山东省烟台市2020届高三4月模拟考试(一模)数学

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文档介绍

山东省烟台市2020届高三4月模拟考试(一模)数学

绝密★启用前 ‎2020年高考诊断性测试 数 学 注意事项:‎ ‎1.本试题满分150分,考试时间为120分钟.‎ ‎2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.‎ ‎3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰.超出答 题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。‎ ‎1.已知集合,,则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数满足(为虚数单位),则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.数列:,,最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列的每一项除以所得的余数按原来项的顺序构成新的数列,则数列的前项和为 A. B. C. D.‎ ‎5.设为平行四边形,,,.若点满足 ‎,,则 A. B. C. D.‎ ‎6.右图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 ‎ 木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下 后,将与层层小木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落 过程中向左、向右落下的机会均等,则小球最终落入③号球槽的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎·13·‎ ‎7.设为直线上的动点,为圆的两条切线,为切点,则四边形面积的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎8.已知函数,实数满足不等式,则下列不等关系成立的是 A. B. C. D.‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。‎ ‎9.2020年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下,全国人民众志成城、团结一心,掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了‎2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况,根据该折线图,下列结论正确的是 ‎ A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大 B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 ‎ D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 ‎10.已知是双曲线上任一点,是双曲线上关于坐标原点对称的两点,设直线的斜率分别为,若恒成立,且实数的最大值为,则下列说法正确的是 A.双曲线的方程为 B.双曲线的离心率为 C.函数的图象恒过的一个焦点 D.直线与有两个交点 ‎11.如图,在棱长为的正方体中,分别为棱的中点,为面对角线上任一点,则下列说法正确 ‎·13·‎ 的是 A.平面内存在直线与平行 ‎ B.平面截正方体所得截面面积为 C.直线和所成角可能为 D.直线和所成角可能为 ‎12.关于函数,,下列说法正确的是 A.当时,在处的切线方程为 B.当时,存在唯一极小值点且 C.对任意,在上均存在零点 D.存在,在上有且只有一个零点 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.已知,则 ‎14.的展开式中项的系数是(用数字作答)‎ ‎15.已知点在半径为的球面上,满足,,若是球面上任意一点,则三棱锥体积的最大值为 ‎16.已知为抛物线的焦点,点,为抛物线上任意一点,的最小值为,则抛物线方程为 ,若线段的垂直平分线交抛物线于两点,则四边形的面积为 .(本题第一空2分,第二空3分)‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(10分)‎ 已知的内角所对的边分别为,.‎ ‎(1)求角;‎ ‎(2)若,边上的高为,求.‎ ‎18.(12分)‎ 已知等差数列的前项和为,是各项均为正数的等比数列,, ,,,是否存在正整数,使得数列的前项和,若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎·13·‎ 从①,②,③这三个条件中任选一个,补充到上面问题中并作答.‎ 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.‎ ‎19.(12分)‎ 如图,三棱锥中,点,分别是,的中点,点是的重心.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若平面平面,,,‎ ‎,,求平面与 平面所成的锐二面角的余弦值. ‎ ‎20.(12分)‎ 推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会随机抽取名社区居民参与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如下:‎ 得分 ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70, 80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ 男性人数 ‎40‎ ‎90‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎110‎ ‎60‎ ‎30‎ 女性人数 ‎20‎ ‎50‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎100‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于分的概率;‎ 不太了解 比较了解 男性 女性 ‎(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”‎ ‎ (得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60‎ ‎ 分)两类,完成列联表,并判断是否有的 ‎ 把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别” ‎ 有关?‎ ‎(3)从参与问卷测试且得分不低于分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取 ‎ 人,连同名男性调查员一起组成个环保宣传队.若从这人中随机抽取人作为队长,且男性队长人数的期望不小于2,求的最小值.‎ 附:. ‎ ‎·13·‎ 临界值表:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数.‎ (1) 若在上恒成立,求的取值范围,并证明:对任意的,都 有;‎ ‎(2)设,讨论方程实数根的个数.‎ ‎22.(12分)‎ 已知椭圆过点,且焦距为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设为直线:上一点,为椭圆上一点,以为直径的圆恒过 坐标原点.‎ ‎(i)求的取值范围;‎ ‎(ii)是否存在圆心在原点的定圆恒与直线相切?若存在,求出该定圆的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎·13·‎ ‎2020年高考诊断性测试 数学参考答案 一、单项选择题 ‎1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C ‎ 二、多项选择题 ‎9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ,‎ 四、解答题 ‎17.解:(1)因为,由正弦定理得 ‎ 所以, …………………………1分 即 , …………………………2分 又,所以 所以, …………………………3分 而,‎ 所以,‎ ‎ 所以. …………………………4分 ‎ (2)因为 …………………………5分 ‎ 将,,代入,得. …………………………6分 由余弦定理得,‎ ‎·13·‎ 于是, …………………………8分 即 ,解得或. …………………………10分 ‎18.解:设等比数列的公比为(),则,,‎ 于是, …………………………2分 即,解得,(舍去). …………………………4分 若选①:则,,‎ 解得, …………………………6分 所以, …………………………8分 ‎, …………………………9分 于是 ……10分 令,解得,因为为正整数,所以的最小值为. ……12分 若选②:则,,解得.‎ 下同①.‎ 若选③:则,,解得. ………………6分 于是, …………………8分 ‎·13·‎ ‎, ……………………9分 于是 ‎, ………………………………………10分 令,得,‎ 注意到为正整数,解得,所以的最小值为. ………………………12分 ‎19.解:(1)证明:延长交于点,点为的中点,‎ 因为分别是棱的中点, ‎ 所以是的中位线,所以, …………………………2分 又,,‎ 所以. ‎ 同理可证. ………………………………………3分 又,,‎ 所以平面, ……………………………………4分 因为,所以. ………………………………5分 ‎(2)连接,因为,是的中点,所以,‎ 又平面平面,平面平面,平面,‎ 所以平面.‎ 以为坐标原点,以向量所在的方向分别作为轴、轴的正方向,以与向量 ‎·13·‎ 垂直的方向为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. ………6分 设,则,,, ,‎ ‎,, . ……………………7分 设平面的一个法向量为,‎ 则,即,‎ 令,得,,于是取 …………………………9分 又平面的一个法向量为 ,‎ 则,即,‎ 令,得,,‎ 于是取 ………………………………………………11分 设平面与平面的所成的角二面角的大小为,‎ 则.‎ 所以平面与平面的所成的锐二面角的余弦值为. ………………12分 ‎20.解:(1)由调查数据,问卷得分不低于分的比率为 ‎, ‎ 故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于分的概率为. …………………2分 ‎·13·‎ 不太了解 比较了解 男性 ‎250‎ ‎330‎ 女性 ‎150‎ ‎270‎ ‎(2)由题意得列联表如下:‎ ‎…………3分 的观测值 …………………5分 因为5.542 ‎ 所以有的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分 ‎(3)由题意知,分层抽样抽取的10人中,男性人,女性人. ………………7分 随机变量的所有可能取值为,‎ 其中,,,, ………………9分 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ………………10分,‎ 可得,,‎ ‎,‎ ‎·13·‎ ‎,‎ 解得. …………………………………………12分 ‎21.解:(1)由可得,,‎ 令,则, ………………1分 当时,,单调递增,当时,,单调递减,故在处取得最大值, ………………3分 要使,只需,‎ 故的取值范围为, ………………4分 显然,当时,有,即不等式在上成立,‎ 令,则有,‎ 所以,‎ 即:; ………………6分 ‎(2)由可得,,即,‎ 令,则, ………………8分 当时,,单增,当时,,单减,‎ 故在处取得最大值, ………………10分 ‎·13·‎ 又当时,,当时,, ………………11分 所以,当时,方程有一个实数解;当时,方程有两个不同的实数解;当时,方程没有实数解. ………………12分 ‎22.解:(1)将点的坐标代入椭圆的方程得 ‎,解得,所以椭圆的方程为. ……3分 ‎(2)设.因为以为直径的圆恒过点,‎ 所以,即. ……………………4分 因为点在椭圆上,所以.‎ ‎(i)将代入椭圆,得,,‎ 于是,. …………5分 因为 当且仅当,即时,取等号.‎ 所以的取值范围为. ……………………………………7分 ‎(ii)存在.定圆的方程为. ‎ 假设存在满足题意的定圆,则点到直线的距离为定值.‎ 因为,所以直线方程为 ‎·13·‎ ‎,‎ 整理可得, ………………………………8分 所以到直线的距离, …………………………9分 由(i)知,,得,,‎ ‎,注意到,知.‎ 所以, …………………10分 又 ‎, ……………………11分 所以,‎ 因此,直线与圆恒相切. …………………………………………12分 ‎·13·‎
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