湖北省武汉市钢城第四中学2019-2020高一下学期期中考试数学试卷

湖北省武汉市钢城第四中学2019-2020高一下学期期中考试数学试卷

数学试卷 考试时长：120分钟，满分150分 ‎1．数列，，，，的一个通项公式是（ B ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，则a4等于(A)‎ A．11 B．15‎ C．17 D．20‎ ‎3.在中，内角为钝角，，，，则（ A ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ B ）‎ A.8岁 B.11岁 C.20岁 D.35岁 ‎5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是(C)‎ A． B． ‎ C． D． ‎6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(B)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎7．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于(A)‎ A．－ B． ‎ C．－2 D．2‎ ‎8.已知四个实数成等差数列，－4，，，，－1五个实数成等比数列，则（ C   ）‎ A. 1 B. 2 C. －1 D. ±1‎ ‎9．已知等差数列的公差，若的前项之和大于前项之和，则（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则a1等于(D)‎ A．3 B．2‎ C．-4 D．-3‎ ‎11.在各项均为正数的等比数列中，公比.若，，，数列的前n项和为，则当取最大值时，n的值为（D）‎ A. 17 B. 8 C. 9 D. 8或9‎ ‎12．锐角三角形ABC中，若C＝2B，则的取值范围是(C)‎ A．(0,2) B．(，2)‎ C．(，) D．(，2)‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)‎ ‎13.的内角，，所对应的三条边分别为，，，若，，则 .‎ ‎14．设等比数列的前项和记为,若,则__‎ ‎15．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝___50.‎ ‎16．设数列的前项和，若，则_______85．‎ 三、 解答题：‎ ‎17．(10分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝.‎ ‎(1)若b＝4，求sinA的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．‎ 解：(1)因为cosB＝，所以sinB＝.‎ 因为a＝2，b＝4，所以＝，‎ 所以sinA＝.‎ ‎(2)由S△ABC＝acsinB＝c·＝4，可解得c＝5，‎ 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB ‎＝4＋25－2×2×5×＝17.‎ 所以b＝.‎ ‎18．(12分)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和．‎ 解：(1)设q为等比数列{an}的公比，‎ 则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，‎ 即q2－q－2＝0，‎ 解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.‎ ‎∴{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．‎ ‎(2)Sn＝＋n×1＋×2‎ ‎＝2n＋1＋n2－2.‎ ‎19．已知的内角，，的对边分别是，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长. ‎ ‎【解析】（1）由，得，‎ ‎ 由正弦定理，得， ‎ ‎ 由于，所以. 因为，所以. ‎ ‎ （2）由余弦定理，得，‎ ‎ 又，所以. ① ‎ 又的面积为，即，即，即.② ‎ 由①②得， 则，‎ 得. 所以的周长为. ‎ ‎20．数列满足，，．‎ ‎（1）设，证明是等差数列；‎ ‎（2）求的通项公式．‎ ‎（1）证明由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.‎ 又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎（2）解由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.‎ 于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.‎ 又a1＝1，所以an＝n2－2n＋2,经检验，此式对n=1亦成立，‎ 所以，{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.‎ ‎21.已知三角形ABC的面积是S，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，当三角形ABC的周长取得最大值时，求三角形ABC的面积S．‎ 变式：【解析】（1）由得， ‎ 所以. ‎ 在三角形ABC中得，‎ 所以,， ‎ ‎（2）：在三角形ABC中得 所以周长 ‎ ‎ 由得，当时，周长取得最大值为 此时所以面积 ‎ ‎22．(12分)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，其中a1＝1，且a2，a4，a6＋2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn＋bn＝1.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．‎ ‎(2)如果cn＝anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn>Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．‎ 解：(1)设数列{an}的公差为d，‎ 由题意可得方程(1＋3d)2＝(1＋d)×(3＋5d)，‎ 解得d＝1或d＝－(舍)，‎ 由a1＝1知，数列{an}的通项公式为an＝n.‎ ‎2Sn＋bn＝1，①‎ ‎2Sn＋1＋bn＋1＝1，②‎ ‎②－①得2(Sn＋1－Sn)＋bn＋1－bn＝0，‎ 即3bn＋1－bn＝0，即＝，‎ n＝1时，2b1＋b1＝1，b1＝，所以数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.‎ ‎(2)Sn＝，‎ cn＝n·，‎ Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，③‎ Tn＝1×＋2×＋…＋(n－2)×＋(n－1)×＋n×，④‎ Tn＝－n× ‎＝－n× ‎＝－×，‎ Tn＝－·，‎ Tn－Sn＝－·，‎ n＝1时，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn.‎ n≥2时，Tn－Sn＝－·>0，即Tn>Sn.‎ 综上所述，n≥2时，Tn>Sn成立，n的最小值为2.‎ ‎.‎