北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）数学试题 Word版含解析

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‎2020年北京市丰台区高考数学二模试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.集合的子集个数为（ ）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A，再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数.‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴集合A的子集个数为个，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合子集的个数，属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分母中根式内部的代数式大于0，求解一元二次不等式得答案.‎ ‎【详解】由，得或.‎ ‎∴函数的定义域为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了求二次根式函数的定义域，分式函数的定义域,一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎3.下列函数中，最小正周期为的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用三角函数的周期的计算公式，分别求选项中函数的最小正周期，即可求解.‎ ‎【详解】由函数的最小正周期为，故排除A；‎ 由函数的最小正周期为，故排除B；‎ 由函数的最小正周期为，故排除C；‎ 由正切函数的最小正周期的公式，可得函数的最小正周期为，故D满足条件，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的最小正周期的计算与求解，其中解答中熟记正弦型、余弦型和正切函数的最小正周期的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.‎ ‎4.已知数列的前n项和，则（ ）‎ A. 3 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得时，.即可得出结论.‎ ‎【详解】由数列的前n项和，‎ 当时，，‎ 则.‎ - 23 -‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟记数列和的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎5.设，为非零向量，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，为非零向量，“”平方后展开，进而判断出结论.‎ ‎【详解】，为非零向量，“”展开为：‎ ‎∴“”是“”的充要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题.‎ ‎6.已知抛物线M：的焦点与双曲线N：的一个焦点重合，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，即可得到答案.‎ ‎【详解】抛物线的焦点坐标为，‎ 双曲线的方程为，，，则.‎ - 23 -‎ 因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，‎ 所以，即.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和焦点坐标，同时考查了双曲线的焦点坐标，属于简单题.‎ ‎7.已知函数，则（ ）‎ A. 是奇函数，且在定义域上是增函数 B. 是奇函数，且在定义域上是减函数 C. 是偶函数，且在区间上是增函数 D. 是偶函数，且在区间上是减函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得，即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得为上的减函数；即可得答案.‎ ‎【详解】根据题意，函数，则有，解可得，‎ 即的定义域为；‎ 设任意，，则函数为奇函数；‎ ‎，其导数，‎ 在区间上，，则为上的减函数；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查的是对数型函数的单调性和奇偶性，考查了学生对基本方法的掌握情况，属于基础题.‎ ‎8.‎ - 23 -‎ 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积.‎ ‎【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体.如图所示：‎ 所以：，由于三棱锥体的左视图和主视图都为等边三角形，‎ 所以，所以.‎ 故选：A.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查求由三视图还原几何体的体积问题，关键在于由三视图能准确地还原几何体，并且注意线段间的位置关系和长度，属于中档题.‎ ‎9.在中，，，，则边上的高等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知及余弦定理可求的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求的值，设边上的高为h，利用三角形面积公式即可计算得解.‎ ‎【详解】在中，，，，‎ 由余弦定理可得：，‎ 可得，‎ 设边上的高为h，则，‎ 即，解得：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角函数的基本关系式，以及三角形的面积公式的应用，着重考查推理与运算能力.‎ ‎10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（，且a，b，）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 每场比赛的第一名得分a为4‎ B. 甲至少有一场比赛获得第二名 C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名 D. 丙至少有一场比赛获得第三名 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决.‎ - 23 -‎ ‎【详解】∵甲最后得分为16分，‎ ‎∴，‎ 接下来以乙为主要研究对象，‎ ‎①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则，则，而，则，‎ 又，，此时不合题意；‎ ‎②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则，则，‎ 由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；‎ ‎③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则，则，‎ 由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；‎ ‎④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则，此时显然，，‎ 则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共分，‎ 乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共分，‎ 丙的得分情况为4场第二名，则，即，此时符合题意.‎ 综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了学生的逻辑推理能力和阅读理解能力，属于中档题.‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11.已知复数，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的模长的定义直接进行计算即可.‎ ‎【详解】∵复数，∴.‎ 故答案为：.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查复数的模的概念及求法，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎12.已知直线的倾斜角为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，即可求解的值.‎ ‎【详解】直线的斜率，‎ ‎∴直线的倾斜角.∴.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查了直线倾斜角的求法，重点考查了直线斜率与倾斜角的关系，属基础题.‎ ‎13.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的离心率求出的关系，然后求解渐近线方程即可.‎ ‎【详解】由已知可知离心率 由双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为：‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎14.天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：‎ 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ‎…‎ 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 ‎…‎ 干支 纪年 甲子年 乙丑年 丙 寅年 丁 卯年 戊 辰年 己 巳年 庚 午年 辛 未年 壬 申年 癸 酉年 甲 戌年 乙 亥年 丙 子年 ‎…‎ ‎2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是______年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.‎ ‎【答案】 (1). 己卯 (2). 60.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析干支纪年法的规律，可得天干地支的对应顺序，据此可得2059年是己卯年，又由天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，据此可得天干地支共有60种组合，即可得答案.‎ ‎【详解】解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，‎ 地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；‎ 其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，‎ 若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；‎ 天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，‎ 则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年；‎ 故答案为：己卯，60.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查合情推理的应用，关键是掌握“干支纪年法”的规律，属于基础题.‎ ‎15.已知集合.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：‎ ‎①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为；‎ ‎②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；‎ ‎③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则；‎ ‎④白色“水滴”图形的面积是.‎ 其中正确的有______.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①方程中，令求得y的取值范围，得出最高点的坐标；‎ ‎②利用参数法求出点M到原点的距离d，求出最大值；‎ ‎③求出知最高点C与最低点D的距离；‎ ‎④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成.‎ ‎【详解】对于①中，方程中，‎ 令，得，‎ 所以，其中，所以，所以，‎ 解得；‎ 所以点，点，点，点，所以①错误；‎ - 23 -‎ 对于②中，由，设，‎ 则点M到原点的距离为 ‎，‎ 当时，，d取得最大值为3，所以②正确；‎ 对于③中，由①知最高点为，最低点为，‎ 所以，③正确；‎ 对于④中，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；‎ 计算它的面积是，‎ 所以④正确；‎ 综上知，正确的命题序号是②③④.‎ 故答案为：②③④.‎ ‎【点睛】本题主要考查了以集合为背景的命题的真假判定，其中解答中涉及到三角函数的性质，圆的参数方程，以及圆的面积公式等知识点的综合考查，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎16.如图，四边形为正方形，，，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ - 23 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，，由此能证明平面.‎ ‎（2）推导出，..建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】证明：（Ⅰ）因为，，所以，‎ 因为，，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）解：因为平面，平面，平面，‎ 所以，.‎ 因为四边形为正方形，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即 令，则，.于是.‎ 平面的法向量为.‎ 设直线与平面所成的角为，所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查证明线面垂直和线面角，考查学生的逻辑思维能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎17.已知等差数列的前n项和为，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若等比数列满足，且公比为q，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）时，；时，；时，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先设等差数列的公差为d，，由题设条件求出等差数列的基本量：首项与公差，再求其通项公式；‎ ‎（Ⅱ）先选择公比q的值，再结合其它题设条件计算出结果.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，又因为，且，所以，故，‎ 所以；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，又，所以.‎ - 23 -‎ 若选择条件①，可得，‎ ‎；‎ 若选择条件②，可得，‎ ‎；‎ 若选择条件③，可得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，求等差数列和等比数列的前项和，考查分组求和法，属于中档题.‎ ‎18.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：‎ ‎（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2‎ - 23 -‎ 所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；‎ ‎（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率.‎ ‎（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.利用超几何分布列计算公式即可得出.‎ ‎（Ⅲ）答案不唯一.示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.‎ ‎【详解】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.‎ 参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，‎ 所以 ‎（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.‎ ‎，，.‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ - 23 -‎ P ‎.‎ ‎（Ⅲ）答案不唯一.‎ 答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：‎ 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.‎ 指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.‎ 答案示例2：无法确定.理由如下：‎ 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.‎ 虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及根据概率统计做分析和决策等相关问题，属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）极大值1，无极小值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求导，列出随x的变化，和的情况表，进而求得极值；‎ ‎（Ⅱ）令（），求导，由得 - 23 -‎ ‎，则，进而得出函数的单调性，由此得证；‎ ‎（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知符合题意，再令，分及均可判断不合题意，进而得出实数a的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，定义域，所以.令，解得.‎ 随x的变化，和的情况如下：‎ x ‎0‎ ‎0‎ 增 极大值 减 由表可知函数在时取得极大值，无极小值；‎ ‎（Ⅱ）证明：令（），‎ 由得，于是，故函数是上的增函数.‎ 所以当时，，即；‎ ‎（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意.‎ 令，.‎ - 23 -‎ 当时，若，，则在上是减函数.‎ 所以时，，不合题意.‎ 当时，，则在上是减函数，所以，不合题意.‎ 综上所述，实数a的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式，求参数的范围，关键在于构造合适的函数，求其导函数的正负，得出其函数的单调性，从而得出所构造的函数的图象趋势，可以解决函数的极值、最值、不等式等相关问题，属于难度题.‎ ‎20.已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）把点A坐标代入椭圆的方程得.由的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程.‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为，，.联立直线l与椭圆C的方程可得关于x的一元二次方程.，进而解得k的取值范围.‎ ‎（Ⅲ）因为，，，，写出直线的方程，令 - 23 -‎ ‎，解得.点S的坐标为.同理可得：点T的坐标为.用坐标表示，，，代入，，得.同理.由（Ⅱ）得，，代入，化简再求取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为椭圆C：经过点，‎ 所以解得.‎ 由的面积为可知，，‎ 解得，‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线l方程为，，.‎ 联立，消y整理可得：.‎ 因为直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 所以，解得.‎ 因为，所以k的取值范围是.‎ ‎（Ⅲ）因为，，，.‎ 所以直线的方程是：.‎ 令，解得.‎ - 23 -‎ 所以点S的坐标为.‎ 同理可得：点T的坐标为.‎ 所以，，.‎ 由，，‎ 可得：，，‎ 所以.‎ 同理.‎ 由（Ⅱ）得，，‎ 所以 所以的范围是.‎ ‎【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.‎ - 23 -‎ ‎21.已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.‎ ‎（Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设集合，.‎ ‎（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；‎ ‎（ⅱ）记和分别表示集合A，B中不大于n（）的元素个数，写出满足的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）‎ ‎【答案】（Ⅰ），；见解析（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由a为奇数，b为偶数，可得为奇数，即可判断2019和2020是否属于集合；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）对于任意自然数p可表示为唯一一数组（，，，…，，…，），其中，1；，1，…，k，，使得，，1；，1，…，k，，考虑自然数p的个数即可得证；再证 ‎，其中，1；，1；，1，…，k，，则.由反证法即可得证；‎ - 23 -‎ ‎（ⅱ）考虑集合中元素为奇数，可为.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由，得是奇数，‎ 当，时，，‎ 所以，；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组（，，，…，，…，），‎ 其中，1；，1，…，k，，‎ 使得，，1；，1，…，k，，‎ 由于，‎ 这种形式的自然数p至多有个，且最大数不超过.‎ 由，1；，1，…，k，，每个都有两种可能，‎ 所以这种形式的自然数p共有个结果.‎ 下证 ‎，‎ 其中，1；，1；，1，…，k，，则.‎ 假设存在中，取i最大数为j，‎ 则 - 23 -‎ ‎，‎ 所以不可能.‎ 综上，任意正整数p可唯一表示为 显然，，‎ 满足，所以集合A，B互为“完美加法补集”.‎ ‎（ⅱ）.‎ ‎【点睛】本题考查集合的新定义，以及其性质的探索，关键在于理解集合的新定义，运用整数集上的性质得证，属于难度题.‎ - 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