江苏省盐城市2021届高三数学上学期期中试题（Word版附答案）

江苏省盐城市2021届高三数学上学期期中试题（Word版附答案）

盐城市 2021 届高三年级第一学期期中考试 数 学 试 题 (本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟) 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1．命题“ 2(0,1), 0x x x    ”的否定是 A． 2(0,1), 0x x x    B． 2(0,1), 0x x x    C． 2(0,1), 0x x x    D． 2(0,1), 0x x x    2．已知集合   ln 1A x y x   ，集合 1( ) , 22 xB y y x       ，则 A B = A． B． 1,4 C．  1,4 D． 4, 3．已知向量 a  ，b  满足 a b  ，且 a  ，b  的夹角为 3  ，则b  与 a b  的夹角为 A． 3  B． 2  C． 3 4  D． 2 3  4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日 一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞 穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若 垣厚 33 尺，则两鼠几日可相逢 A．5 B．6 C．7 D．8 5．函数 ( ) ( [ , ])sin xf x xx x     的图象大致是 A B C D 6．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性 14 C ，动植 物死亡后，停止新陈代谢，14 C 不再产生，且原有的 14 C 会自动衰变．经科学测定，14 C 的 半衰期为 5730 年（设 14 C 的原始量为 1，经过 x 年后， 14 C 的含量 ( ) xf x a ，即 1(5730) 2f  ）．现有一古物，测得其 14 C 为原始量的 79.37%，则该古物距今约多少年？ （参考数据： 3 1 0.79372  ， 5730 1 0.99982  ） A．1910 B．3581 C．9168 D．17190 7．已知数列 na 满足 1 1a  ， 2 4a  ， 3 10a  ，且 1n na a  是等比数列，则 8 1 i i a   = A．376 B． 382 C． 749 D． 766 8．设 , (0, )x y  ，若sin(sin ) cos(cos )x y ，则 cos(sin )x 与sin(cos )y 的大小关系为 A．  B．  C．  D．以上均不对 二、多选题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分，请在答题纸的 指定位置填涂答案选项.） 9．设函数 ||5)( xxf  ， )()( 2 Raxaxxg  ，若 5)]1([ gf ，则 a A．1 B．2 C．3 D．0 10．函数 21( ) ( 2) 2ln2f x ax a x x    单调递增的必要不充分条件有 A． 2a  B． 2a  C． 1a  D． 2a  11．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 2 2a b bc  ，则角 A 可为 A． 3 4  B． 4  C． 7 12  D． 2 3  12．设数列 nx ，若存在常数 a ，对任意正数 r ，总存在正整数 N ，当 n N ，有 nx a r  ， 则数列 nx 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有 A．等差数列不可能是收敛数列 B．若等比数列 nx 是收敛数列，则公比 ( 1,1]q  C．若数列 nx 满足 sin( )cos( )2 2nx n n  ，则 nx 是收敛数列 D．设公差不为 0 的等差数列 nx 的前 n 项和为 ( 0)n nS S  ，则数列 1 nS       一定是收敛数 列 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分.请把答案写在答题纸的指定位置上） 13．若 2sin( )4 3    ，则sin 2  ▲ . 14．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ， AD 为 BC 边上的中线，若 4 =4b c 且 2 AB AD AB    ，则 cos A  ▲ ，中线 AD 的长为 ▲ .（本题第一空 2 分， 第二空 3 分.） 15．若 na 是单调递增的等差数列，且 4na na a ，则数列 na 的前 10 项和为 ▲ . 16．若函数 21( ) ln2f x x b x ax   在 )2,1( 上存在两个极值点，则 )93(  bab 的取值范围是 ▲ . 四、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内） 17．(10 分) 设函数 ( ) cos2 sinf x x m x  ， (0, )x  . （1）若函数 ( )f x 在 2x  处的切线方程为 1y  ，求 m 的值； （2）若 (0, )x   ， ( ) 0f x  恒成立，求 m 的取值范围． 18．(12 分) 设 ( ) sin( )f x x   ，其中 为正整数， 2   .当 0  时，函数 ( )f x 在[ , ]5 5   单 调递增且在[ , ]3 3   不单调. （1）求正整数 的值； （2）在①函数 ( )f x 向右平移 12  个单位得到奇函数；②函数 ( )f x 在[0, ]3  上的最小值为 1 2  ；③函数 ( )f x 的一条对称轴为 12x   这三个条件中任选一个补充在下面的问 题中，并完成解答.已知函数 ( )f x 满足 ▲ ，在锐角 ABC 中，角 , ,A B C 的对 边分别为 , ,a b c ，若 a b ， ( ) ( )f A f B .试问：这样的锐角 ABC 是否存在，若存 在，求角C ；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19．(12 分) 设函数 xexaxf )()(  . （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意的 ),0[ x ，不等式 ( ) 2f x x  恒成立，求 a 的取值范围 20．(12 分) 在 ABC 中， D 为边 BC 上一点， 2DC  ， 6BAD   . （1）若 2 3 5 5AD AB AC    ，且角 6B  ，求 AC 的长； （2）若 3BD  ，且角 3C  ，求角 B 的大小. 21．(12 分) 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 3 32S a ， 4 42 4S a  . （1）求数列 na 的通项公式； （2）令 2 2 n n n n ab S  ，设数列 nb 的前 n 项和为 nT ，求证： 2nT  . 22．(12 分) 设函数 ( ) sin 1xf x e a x   . （1）当 ( , )2 2x    时， ( ) 0f x  ，求实数 a 的取值范围； （2）求证：存在正实数 a ，使得 ( ) 0xf x  总成立. 盐城市 2021 届高三年级第一学期期中考试 数学参考答案 一、单选题： 1. B 2. C 3. D 4. B 5. B 6. A 7. C 8. D 二、多选题： 9. BD 10. AC 11. BC 12. BCD 三、填空题 13. 1 9 14. 1 4 ,19 4 15. 220 16. 814,16      四、解答题 17．解：（1）因为 ( ) 2sin 2 cosf x x m x    ，所以 ( ) 2sin cos 02 2k f m      ， 又 因 为 切 点 为 , 12 m    ， 所 以 切 线 方 程 为 1y m  ， 所 以 1=1m  ， 所 以 =2m ; …………………………………5 分 （ 2 ） 方 法 一 ： 由 ( ) cos2 sin 0f x x m x   ， 得 21 2sin sin 0x m x   ， 所 以 22sin sin 1 0x m x   恒 成 立 ， 令  sin 0 1t x t   ， 设   22 1h t t mt   ， 则     0 1 0 1 2 1 0 h h m        ， 解 得 1m  ………10 分 方 法 二 ： 由 ( ) cos2 sin 0f x x m x   ， 得 21 2sin sin 0x m x   ， 所 以 2sin 2sin 1m x x  ，因为 (0, )x  ，所以sin 0x  ，所以 22sin 1 1=2sinsin sin xm xx x   ， 令  t=sin 0 1x t  ， 则 12m t t   ， 设   12h t t t   ， 则   2 12 0h t t     ， 所 以    max 1 1h t h  ，所以 1m  ………………………10 分 18.解（1）因函数 ( )f x 在[ , ]5 5   上单调递增且在[ , ]3 3   上不单调， 所 以 1 2 5 4 3       ， 即 3 5 2 2   ， 又  为 正 整 数 ， 所 以 2  . …………………………………4 分 （2）由（1）知 ( ) sin(2 )f x x   . 若 选 ① . 则 函 数 sin(2( ) ) sin(2 )12 6y x x        是 奇 函 数 ， 所 以 sin( ) 06    ，……………6 分 因 2   ， 所 以 2 3 6 3       ， 所 以 06    ， 即 6   ， ( ) sin(2 )6f x x   ……………8 分 在 锐 角 ABC 中 ， 726 6 6A     ， 726 6 6B     ， …………………………………………9 分 又 a b ，即 2 26 6A B    ，所以 2 26 6A B      ，所以 3A B   ， 2 3C  ， 故 锐 角 ABC 不 存 在. …………………………………………12 分 若 选 ② . 由 [0, ]3x  ， 即 22 3x       ， 又 2   ， 所 以 2 7 3 6    ，……………………6 分 从 而 1sin 2    ， 所 以 6    ， ( ) sin(2 )6f x x   ， ……………………8 分 在 锐 角 ABC 中 ， 526 6 6A      ， 526 6 6B      ， …………………………9 分 又 a b ， 即 2 26 6A B    ， 所 以 2 26 6A B      ， 所 以 2 3A B   ， 即 3C  . ……12 分 若 选 ③ . 函 数 ( )f x 的 一 条 对 称 轴 为 12x   ， 所 以 sin( ) 16     ， …………………………6 分 由 2   ， 得 2 3 6 3       ， 所 以 6 2      ， 即 3    ， ( ) sin(2 )3f x x   ， ………8 分 在 锐 角 ABC 中 ， 223 3 3A      ， 223 6 3B      ，…………………………………………9 分 又 a b ，即 2 23 3A B    ，所以 2 23 3A B      ， 所 以 5 6A B   ， 即 6C  . …………………………12 分 19（1）已知 xexaxf )1()(  ，令 0)(  xf ，可得 10  ax ， 列表分析 )1,(  a 10  ax ),1 a（ 增 极大值 减 可 知 函 数 的 单 调 增 区 间 )1,(  a ， 单 调 减 区 间 ),1 a（ …………………………………………4 分 （ 2 ） 因 为 2)(  xxf 对 任 意 ),0[ x 恒 成 立 ， 即 xe xa x  2 ，…………………………………2 分 设函数 )0(2)(  xe xxxg x ，则 .1)( x x e xexg  设函数 )0(1)(  xxexh x ，则 01)(  xexh ， 故 0)0()(  hxh ， …………………………………………………………………9 分 故 0)(  xg ， 则 2)0()(  gxg ， 即 a 的 取 值 范 围 为 ]2,( …………………………………………12 分 20. （ 1 ） 由 ACABAD 5 3 5 2  可 知 DCBD 32  ， 即 3BD ，…………………………………………2 分 由 6  BADB ， 可 得 3,3  ADADC  ， 所 以 在 ADC 中 ， 由 余 弦 定 理 可 知 7AC  ……4 分 （ 2 ） 在 ABD 中 ， 由 正 弦 定 理 知 B AD BAD BD sinsin  ， 可 得 BAD sin32 ………………………6 分 由 3,6   CBAD ，知 BCAD  2  ，在 ACD 中， 由 正 弦 定 理 知 BCAD CD C AD cos 2 sinsin  ，………………………………………………………………9 分 代 入 BAD sin32 可 得 12sincossin2  BBB ， 由 )2,0( B 可 得 4 B ……………………12 分 21 、 解 ：（ 1 ） 因 数 列  na 是 等 差 数 列 ， 由 3 32S a ， 得 2 33 2a a ， 即 1a d ， ………………………2 分 又 4 42 4S a  ， 所 以 1 4 4 2a a a   ， 即 1 2a d  ， ………………………………………………4 分 所 以 数 列  na 的 通 项 公 式 为 1 ( 1) 2na a n d n    . ……………………………………………………5 分 （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 2 2 4na n   ， 1 (2 2 ) ( 1)2nS n n n n    ，……………………………………………6 分 所 以 1 2 4 1 12[ ]2 ( 1) 2 2 ( 1)n n n n nb n n n n     ，…………………………………………………………… …9 分 所 以 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 12[( ) ( ) ( )]2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 ( 1)n n nT n n             ………………………… ……10 分 所 以 0 1 12[ ] 22 1 2 ( 1)n nT n      . ………………………………………………… …12 分 22、解：（1）由 ( ) sin 1xf x e a x   ，得 ( ) cosxf x e a x   ， 由 ( ) cos 0xf x e a x    ， 得 cosxe a x ， 又 ( , )2 2x    ， 所 以 cos xe ax  恒 成 立………………2 分 令 ( ) cos xeg x x  ，则 2 2 2 sin( )cos sin 4( ) cos cos x x x e xe x e xg x x x    ，当 ( , )2 4x     时， ( ) 0g x  ；当 ( , )4 2x    时， ( ) 0g x  ；所以当 4x   时，函数 ( )g x 取最小值，即 4 4( ) 24 cos( )4 ea g e           . ……………………………………………………………… …………5 分 （2）当 1 4a  时， 1( ) sin 14 xf x e x   ， ①当 0x  时， 1 1( ) cos 1 cos 04 4 xf x e x x      ，所以函数 ( )f x 在[0, ) 单调递增， 又 0 1(0) sin 0 1 04f e    ， 所 以 ( ) 0f x  ， 即 ( ) 0xf x  ；…………………………………………7 分 ② 当 1x   时 ， 1 1( ) 1 04f x e    ， 所 以 ( ) 0xf x  ；………………………………………………8 分 ③ 当 1 0x   时 ， 所 以 1( ) cos4 xf x e x   ， 1( ) sin4 xf x e x   ， 所 以 1 1( ) 04f x e    ， 所 以 ( )f x 在 ( 1,0) 单 调 递 增 ， 所 以 1 11 1( ) cos1 04 4f x e e       ，所以 ( )f x 在 ( 1,0) 单调递增， 所以 01 1( ) sin 1 sin 0 1 04 4 xf x e x e       ，所以 ( ) 0xf x  . 综 上 所 述 ， 存 在 正 实 数 a ， 使 得 ( ) 0xf x  总 成 立. ………………………………………………………12 分