2019-2020广州市海珠区南武中学八年级（下）期中数学试卷 解析版

2019-2020广州市海珠区南武中学八年级（下）期中数学试卷 解析版

‎2019-2020学年广东省广州市海珠区南武中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）‎ ‎1．下列各式中，运算正确的是（　　）‎ A．＝﹣2 B．+＝ C．×＝4 D．2﹣‎ ‎2．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）‎ A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 ‎ C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5‎ ‎3．函数y＝2x﹣5的图象经过（　　）‎ A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 ‎ C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限 ‎4．要得到函数y＝2x+3的图象，只需将函数y＝2x的图象（　　）‎ A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 ‎ C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 ‎5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2，则AC的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎6．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x﹣1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　）‎ A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．不能确定 ‎7．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）‎ A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2‎ ‎8．已知，则x的取值范围是（　　）‎ A．x≤5 B．0≤x≤5 C．x≥5 D．为任意实数 ‎9．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC等于（　　）‎ A．14 B．4 C．14或4 D．9或5‎ ‎10．设max表示两个数中的最大值，倒如max{0，2}＝2，max{12，8}＝12，则关于x的函数y＝max{3x，2x+1}可表示为（　　）‎ A．y＝3x B．y＝2x+1 ‎ C．y＝ D．y＝‎ 二、填空题 ‎11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎12．计算＝　 　．‎ ‎13．如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN＝20m，那么A，B两点间的距离是　 　．‎ ‎14．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为　 　．‎ ‎15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，‎ AC＝2，则BD的长为　 　．‎ ‎16．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；④当x＞3时，y1＜y2中．则正确的序号有　 　．‎ 三、解答题（共8小题）‎ ‎17．计算 ‎（1）﹣+；‎ ‎（2）×﹣（+）（﹣）．‎ ‎18．如图所示的一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．‎ ‎19．画出y＝2x﹣4的图象，确定x取何值时，（1）y＞0；（2）y＜﹣4．‎ ‎20．如图，一次函数y＝ax+b的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点M．‎ ‎（1）求正比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△MOP的面积．‎ ‎21．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．‎ ‎（1）求证：四边形OCED是菱形；‎ ‎（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．‎ ‎22．小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：‎ 次数 购买数量（件）‎ 购买总费用（元）‎ A B 第一次 ‎2‎ ‎1‎ ‎55‎ 第二次 ‎1‎ ‎3‎ ‎65‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）求A，B两种商品的单价；‎ ‎（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．‎ ‎23．如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE．‎ ‎（1）求证：DH⊥CE；‎ ‎（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H，T为FC的中点．‎ ‎①求证：FH＝AH；‎ ‎②FO＝5，TO＝2，求点E的坐标．‎ ‎24．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标（，0 ），作C关于AB对称点F，连BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．‎ ‎（1）求证：OF⊥AC；‎ ‎（2）连接CF交AB于点H，求证：AH＝CF；‎ ‎（3）若m＝2，E为x轴负半轴上一动点，连接ME，过点M作EM的垂线交FB的延长线于点D，问EB﹣BD的值是否改变，若不变，求其值，若改变，求其取值范围．‎ ‎2019-2020学年广东省广州市海珠区南武中学八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）‎ ‎1．下列各式中，运算正确的是（　　）‎ A．＝﹣2 B．+＝ C．×＝4 D．2﹣‎ ‎【分析】根据＝|a|，×＝（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．‎ ‎【解答】解：A、＝2，故原题计算错误；‎ B、+＝+2＝3，故原题计算错误；‎ C、＝＝4，故原题计算正确；‎ D、2和不能合并，故原题计算错误；‎ 故选：C．‎ ‎2．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）‎ A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 ‎ C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：A、∵12+22＝5≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；‎ B、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；‎ C、∵22+42＝20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；‎ D、∵32+42＝25＝52，∴能构成直角三角形，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎3．函数y＝2x﹣5的图象经过（　　）‎ A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 ‎ C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限 ‎【分析】根据一次函数的性质解答．‎ ‎【解答】解：在y＝2x﹣5中，‎ ‎∵k＝2＞0，b＝﹣5＜0，‎ ‎∴函数过第一、三、四象限，‎ 故选：A．‎ ‎4．要得到函数y＝2x+3的图象，只需将函数y＝2x的图象（　　）‎ A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 ‎ C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 ‎【分析】平移后相当于x不变y增加了3个单位，由此可得出答案．‎ ‎【解答】解：由题意得x值不变y增加3个单位 应沿y轴向上平移3个单位．‎ 故选：C．‎ ‎5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2，则AC的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】只要证明△AOB是等边三角形即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，‎ ‎∴OA＝OB，‎ ‎∵∠AOD＝120°，‎ ‎∴∠AOB＝60°，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∴OA＝OB＝AB＝2，‎ ‎∴AC＝2OA＝4，‎ 故选：B．‎ ‎6．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x﹣1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　）‎ A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．不能确定 ‎【分析】根据P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x﹣1的图象上的两个点，由﹣3＜2，结合一次函数y＝﹣x﹣1在定义域内是单调递减函数，判断出y1，y2的大小关系即可．‎ ‎【解答】解：∵P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x﹣1的图象上的两个点，且﹣3＜2，‎ ‎∴y1＞y2．‎ 故选：C．‎ ‎7．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）‎ A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2‎ ‎【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），‎ 则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎8．已知，则x的取值范围是（　　）‎ A．x≤5 B．0≤x≤5 C．x≥5 D．为任意实数 ‎【分析】直接利用二次根式的性质得出x﹣5≥0，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴5﹣x≥0，‎ 解得：x≤5．‎ 故选：A．‎ ‎9．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC等于（　　）‎ A．14 B．4 C．14或4 D．9或5‎ ‎【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．‎ ‎【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12，‎ 在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得：‎ BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，‎ ‎∴BD＝9，‎ 在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得 CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，‎ ‎∴CD＝5，‎ ‎∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；‎ ‎（2）钝角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12，‎ 在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得：‎ BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，‎ ‎∴BD＝9，‎ 在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得：‎ CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，‎ ‎∴CD＝5，‎ ‎∴BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．‎ 故BC长为14或4．‎ 故选：C．‎ ‎10．设max表示两个数中的最大值，倒如max{0，2}＝2，max{12，8}＝12，则关于x 的函数y＝max{3x，2x+1}可表示为（　　）‎ A．y＝3x B．y＝2x+1 ‎ C．y＝ D．y＝‎ ‎【分析】由于3x与2x+1的大小不能确定，故应分两种情况进行讨论．‎ ‎【解答】解：当3x≥2x+1，即x≥1时，y＝max{3x，2x+1}＝3x；‎ 当3x＜2x+1，即x＜1时，y＝max{3x，2x+1}＝2x+1．‎ 故选：D．‎ 二、填空题 ‎11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥﹣2　．‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，‎ ‎∴被开方数x+2为非负数，‎ ‎∴x+2≥0，‎ 解得：x≥﹣2．‎ 故答案为：x≥﹣2．‎ ‎12．计算＝　　．‎ ‎【分析】根据二次根式的加减法运算法则，先将各个二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式合并．‎ ‎【解答】解：原式＝＝3．‎ ‎13．如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN＝20m，那么A，B两点间的距离是　40m　．‎ ‎【分析】三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍．‎ ‎【解答】解：∵M，N分别是AC，BC的中点，‎ ‎∴MN是△ABC的中位线，‎ ‎∴MN＝AB，‎ ‎∴AB＝2MN＝2×20＝40（m）．‎ 故答案为：40m．‎ ‎14．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为　110°　．‎ ‎【分析】首先由在▱ABCD中，∠1＝20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠BAE＝∠1＝20°，‎ ‎∵BE⊥AB，‎ ‎∴∠ABE＝90°，‎ ‎∴∠2＝∠BAE+∠ABE＝110°．‎ 故答案为：110°．‎ ‎15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则BD的长为　4　．‎ ‎【分析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形；连接AC，BD相较于点O，在直角三角形AOB中利用勾股定理可求出BO的长，进而可求出BD的长．‎ ‎【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，‎ ‎∵两条纸条宽度相同，‎ ‎∴AE＝AF．‎ ‎∵AB∥CD，AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．‎ 又∵AE＝AF．‎ ‎∴BC＝CD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形，‎ 连接AC，BD相较于点O，‎ ‎∴AC⊥BD，AO＝AC＝1，‎ ‎∴BO＝＝2，‎ ‎∴BD＝2BO＝4，‎ 故答案为：4．‎ ‎16．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；④当x＞3时，y1＜y2中．则正确的序号有　①③④　．‎ ‎【分析】根据y1＝kx+b和y2＝x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＞3时，相应的x的值，y1图象均低于y2的图象．‎ ‎【解答】解：根据图示及数据可知：‎ ‎①k＜0正确；‎ ‎②a＜0，原来的说法错误；‎ ‎③方程kx+b＝x+a的解是x＝3，正确；‎ ‎④当x＞3时，y1＜y2正确．‎ 故答案为：①③④‎ 三、解答题（共8小题）‎ ‎17．计算 ‎（1）﹣+；‎ ‎（2）×﹣（+）（﹣）．‎ ‎【分析】（1）根据二次根式的加减法可以解答本题；‎ ‎（2）根据二次根式的乘法、平方差公式可以解答本题．‎ ‎【解答】解：（1）﹣+‎ ‎＝‎ ‎＝；‎ ‎（2）×﹣（+）（﹣）‎ ‎＝‎ ‎＝3﹣2‎ ‎＝1．‎ ‎18．如图所示的一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．‎ ‎【分析】根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，从而不难求得这块地的面积．‎ ‎【解答】解：连接AC．‎ ‎∵AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC ‎∴AC＝5m ‎∵122+52＝132‎ ‎∴△ACB为直角三角形 ‎∴S△ACB＝×AC×BC＝×5×12＝30m2，‎ S△ACD＝AD•CD＝×4×3＝6m2，‎ ‎∴这块地的面积＝S△ACB﹣S△ACD＝30﹣6＝24m2．‎ ‎19．画出y＝2x﹣4的图象，确定x取何值时，（1）y＞0；（2）y＜﹣4．‎ ‎【分析】求出函数图象与两坐标轴的交点，利用两点法作出图象即可；‎ ‎（1）根据函数图象在x轴上方的部分，y＞0，直接写出即可；‎ ‎（2）根据函数图象在y轴左方的部分，y＜﹣4，直接写出即可．‎ ‎【解答】解：当x＝0时，y＝﹣4；‎ 当y＝0时，2x﹣4＝0，‎ 解得x＝2，‎ ‎∴函数图象与两坐标轴的交点为（0，﹣4）（2，0）．‎ 图象如下：‎ ‎（1）当x＞2时，y＞0；‎ ‎（2）当x＜0时y＜﹣4．‎ ‎20．如图，一次函数y＝ax+b的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点M．‎ ‎（1）求正比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△MOP的面积．‎ ‎【分析】（1）将（1，0），（0，﹣2）代入y＝ax+b解出一次函数的解析式，然后将x＝2代入求得M的纵坐标，再代入正比例函数y＝kx解出即可；‎ ‎（2）利用三角形的面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）一次函数y＝ax+b的图象经过点（1，0），（0，﹣2），‎ ‎∴，解得，‎ 故一次函数的解析式为：y＝2x﹣2，‎ 将x＝2代入y＝2x﹣2得，y＝2，‎ ‎∴M（2，2），‎ 将M（2，2）代入y＝kx，解得：k＝1，‎ 所以正比例函数解析式为：y＝x；‎ ‎（2）△MOP的面积为＝1．‎ ‎21．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．‎ ‎（1）求证：四边形OCED是菱形；‎ ‎（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC＝OD，再根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形．‎ ‎（2）方法一：解直角三角形求出BC＝2．AB＝2，根据矩形和菱形的性质得出，S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，即可求出菱形的面积．‎ 方法二：解直角三角形求出BC＝2．AB＝DC＝2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF＝BC＝1，OE＝2OF＝2，即可求出菱形的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，‎ ‎∴四边形OCED是平行四边形，‎ ‎∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，‎ ‎∴OC＝OD，‎ ‎∴▱OCED是菱形；‎ ‎（2）方法一：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，‎ ‎∴BC＝2，AB＝2，‎ ‎∵S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，‎ ‎∴S菱形OCED＝×2×2＝2．‎ 方法二：解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，‎ ‎∴BC＝2，‎ ‎∴AB＝DC＝2，‎ 如图，连接OE，交CD于点F，‎ ‎∵四边形OCED为菱形，‎ ‎∴F为CD中点，‎ ‎∵O为BD中点，‎ ‎∴OF＝BC＝1，‎ ‎∴OE＝2OF＝2，‎ ‎∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×2×2＝2．‎ ‎22．小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：‎ 次数 购买数量（件）‎ 购买总费用（元）‎ A B 第一次 ‎2‎ ‎1‎ ‎55‎ 第二次 ‎1‎ ‎3‎ ‎65‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）求A，B两种商品的单价；‎ ‎（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据表格中数据进而得出等式组成方程组求出答案；‎ ‎（2）利用A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，得出商品数量的取值范围，进而求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）设A种商品的单价为x元，B种商品的单价为y元，根据题意可得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 答：A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元；‎ ‎（2）设第三次购买商品A种a件，则购买B种商品（12﹣a）件，根据题意可得：‎ a≥2（12﹣a），‎ 得：8≤a≤12，‎ ‎∵m＝20a+15（12﹣a）＝5a+180‎ ‎∴当a＝8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件．‎ ‎23．如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE．‎ ‎（1）求证：DH⊥CE；‎ ‎（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H，T为FC的中点．‎ ‎①求证：FH＝AH；‎ ‎②FO＝5，TO＝2，求点E的坐标．‎ ‎【分析】（1）证明△HAD≌△EDC（SAS），可得∠ADH＝∠DCE，从而得结论；‎ ‎（2）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△GFE≌△DEC（AAS），得EG＝DC＝AD，根据等式的性质可得FH＝AG＝DE＝AH；‎ ‎②作辅助线，构建直角三角形，设AG＝x，AE＝y，则ED＝FG＝OM＝x，则GD＝MC＝2x+y，得△OTN是等腰直角三角形，则ON＝TN＝2，由此可得x和y的值，可得结论．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD＝CD，∠DAH＝∠EDC＝90°，‎ ‎∵AH＝DE，‎ ‎∴△HAD≌△EDC（SAS），‎ ‎∴∠ADH＝∠DCE，‎ ‎∵∠ADH+∠HDC＝∠DCE+∠HDC＝90°，‎ ‎∴∴∠DFC＝90°，‎ ‎∴CE⊥DH；‎ ‎（2）①如图2，过F作FG⊥AD，交DA的延长线于G，‎ ‎∵FH⊥AO，‎ ‎∴∠G＝∠GAH＝∠AHF＝90°，‎ ‎∴四边形AGFH是矩形，‎ ‎∴FG＝AH＝DE，‎ ‎∵∠G＝∠D＝90°，∠GEF＝∠DCE，‎ ‎∴△GFE≌△DEC（AAS），‎ ‎∴EG＝DC＝AD，‎ ‎∴EG﹣AE＝AD﹣AE，‎ ‎∴AG＝DE＝FH＝AH；‎ ‎②如图3所示，延长GF交x轴于M，过T作TN⊥OC于N，‎ ‎∴FM⊥MC，‎ ‎∴TN∥FM，‎ ‎∵T是FC的中点，‎ ‎∴N是MC的中点，‎ ‎∴TN＝FM，‎ 设AG＝x，AE＝y，则ED＝FG＝OM＝x，‎ ‎∴GD＝MC＝2x+y，‎ ‎∵N是MC的中点，‎ ‎∴MN＝MC＝x+y＝OM+ON，‎ ‎∴ON＝y，‎ ‎∵TN＝FM＝y，‎ ‎∴ON＝TN，‎ ‎∵∠ONT＝90°，OT＝2，‎ ‎∴ON＝TN＝2，‎ ‎∴FM＝2TN＝4，‎ Rt△FMO中，OF＝5，‎ ‎∴OM＝3，‎ ‎∴GM＝FM+GF＝4+3＝7，‎ ‎∴E（4，7）．‎ ‎24．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标（，0 ），作C关于AB对称点F，连BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．‎ ‎（1）求证：OF⊥AC；‎ ‎（2）连接CF交AB于点H，求证：AH＝CF；‎ ‎（3）若m＝2，E为x轴负半轴上一动点，连接ME，过点M作EM的垂线交FB的延长线于点D，问EB﹣BD的值是否改变，若不变，求其值，若改变，求其取值范围．‎ ‎【分析】（1）先求出A，B的坐标，再通过对称得到FB＝BC且垂直x轴，从而证直角△OAC≌直角△FOB，得到OF⊥AC．‎ ‎（2）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求出BA，BF，BH即可．‎ ‎（3）过M点作MN⊥x轴于N点，MH⊥DF于H点，证明直角△MEN≌直角△MDH．‎ ‎【解答】证明：（1）C，F关于AB对称，则FB⊥x轴，FB＝BC．‎ 由y＝﹣x+m得A（0，m），B（m，0），而C（，0），所以OC＝BC＝BF，OA＝OB，‎ ‎∴直角△OAC≌直角△FOB ‎∴∠FOB＝∠OAC ‎∴∠FOB+∠ACO＝90°即OF⊥AC．‎ ‎（2）在直角三角形BCF中，BC＝BF＝，所以CF＝，BH＝．‎ 在直角三角形OAB中，AB＝m，‎ ‎∴AH＝m﹣m＝m ‎∴AH＝CF．‎ ‎（3）EB﹣BD的值不变，等于．‎ m＝2，直线AB解析式：y＝﹣x+2．F（2，1），直线OF的解析式为y＝x，‎ 解方程组得所以M（，）．‎ 过M点作MN⊥x轴于N点，MH⊥DF于H点．如图，‎ ‎∵∠ABO＝45°，‎ ‎∴四边形MNBH是正方形．‎ ‎∴MN＝BH＝MH．‎ 又∵EM⊥MD，‎ ‎∴∠MEN＝∠MDH．‎ ‎∴直角△MEN≌直角△MDH．‎ ‎∴EN＝DH．‎ ‎∴EB﹣BD＝EN+BN﹣BD＝DH+BH﹣BD＝2BH＝．‎