北京市东城区2020届高三下学期综合练习（二）数学试题

北京市东城区2020届高三下学期综合练习（二）数学试题

北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（二）‎ ‎ 数学 2020.6‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1) 已知全集，集合，，那么 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(2) 已知三个函数，则 ‎(A) 定义域都为 (B) 值域都为 ‎ ‎(C)在其定义域上都是增函数 (D) 都是奇函数 ‎(3) 平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，且四边形为平行四边形，那么点的坐标为 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(4) 双曲线的渐近线与直线交于两点，且，那么双曲线的离心率为 ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎(5) 已知函数的图象如图所示，‎ 那么函数的图象可能为 ‎(A) （B） （C） （D）‎ ‎(6) 已知向量，，，那么下列结论正确的是 ‎ ‎(A) 与为共线向量 (B) 与垂直 ‎ ‎(C) 与的夹角为钝角 (D) 与的夹角为锐角 ‎ ‎(7) 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 ‎(A) 平方米 (B) 平方米 (C) 平方米 (D) 平方米 ‎(8) 已知函数，那么“”是“在上为增函数”的 ‎ ‎(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 ‎ ‎(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ‎(9) 已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎ (10) 函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知. 给出下列四个判断：‎ ① 对于给定的正整数，存在，使得成立;‎ ② 当时，对于给定的正整数，存在，使得 成立;‎ ③ 当 ()时，函数既有对称轴又有对称中心;‎ ④ 当 ()时， 的值只有0或.‎ 其中正确判断的有 ‎ ‎(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5题，每题5分，共25分。‎ ‎(11) 复数的共轭复数为_________.‎ ‎(12) 已知，则的值为 .‎ ‎(13) 设是三个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列三个结论：‎ ‎①若，，则；‎ ‎②若，，则；‎ ‎③若，，则.‎ 其中，正确结论的序号为 ．‎ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。‎ ‎(14) 从下列四个条件①；②；③；④中选出三个条件，能使满足所选条件的△存在且唯一，你选择的三个条件是___（填写相应的序号）,所选三个条件下的的值为 ____.‎ ‎(15) 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是件. 由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续天的需求，称为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大). 配件的存储费为每件每天元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）. 在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期为_______. ‎ 三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（16）（本小题14分）‎ 如图①，四边形中，，，，，为中点.‎ 将沿折起到的位置，如图②.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值. ‎ ‎ ‎ 图① 图②‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 已知为等比数列，其前项和为，且满足，. 为等差数列，其前项和为，如图____，的图象经过,两个点．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若存在正整数，使得，求的最小值.‎ 从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。‎ 图① 图② 图③‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为.‎ 项目 计划招募人数 报名人数 A ‎50‎ ‎100‎ B ‎60‎ C ‎80‎ D ‎160‎ ‎200‎ 甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知,. ‎ ‎（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；‎ ‎（Ⅱ）求，的值；‎ ‎（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者(不包含甲)调整到项目D，试判断如何变化(结论不要求证明).‎ ‎ (19) （本小题14分）‎ 已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，点，求证：点不在以为直径的圆上．‎ ‎（20）（本小题15分）‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：在上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若有最小值，请直接给出实数的取值范围.‎ ‎（21）（本小题14分）‎ 设数列：，. 已知（），定义数表，其中 ‎ ‎（Ⅰ）若，，写出;‎ ‎（Ⅱ）若是不同的数列，求证：数表满足“（）”的充分必要条件为“”;‎ ‎（Ⅲ）若数列与中的1共有个, 求证：数表中1的个数不大于.‎ ‎（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）‎ 北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（二）‎ ‎ 数学参考答案及评分标准 2020.6‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎（1）B （2）C （3）A （4）D （5）B ‎ ‎（6）B （7）B （8） A （9）C （10）C ‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎（11） 　　　　　　　　　　　　　　 （12）‎ ‎（13）①② 　　　 （14）①③④，，或者②③④，‎ ‎（15） ‎ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（16）（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：因为四边形中，，，，，‎ 为中点，‎ 所以 .‎ 故 图②中，，. ‎ 又 因为，，平面， ‎ ‎ 所以 平面. ‎ 又 因为平面，‎ 所以 平面平面. ……………6分 ‎（Ⅱ）解： 由 得，‎ 又 ，,‎ ‎ 因此，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由， ‎ 得，，， ‎ ‎， ‎ ‎ ，， ‎ 设平面的法向量为，‎ 则 即令得， ‎ 所以 是平面的一个法向量. ‎ 又 , ‎ 设直线与平面所成角为，‎ 所以 ． ……………14分 ‎（17）（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）由，得，即， ‎ 因为，‎ 所以，. ‎ 所以. ………………………………6分 ‎ （Ⅱ）由图①知：，，可判断，数列是递减数列；而递增，由于， ‎ ‎ 所以选择①不满足“存在，使得” ‎ 由图②知：，，可判断，数列是递增数列；‎ 由图③知：，，可判断，数列是递增数列.‎ 所以选择②③均可能满足“存在，使得” ‎ 第一种情况：‎ 如果选择条件②即，，可得：，. ‎ 当时，不成立，‎ 当时， ‎ 所以 使得成立的 的最小值为8. ………………………………14分 第二种情况：‎ 如果选择条件③即，，可得：，. ‎ 当时，不成立，‎ 当时，成立，‎ 所以 使得 成立的的最小值为5. ………………………………14分 ‎（18）（本小题14分）‎ 解：因为，‎ ‎ 所以，且.‎ ‎ 设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，；‎ 设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，；‎ 设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，；‎ 设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，；‎ ‎（Ⅰ）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“”是对立的，‎ 所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 ‎ ‎. ………………………………4分 ‎（Ⅱ）由题意可知，‎ ‎；‎ ‎；‎ 解得，. ………………………………12分 ‎（Ⅲ）变大. ………………………………14分 ‎(19) （本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）解：由题意可知 ‎ ‎ 解得 ‎ 所以 椭圆的方程为 ． ………………………………4分 ‎（Ⅱ）证明：设，， ．‎ 由得 ， ‎ 所以 .‎ 所以 当为任何实数时，都有．‎ 所以 ，．‎ 因为 线段的中点为,‎ 所以 ，,‎ 因为 ,‎ 所以 ，．‎ 所以 ‎ ‎.‎ 又因为 ，，‎ 所以 ，‎ 所以 点不在以为直径的圆上． ………………………………14分 ‎（20）（本小题15分）‎ ‎（Ⅰ）解：,‎ 对于， ‎ 当 时， ，‎ 所以 . ‎ 所以在上单调递减. ………………………………4分 ‎（Ⅱ）解：当时，，对于，命题成立，‎ 当 时，设 ，‎ 则.‎ 因为 ，‎ 所以 ， 在 上单调递增.‎ 又，‎ 所以.‎ 所以在上单调递增，且.‎ ① 当时，，‎ 所以 在 上单调递增.‎ 因为 ，‎ 所以恒成立.‎ ② ‎ 当 时，，‎ 因为 在上单调递增，‎ 又当 时，， ‎ 所以 存在 ，对于，恒成立. ‎ 所以 在上单调递减，‎ 所以 当时，，不合题意.‎ 综上，当时，对于， 恒成立. ………………………………13分 ‎（Ⅲ）解：. ………………………………15分 ‎（21）（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）解：. ………………………………3分 ‎（Ⅱ）证明：‎ 若，由于 ‎ 令 ，由此数列 . ‎ 由于 . ‎ 从而有 ().‎ 若 (). ‎ 由于是不同的数列，‎ ‎(1)设，，对任意的正整数，‎ ‎①若，可得 ，，‎ 所以 .‎ ‎②若，可得 ，，‎ 所以 .‎ 同理可证 ，时，有成立.‎ ‎(2)设，，对任意的正整数，‎ ① 若，可得，，‎ 所以有，则是相同的数列，不符合要求.‎ ② ‎ 若，可得，，‎ 所以有,则是相同的数列，不符合要求.‎ 同理可证 ，时，是相同的数列，不符合要求.‎ 综上，有数表满足“”的充分必要条件为“”.‎ ‎ ………11分 ‎（Ⅲ）证明：由于数列中的1共有个，设中1的个数为p，‎ 由此有，中0的个数为，中1的个数为，中0的个数为p. ‎ 若 ，则数表的第i行为数列，‎ 若 ，则数表的第i行为数列，‎ 所以 数表中1的个数为 .‎ 所以 数表中1的个数不大于. ………………………………14分