陕西省榆林市2020届高三数学（理）第三次模拟试卷（Word版附答案）
绝密★启用前
榆林市 2020 届高考模拟第三次测试
数学(理科)试卷
本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试
题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合 A＝{x|3x－1
r2 (D)无法判定
4.已知数列{an}为等差数列，且 a3＝4，a5＝8，则该数列的前 10 项之和 S10＝
(A)80 (B)90 (C)100 (D)110
5.已知 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是
(A)若 m//α，m//β，则α//β (B)若 m//α，n//α，则 m//n
(C)若 m⊥α，n⊥α，则 m//n (D)若α⊥γ，α⊥β，则γ//β
6.设 x1、x2、x3 均为实数，且 1xe ＝lnx1， 2xe ＝ln(x2＋1)， 3xe ＝lgx3，则
(A)x10)为抛物线
上一点，直线 AF 与双曲线有且只有一个交点，若|AF|＝8，则该双曲线的离心率为
(A) 2 (B)2 (C) 3 (D) 5
11.新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，广大医务工作者积极响应党中央号召，舍小家，为大家，
不顾个人安危，生动诠释了敬佑生命、救死扶伤、甘于奉献、大爱无疆的崇高精神。某医务
人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有 17 名。无论是否把我算在内，下面说
法都是对的。在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；
至少有两名男护士，”请你推断说话的人的性别与职业是
(A)男医生 (B)男护士 (C)女医生 (D)女护士
12.己知三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB＝2，CA＝CB＝ 7 ，AB＝2 3 ，PC＝ 3 。关于该三
棱锥有以下结论：①三棱锥 P－ABC 的表面积为分别为 5 3 ；②三棱锥 P－ABC 的内切球的
半径 r＝ 3
5
；③点 P 到平面 ABC 的距离为 3
2
；④若侧面 PAB 内的动点 M 到平面 ABC 的
距离为 d，且 MP＝ 2 3
3
d，则动点 M 的轨迹为抛物线的一部分。其中正确结论的序号为
(A)①② (B)③④ (C)①②③ (D)①②③④
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.设 x，y 满足约束条件
2
1
2
x y
x
y
，则目标函数 z＝－2x＋y 的取值范围为 。
14.若曲线 y＝2 x 与函数 f(x)＝aex 在公共点处有相同的切线，则实数 a 的值为 。
15.已知数列{an}的前 n 项之和为 Sn，对任意的 n∈N*，都有 3Sn＝an＋16。若 bn＝(a1a2…an，n
∈N*，则数列{an}的通项公式 an＝ ；数列{bn}的最大项为 。
16.定义在 R 上的偶函数 y＝f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，当 x∈[0，1)时，f(x)＝1－x2，有以下 4
个结论：①2 是 y＝f(x)的一个周期；②f(1)＝0；③函数 y＝f(x－1)是奇函数；④若函数 y＝f(x
＋1)在(1，2)上递增。则这 4 个结论中正确的是 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17 题～第 21 题为必
考题，每个考题考生必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)已知△ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足(sinB＋sinC)2＝sin2A4
＋sinBsinC。
(1)求 A；
(2)若 b＋c＝6，△ABC 的面积为 2 3 ，求 a。
18.(12 分)如图，在几何体中，四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，∠ABC＝120°，AC 与 BD 相交
于点 O，四边形 BDEF 为直角梯形，DE//BF，BD⊥DE，DE＝3BF＝3，平面 BDEF⊥平面 ABCD。
(1)证明：平面 AEF⊥平面 AFC；
(2)求二面角 E－AC－F 的余弦值。
19.(12 分)已知椭圆 E：
2 2
2 1( 3)3
x y aa
的离心率 e＝ 1
2
。直线 x＝t(t>0)与椭圆 E 交于不
同的两点 M、N，以线段 MN 为直径作圆 C，圆心为 C。
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A，B，求△ABC 的面积的最大值。
20.(12 分)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则。上以住宅
为单位(一套住宅为一户)。
某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
(1)若规定第一阶梯的电价为每度 0.5 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6 元，第三阶梯
超出第二阶梯的部分每度 0.8 元，试计算 A 居民用电户用电 410 度时应交电费多少元?
(2)现要在这 10 户家庭中任意抽取 3 户，求抽到用电量为第二阶梯的户数的分布列与数学期望；
(3)以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中抽取 10 户，若抽到 k 户的
用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值。
21.(12 分)已知 x＝
3
1
e
是函数 f(x)＝xnlnx 的极值点。
(1)求(x)的最小值；
(2)设函数 g(x)＝ x
mx
e
，若对任意 x1∈(0，＋∞)，存在 x2∈R，使得 f(x1)>g(x2)，求实数 m 的取
值范围。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线 C 的的极坐标方程为ρ＝8sinθ。若过点 P(5，－3)，
倾斜角为α，且 cosα＝－ 3
5
的直线交曲线 C 于 P1、P2 两点。
(1)求|PP1|·|PP2|的值；
(2)求 P1P2 的中点 M 的坐标。
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)对 a ∈R，|a＋1|＋|a－1|的最小值为 M。
(1)若三个正数 x，y，z 满足 x＋y＋z＝M，证明：
2 2 2
2x y z
y z x
；
(2)若三个正数 x，y，z 满足 x＋y＋z＝M，且(x－2)2＋(y－1)2＋(z＋m)2≥ 1
3
恒成立，求实数 m
的取值范围。
2
3
