浙江省杭州市长征中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷

浙江省杭州市长征中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷

数学 一、 选择题（本大题有15小题，每小题4分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）‎ ‎1 直线的倾斜角和斜率分别是（ ）‎ A． B． C．，不存在 D．，不存在 ‎2. 下列直线中与直线平行的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．棱长都是的三棱锥的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．直线与的位置关系是（ ）‎ A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关 ‎6．已知两条不同的直线，和平面，下列结论正确的是( )‎ ‎①，则；②，则；‎ ‎③，则；‎ ‎④与平面所成角的大小等于与平面所成角的大小，则.‎ A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①④‎ ‎7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯 形，那么原平面图形的面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8．在三棱锥中，分别是和的重心，则直线与的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．异面 C. 平行 D．以上都有可能 ‎9．已知两点， ，直线过点且与线段相交，则直线的 斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎10．在正方体中，是棱的中点，用过点的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是( )‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎11．如图，平面四边形ABCD中，是的中点，，，，将△ABD沿对角线BD折起至△，使平面⊥平面BCD，则四面体中，下列结论不正确的是( )‎ ‎ ‎ A．EF//平面 B．异面直线CD与所成的角为90°‎ C．直线与平面BCD所成的角为30° D．异面直线EF与所成的角为60°‎ ‎12. 我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（     ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎13. 已知实数满足，则的最小值是（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎14. 点，，，在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎15. 已知点P(t，t)，t∈R，点M是圆上的动点，点N是圆 上的动点，则|PN||PM|的最大值是（    ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ 一、 填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）‎ ‎16.不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋1＝0 恒过定点 ‎ ‎17.已知向量若则实数______‎ ‎18. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ‎ ‎19．已知三棱锥，，且,为底面内部及边界上的动点，则与底面所成角正切值的取值范围是 ．‎ 三、解答题（本大题共5小题，第20题14分，其余均为15分，共74分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）求函数的最大值及取得最大值时的值；‎ ‎（2）在中，角的对边分别为，若，，，求的面积．‎ ‎21．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,‎ AA1 = AC = 2,BC = 1,E、F分别是A1C1、BC的中点.‎ ‎（1）求证:平面⊥平面；‎ ‎（2）求证:∥平面.‎ ‎22．已知直线，圆C：‎ ‎（1）平行于的直线与圆C相切，求直线的方程；‎ ‎（2）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，求的面积的取值范围．‎ ‎23．如图，在三棱锥中，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ 24． 已知圆：及圆内一点，过任作一条弦.‎ ‎（1）求面积的最大值及取得最大值时直线的方程； ‎ ‎（2）若点在轴上，且使得为的一条内角平方线，求点的坐标.‎ 数学 一、 选择题（本大题有15小题，每小题4分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ C D B A B A C C B A D D A C D 一、 填空题（本大题共4小题，共16分）‎ ‎16.__(0, 1)____‎ ‎17. _______‎ ‎18.___​_________‎ ‎18.____________‎ 三、解答题（本大题共7小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）求函数的最大值及取得最大值时的值；‎ ‎（2）在中，角的对边分别为，若，，，求的面积．‎ ‎ 解：（1）化简原函数得，当时，．‎ ‎（2）由得，因为得，代入得 ‎，得．‎ ‎21.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1 = AC = 2,BC = 1,E、F分别是A1C1、BC的中点.‎ ‎(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)求证:C1F∥平面ABE.‎ ‎(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.‎ 又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.‎ 所以平面ABE⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)证明：取AB的中点G,连接EG,FG,如图.‎ 因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且 因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.‎ 所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.‎ 又因为EG⊂平面ABE,所以C1F∥平面ABE.‎ ‎22．已知直线l：x+y+2=0,圆C：(x-2)2+y2=2.‎ ‎(1)平行于l的直线l1与圆C相切，求直线l1的方程；‎ ‎(2)直线l分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆C上，求的面积的取值范围 解：(1)设l1: x+y+m=0‎ 则 l1: x+y =0或l1: x+y-4 =0‎ ‎(2)A(0,-2),B(-2,0), ‎ 记P到直线l的距离为h，则 又圆心C到l的距离 即 ‎23.如图，在三棱锥中，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.‎ 解：（Ⅰ）∵，，，‎ ‎∴，.‎ 取的中点，连接，则，，‎ 又，∴平面，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）在中，根据余弦定理，得 ‎，‎ 所以，又因为，所以，，‎ 所以，即.‎ 方法一：‎ 设到平面的距离为，与平面所成的角为，‎ 因为，即，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以与平面所成的角正弦值为.‎ 方法二：‎ 则以为轴，为轴，为轴，建立坐标系，则，，，.‎ 所以，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，‎ 则，‎ 即与平面所成的角正弦值为.‎ ‎24．解：（1）设，则，‎ 当时，，此时到的距离为，，‎ ‎∴，直线的方程为.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，始终平分.‎ 当直线斜率存在时，设直线：，设，‎ 由得：‎ 设，，则，.‎ ‎∵，∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎