绵阳市高中2020届第一次诊断性考试 理科数学（PDF版含答案）

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理科数学答案 第1页（共 6 页） 绵阳市高中 2017 级第一次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． ACDBB DBCAC AD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．e 14． 4  15． 23 5 16． 1 2m =− 或 m≥0 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．解：（1） 22( ) (cos sin ) 2sinf x x x x= − − 21 2sin cos 2sinx x x= − − cos2 sin 2xx=− 2 cos(2 )4x =+， ……………………………………………4 分 ∴ T= 2 2  = ， 即 ()fx的最小正周期为  . ……………………………………………………5 分 ∵ cosyx= 的单调递减区间为[ 2k ， 2k+ ]，k∈Z， ∴ 由 ≤2x+ 4  ≤ ，k∈Z，解得 8k  − ≤x≤ 3 8k  + ，k∈Z， ∴ ()fx的单调递减区间为[ ， ]，k∈Z． ……………………7 分 （2）由已知 0( )= 1fx − ，可得 02 cos(2 ) 14x + = − ， ………………………10 分 即 0 2cos(2 )42x + = − ， 再由 0 ()2x  − −， ，可得 0 732 ( )4 4 4x   +  − −， ， ∴ 0 52 44x + = − ， 解得 0 3= 4x − ．………………………………………………………………12 分 理科数学答案 第2页（共 6 页） 18．解：（1）∵ an+2+an=2an+1，n∈N*，即 an+2-an+1=an+1-an， ∴ 数列{}na 是等差数列. 由 1 4 11 +3 7a a a d，= = = ，解得 1 12ad，==， ∴ 1= +( 1) 2 1na a n d n− = − . ………………………………………………………4 分 当 1n = 时， 1 2b = ， 当 n≥2 时， 1 1 2 2 (2 2)nn n n nb S S + −= − = − − − 12 2 2 2 2 2= n n n n n+ − =  − = . ∴ 数列{}nb 的通项公式为 2n nb = ．……………………………………………8 分 （2）由（1）得， 212 n ncn−=+，………………………………………………9 分 3 5 2 1(2 1) (2 2) (2 3) (2 )n nTn−= + + + + + + + + 3 5 2 1(2 2 2 2 ) (1 2 3 )n n−= + + + + + + + + + 2(1 4 ) (1 ) 1 4 2 n nn−+=+− 2 1 222 32 n nn+ −+=+． ……………………………………………………12 分 19．解：（1）在△ABC 中，A+B+C=π，即 B=π-(A+C)， ∴ sinB=sin(A+C)， 由题意得 2 cosB=sin B+1． …………………………………………………3 分 两边平方可得 2cos2B=sin2B+2sinB+1， 根据 sin2B+cos2B=1， 可整理为 3sin2B+2sinB-1=0， 解得 3 1sin =B 或 sinB=-1（舍去）．……………………………………………5 分 ∴ ． ……………………………………………………………………6 分 （2）由 2CA−= ，且 A B C + + = ， 可得 2 2AB=−，C 为钝角， ∴ sin 2 cosAB= ， 理科数学答案 第3页（共 6 页） 又 3b = ， 由正弦定理得 33sin sin sin a b c A B C= = = ， ∴ 3 3sinaA= ， 3 3sincC= ． 又 C 为钝角，由（1）得 22cos 3B = ． ………………………………………9 分 ∴ △ABC 的面积为 1 1 1sin 3 3sin 3 3sin2 2 3S ac B A C= =    99sin sin( ) sin cos2 2 2A A A A= + = 9 9 9 2 2 3 2sin 2 cos4 4 4 3 2AB= = =  = ， 综上所述，△ABC 的面积为 32 2 ． …………………………………………12 分 20．解：（1）由题意得 ln 2 4 4( ) 1ln 2 ln 2 xfx xx +−= = −++ ， ………………………2 分 由 x≥1，知 lnx≥0，于是 lnx+2≥2， ∴ 10 ln 2x + ≤ 1 2 ，即 420ln 2x−  − + ， ∴-1≤ 41 ln 2x− + <1， ∴ ()fx的值域为[-1，1)． ……………………………………………………5 分 (2) =+ )()( 21 xfxf 2ln 412ln 41 21 +−++− xx 2 1= ， 所以 2 3 2ln 4 2ln 4 21 =+++ xx ． 又 1211xx， ， ∴ 2121 lnlnln xxxx += 42ln2ln 21 −+++= xx ………………………………8 分 4)2ln 4 2ln 4()]2(ln)2[(ln3 2 21 21 −++++++= xxxx 21 12 4(ln 2) 4(ln 2)2[8 ] 43 ln 2 ln 2= xx xx +++ + −++ 理科数学答案 第4页（共 6 页） ≥ 2 20(8 2 16) 433+ − = ， ……………………………………………11 分 当且仅当 21 12 4(ln 2) 4(ln 2) ln 2 ln 2 xx xx ++=++ ，即 x1=x2 时取“=”， 故 20 3 1 2 min( ) exx = ， ∵ ()fx在(1，+∞)上是增函数， ∴ 13 7)( min21 =xxf ． ………………… ………………………………………12 分 21．解：（1）由题意得 e( ) e 2 ( 2 ) x xf x ax x ax  = − = − ，令 e() x hx x= ， 则 2 e ( 1)() x xhx x − = ． ……………………………………………………………2 分 ∴ 当 01 时，得 >0，此时 单调递增，且 x→+∞， →+∞， ∴ min=h(1)=e． ①当 2a≤e，即 a≤ e 2 时， ()fx ≥0，于是 ()fx在(0，+∞)上是增函数， 从而 在(0，+∞)上无极值． ②当 2a>e，即 a> e 2 时，存在 00， 在(0，x1)上是单调递增； 当 x∈(x1，x2)时， <0， 在(x1，x2)上是单调递减； 当 x∈(x2，+∞)时， <0， 在(x2，+∞)上是单调递增， 故 x2 是 在(0，+∞)上的极小值． 综上， e 2a  ． …………………………………………………………………6 分 （2）要证 f(x)>ax(lnx-x)即等价于证明 ex>axlnx． ①当 01，axlnx≤0， 显然成立； ………………………………………………………………………7 分 ②当 x>1 时，则 xlnx>0， 结合已知 0 2e 2 xlnx， 即证明 22e ln 0 x xx − −． …………………………………………………………8 分 令 22e( ) ln 1 x g x x xx − = − ， ， 则 2 2 2e ( 1)() x xxgx x − −− = ， 令 2( ) 2e ( 1)xh x x x−= − − ， 则 2( ) 2 e 1xh x x − =−， 易得 ()hx 在 (0 )+， 上单调递增. ∵ 2(1)= 1 0 (2)=3 0ehh−  ， ， ∴存在 0 (1 2)x  ， 使得 0( )=0hx ，即 0 2 02 e 1xx − = . ∴ ()hx 在区间(1， 0x )上单调递减， 在区间( ， + )上单调递增， ………………………………………10 分 又 (1)= 1 0 (2)=0hh−， ， ∴当 (12)x ， 时， ( ) 0gx  ， ()gx单调递减， 当 (2 )x + ， 时， ( ) 0gx  ， 单调递增， ∴ ()gx≥ (2)g =1-ln2>0， 故 g(x)>0，问题得证． ……………………………………………………12 分 22．解：（1）由题意得 2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3cos ) 4xy    + = + + − = ， ∴ 曲线 C 的普通方程为 224xy+=． …………………………………………2 分 ∵ cosx = ， siny = ， ∴ 代入可得曲线 C 的极坐标方程为 2 = ． ………………………………5 分 （2）把 = 3  代入 ρcos( 6  − )=3 中， 可得 ρcos( 36 − )=3， 理科数学答案 第6页（共 6 页） 解得 ρ= 23， 即 B 点的极径 B = ， 由（1）易得 A =2， ∴ |AB|=| - |= -2． ………………………………………………10 分 23．解：（1）当 m=2 时，f(x)=︱x-2︱+︱x+1︱-5． 当 x≤-1 时， ( ) ( 2) ( 1) 5 0f x x x= − − − + −  ， 解得 x≤-2； ……………………………………………………………………1 分 当-1

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