　[解析] ∵∠AOE＝60°，‎ ‎∴∠BOE＝180°－∠AOE＝120°，‎ ‎∴的度数是120°.‎ ‎∵C，D是上的三等分点，‎ ‎∴与的度数都是40°，‎ ‎∴∠COE＝80°.‎ ‎5．20°　6.40　7.①②④⑤‎ ‎8．证明：∵AB＝CD，∴＝，‎ ‎∴－＝－，∴＝.‎ 11‎ ‎9．证明：如图，连结OC，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠AOC＝∠BOC.‎ ‎∵CD⊥OA，CE⊥OB，‎ ‎∴∠CDO＝∠CEO＝90°.‎ 在△COD与△COE中，‎ ‎∴△COD≌△COE，‎ ‎∴OD＝OE.‎ 又∵AO＝BO，‎ ‎∴AO－OD＝BO－OE，‎ 即AD＝BE.‎ ‎10．A　[解析] ∵＝＝，∠COD＝34°，‎ ‎∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，‎ ‎∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°.‎ 又∵OA＝OE，‎ ‎∴∠AEO＝∠EAO＝×(180°－78°)＝51°.‎ 11‎ ‎11．B ‎[解析] 如图，在⊙O上截取＝，连结CE，DE，则＝，AB＝CE，CD＝DE，根据三角形的三边关系知CD＋DE＝2CD>CE，则AB<2CD，故选B.‎ ‎12．B　[解析] 连结OP，如图所示．‎ ‎∵OC＝OP，∴∠2＝∠3.‎ 又∵∠1＝∠2，‎ ‎∴∠1＝∠3，∴CD∥OP.‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴OP⊥AB.‎ 而OP是⊙O的半径，故点P的位置不变．‎ 故选B.‎ ‎13．125‎ ‎[解析] 连结OD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝40°，‎ ‎∴∠BOC＝140°，∠ACO＝70°.‎ ‎∵D是弧BC的中点，‎ ‎∴∠COD＝70°，‎ ‎∴∠OCD＝55°，‎ 11‎ ‎∴∠ACD＝∠ACO＋∠OCD＝70°＋55°＝125°.‎ ‎14．证明：∵＝＝，‎ ‎∴OM⊥AC，ON⊥BD.‎ ‎∵＋＝＋，∴＝，‎ ‎∴OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM.‎ ‎15．证明：连结AC，BD.‎ ‎∵C，D是的三等分点，‎ ‎∴＝＝，∠AOC＝∠COD＝∠DOB，‎ ‎∴AC＝CD＝BD.‎ ‎∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝30°.‎ ‎∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACE＝75°.‎ 又∵OA＝OB，∴∠OAB＝45°，‎ ‎∴∠AEC＝∠EAO＋∠AOC＝45°＋30°＝75°，‎ ‎∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∴AE＝AC.‎ 同理可证BF＝BD，∴AE＝BF＝CD.‎ ‎16解：如图，作点B关于MN的对称点B′，连结AB′交MN于点P，连结OB′，OB，PB，‎ 则此时PA＋PB取得最小值，PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′. ‎ ‎∵A是半圆上的一个三等分点，＝，‎ ‎∴∠AON＝60°， ∠BON＝∠B′ON＝30°，‎ 11‎ ‎∴∠AOB′＝90°.‎ 又∵OA＝OB′＝1，∴AB′＝，‎ ‎∴PA＋PB的最小值是.‎ 11‎