北京市东城区2020届高三下学期综合练习（二）数学试题

北京市东城区2020届高三下学期综合练习（二）数学试题

‎2020年北京市东城区高考数学二模试卷 一、选择题（共10小题）.‎ ‎1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁UA）∪B＝（　　）‎ A．{0，1，2} B．{3，4，5} C．{1，4，5} D．{0，1，2，5}‎ ‎2．已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（　　）‎ A．定义域都为R ‎ B．值域都为R ‎ C．在其定义域上都是增函数 ‎ D．都是奇函数 ‎3．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（　　）‎ A．（3，3） B．（﹣5，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，3）‎ ‎4．双曲线C：x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为（　　）‎ A．‎2‎ B．‎3‎ C．2 D．‎‎5‎ ‎5．已知函数f（x）＝logax+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝ax+b的图象可能为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．已知向量a‎→‎‎=‎（0，5），b‎→‎‎=‎（4，﹣3），c‎→‎‎=‎（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（　　）‎ A．a‎→‎‎-‎b‎→‎与c‎→‎为共线向量 B．a‎→‎‎-‎b‎→‎与c‎→‎垂直 ‎ C．a‎→‎‎-‎b‎→‎与a‎→‎的夹角为钝角 D．a‎→‎‎-‎b‎→‎与b‎→‎的夹角为锐角 ‎7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（　　）‎ A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米 ‎8．已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（　　）‎ A．1‎+‎π‎2‎ B．1‎+‎π‎4‎ C．1‎+‎π‎8‎ D．1+π ‎10．函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知f（x）‎=‎x，x∈[0，T‎4‎]‎T‎2‎‎-x，x∈(T‎4‎-T‎2‎]‎，g（x）＝f（x+a）（a∈R）．给出下列四个判断：‎ ‎①对于给定的正整数n，存在a∈R，使得i=1‎n‎ ‎g(i⋅Tn)f(i⋅Tn)=0‎成立；‎ ‎②当a‎=‎T‎4‎时，对于给定的正整数n，存在k∈R（k≠1），使得i=1‎n‎ ‎g(ki⋅Tn)f(i⋅Tn)=0‎成立；‎ ‎③当a＝kT‎4‎（k∈Z）时，函数g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心；‎ ‎④当a＝kT‎4‎（k∈Z）时，g（x）+f（x）的值只有0或T‎4‎．‎ 其中正确判断的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题共5题，每题5分，共25分．‎ ‎11．复数z‎=‎‎1-ii的共轭复数z为　 　．‎ ‎12．已知cos2α‎=‎‎1‎‎3‎，则cos2（π‎2‎‎+α）﹣2cos2（π﹣α）的值为　 　．‎ ‎13．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：‎ ‎①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；‎ ‎②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；‎ ‎③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．‎ 其中，正确结论的序号为　 　．‎ ‎14．从下列四个条件①a‎=‎‎2‎c；②C‎=‎π‎6‎；③cosB‎=-‎‎2‎‎4‎；④b‎=‎‎7‎中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为　 　．‎ ‎15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为　 　．‎ 三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎16．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝CD＝1，AD＝2，E为AD中点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面A1EB⊥平面A1ED；‎ ‎（Ⅱ）若∠A1ED＝90°，求A1C与平面A1BD所成角的正弦值．‎ ‎17．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a3＝1，S3＝3a2+1．{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图_____，Tn的图象经过A，B两个点．‎ ‎（Ⅰ）求Sn；‎ ‎（Ⅱ）若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值．‎ 从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．‎ ‎18．某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b．‎ 项目 计划招募人数 报名人数 A ‎50‎ ‎100‎ B ‎60‎ a C ‎80‎ b D ‎160‎ ‎200‎ 甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为甲同学最终被招募的项目个数，已知P ‎（ξ＝0）‎=‎‎1‎‎40‎，P（ξ＝4）‎=‎‎1‎‎10‎．‎ ‎（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；‎ ‎（Ⅱ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目D，试判断Eξ如何变化（结论不要求证明）．‎ ‎19．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，﹣1），离心率为‎3‎‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上．‎ ‎20．已知f（x）＝ex+sinx+ax（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝﹣2时，求证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）有最小值，请直接给出实数a的取值范围．‎ ‎21．设数列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn．已知ai，bj∈{0，1}（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n），定义n×n数表X(A，B)=‎x‎11‎x‎12‎‎⋯‎x‎1nx‎21‎x‎22‎‎⋯‎x‎2n‎⋮‎‎⋮‎‎⋮‎‎⋮‎xn1‎xn2‎‎⋯‎xnn，其中xij‎=‎‎1，ai=‎bj‎0，ai≠‎bj．‎ ‎（Ⅰ）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；‎ ‎（Ⅱ）若A，B是不同的数列，求证：n×n数表X（A，B）满足“xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）”的充分必要条件为“ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）”；‎ ‎（Ⅲ）若数列A与B中的1共有n个，求证：n×n数表X（A，B）中1的个数不大于 n‎2‎‎2‎‎．‎ 参考答案 一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁UA）∪B＝（　　）‎ A．{0，1，2} B．{3，4，5} C．{1，4，5} D．{0，1，2，5}‎ ‎【分析】进行补集和并集的运算即可．‎ 解：∵U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{5}，‎ ‎∴∁UA＝{3，4，5}，（∁UA）∪B＝{3，4，5}．‎ 故选：B．‎ ‎2．已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（　　）‎ A．定义域都为R ‎ B．值域都为R ‎ C．在其定义域上都是增函数 ‎ D．都是奇函数 ‎【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．‎ 解：函数y＝log3x的定义域为（0，+∞），即A错误；‎ 函数y＝3x的值域是（0，+∞），即B错误；‎ 函数y＝3x和y＝log3x是非奇非偶函数，即D错误，‎ 故选：C．‎ ‎3．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（　　）‎ A．（3，3） B．（﹣5，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，3）‎ ‎【分析】设D（x，y），由四边形ABCD为平行四边形，得AD‎→‎‎=‎BC‎→‎，由此能求出D点的坐标．‎ 解：设D（x，y），‎ ‎∵点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），‎ 且四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AD‎→‎‎=‎BC‎→‎，∴（x，y﹣1）＝（3，2），‎ 解得x＝3，y＝3，‎ ‎∴D点的坐标为（3，3）．‎ 故选：A．‎ ‎4．双曲线C：x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为（　　）‎ A．‎2‎ B．‎3‎ C．2 D．‎‎5‎ ‎【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，与直线x＝1联立求出|AB|的值，进而求出|b|的值，求出双曲线的离心率．‎ 解：由双曲线的方程可得a＝1，且渐近线的方程为：y＝±bx，‎ 与x＝1联立可得y＝±b，所以|AB|＝|2b|，‎ 由题意可得4＝2|b|，解得|b|＝2，c2＝a2+b2，‎ 所以双曲线的离心率e‎=ca=a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=‎1+4‎‎1‎=‎‎5‎，‎ 故选：D．‎ ‎5．已知函数f（x）＝logax+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝ax+b的图象可能为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝ax+b的图象单调递增，且由y＝ax的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断．‎ 解：结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，‎ 结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝ax+b的图象单调递增，且由y＝ax的图象向下平移超过1个单位，‎ 结合选项可知，D符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎6．已知向量a‎→‎‎=‎（0，5），b‎→‎‎=‎（4，﹣3），c‎→‎‎=‎（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（　　）‎ A．a‎→‎‎-‎b‎→‎与c‎→‎为共线向量 B．a‎→‎‎-‎b‎→‎与c‎→‎垂直 ‎ C．a‎→‎‎-‎b‎→‎与a‎→‎的夹角为钝角 D．a‎→‎‎-‎b‎→‎与b‎→‎的夹角为锐角 ‎【分析】根据题意，求出向量（a‎→‎‎-‎b‎→‎）的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析可得答案．‎ 解：根据题意，向量a‎→‎‎=‎（0，5），b‎→‎‎=‎（4，﹣3），c‎→‎‎=‎（﹣2，﹣1），则a‎→‎‎-b‎→‎=‎（﹣4，8），‎ 又由c‎→‎‎=‎（﹣2，﹣1），有（﹣4）×（﹣1）≠（﹣2）×8，则（a‎→‎‎-‎b‎→‎）与c‎→‎不是共线向量，‎ c‎→‎‎=‎‎（﹣2，﹣1），则（a‎→‎‎-‎b‎→‎）•c‎→‎‎=‎（﹣4）×（﹣2）+（﹣1）×8＝0，则（a‎→‎‎-‎b‎→‎）与c‎→‎垂直；‎ 故选：B．‎ ‎7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（　　）‎ A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米 ‎【分析】根据扇形的面积公式计算即可．‎ 解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为 S‎=‎‎1‎‎2‎lr‎=‎1‎‎2‎×‎45‎×‎24‎‎2‎=‎270（平方米）．‎ 故选：B．‎ ‎8．已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可．‎ 解：f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）‎=‎1‎x+‎2ax‎=‎‎2ax‎2‎+1‎x，‎ a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，‎ 故a＞0⇒f（x）递增，是充分条件，‎ 由f（x）递增，得a＞0或a＝0，不是必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（　　）‎ A．1‎+‎π‎2‎ B．1‎+‎π‎4‎ C．1‎+‎π‎8‎ D．1+π ‎【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．‎ 解：‎ 根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为1的正方体和一个底面半径为‎1‎‎2‎，高为1的半个圆柱．‎ 如图所示：‎ 所以：V‎=1×1×1+‎1‎‎2‎×π×(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎×1=1+‎π‎8‎．‎ 故选：C．‎ ‎10．函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知f（x）‎=‎x，x∈[0，T‎4‎]‎T‎2‎‎-x，x∈(T‎4‎-T‎2‎]‎，g（x）＝f（x+a）（a∈R）．给出下列四个判断：‎ ‎①对于给定的正整数n，存在a∈R，使得i=1‎n‎ ‎g(i⋅Tn)f(i⋅Tn)=0‎成立；‎ ‎②当a‎=‎T‎4‎时，对于给定的正整数n，存在k∈R（k≠1），使得i=1‎n‎ ‎g(ki⋅Tn)f(i⋅Tn)=0‎成立；‎ ‎③当a＝kT‎4‎（k∈Z）时，函数g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心；‎ ‎④当a＝kT‎4‎（k∈Z）时，g（x）+f（x）的值只有0或T‎4‎．‎ 其中正确判断的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】对于①，易知当a=‎T‎4‎时，n∈N•，都符合i=1‎n‎ ‎g(i⋅Tn)f(i⋅Tn)=0‎；对于②，即f(Tn)⋅g(k⋅Tn)+f(‎2Tn)⋅g(k⋅‎2Tn)+⋯⋯+f(T)⋅g(kT)=0‎成立，取k ‎＝0即可证明结论成立；对于③④，分别取k＝1，2，3，4，结合函数图象的平移变换即可得出③对④错；综合即可得出正确选项．‎ 解：对于①，要使i=1‎n‎ ‎g(i⋅Tn)f(i⋅Tn)=0‎成立，即f(Tn)⋅g(Tn)+f(‎2Tn)⋅g(‎2Tn)+⋯⋯+f(T)⋅g(T)=0‎，‎ 当a=‎T‎4‎时，n∈N•，都符合i=1‎n‎ ‎g(i⋅Tn)f(i⋅Tn)=0‎，故①正确；‎ 对于②，要使i=1‎n‎ ‎g(ki⋅Tn)f(i⋅Tn)=0‎成立，即f(Tn)⋅g(k⋅Tn)+f(‎2Tn)⋅g(k⋅‎2Tn)+⋯⋯+f(T)⋅g(kT)=0‎，‎ 取k＝0，此时f(Tn)⋅g(k⋅Tn)+f(‎2Tn)⋅g(k⋅‎2Tn)+⋯⋯+f(T)⋅g(kT)=f(Tn)+f(‎2Tn)+⋯⋯+f(T)=0‎，故②正确；‎ 对于③④，当k＝1，k＝3时，g（x）为将f（x）左移T‎4‎‎，‎‎3T‎4‎个单位，此时周期变为‎5T‎4‎，既有对称轴也有对称中心，值域为‎[-T‎4‎，T‎4‎]‎，‎ 当k＝2时，g（x）为将f（x）左移T‎2‎个单位，此时g（x）+f（x）＝0，‎ 当k＝4时，g（x）为将f（x）左移T个单位，此时g（x）+f（x）＝2f（x），故③正确，④错误；‎ 故选：C．‎ 二、填空题共5题，每题5分，共25分．‎ ‎11．复数z‎=‎‎1-ii的共轭复数z为　﹣1+i　．‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．‎ 解：∵z‎=‎1-ii=‎(1-i)(-i)‎‎-‎i‎2‎=-1-i，‎ ‎∴z‎=-1+i．‎ 故答案为：﹣1+i．‎ ‎12．已知cos2α‎=‎‎1‎‎3‎，则cos2（π‎2‎‎+α）﹣2cos2（π﹣α）的值为　﹣1　．‎ ‎【分析】由cos2α‎=‎‎1‎‎3‎求得cos2α的值，再化简并计算所求三角函数值．‎ 解：由cos2α‎=‎‎1‎‎3‎，得2cos2α﹣1‎=‎‎1‎‎3‎，即cos2α‎=‎‎2‎‎3‎；‎ 所以cos2（π‎2‎‎+α）﹣2cos2（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α ‎＝1﹣3cos2α ‎＝1﹣3‎‎×‎‎2‎‎3‎ ‎＝﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎13．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：‎ ‎①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；‎ ‎②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；‎ ‎③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．‎ 其中，正确结论的序号为　①②　．‎ ‎【分析】由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断①；由同垂直于同一直线的两平面平行，可判断②；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断③．‎ 解：α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，‎ 对于①，若m⊥α，n⊥α，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得m∥n，故①正确；‎ 对于②，若m⊥α，m⊥β，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得α∥β，故②正确；‎ 对于③，若α⊥γ，β⊥γ，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断α、β相交，则α∥β 不正确．‎ 故答案为：①②．‎ ‎14．从下列四个条件①a‎=‎‎2‎c；②C‎=‎π‎6‎；③cosB‎=-‎‎2‎‎4‎；④b‎=‎‎7‎中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为　①③④，‎7‎‎2‎，或者②③④，‎2‎　．‎ ‎【分析】由①②结合正弦定理可得，asinA‎=‎csinC，可求sinA，但是A不唯一，故所选条件中不能同时有①②，只能是①③④或②③④，‎ 若选①③④，结合余弦定理可求c；若选②③④，结合正弦定理即可求解．‎ 解：由①②结合正弦定理可得，asinA‎=‎csinC，‎ 所以sinA‎=‎‎2‎sinC‎=‎‎2‎‎2‎，此时A不唯一，故所选条件中不能同时有①②，‎ 故只能是①③④或②③④，‎ 若选①③④a‎=‎‎2‎c，cosB‎=-‎‎2‎‎4‎，b‎=‎‎7‎，‎ 由余弦定理可得，‎-‎2‎‎4‎=‎‎2c‎2‎+c‎2‎-7‎‎2c⋅‎2‎c，‎ 解可得，c‎=‎‎7‎‎2‎；‎ 若选②③④，C‎=‎π‎6‎，cosB‎=-‎‎2‎‎4‎，b‎=‎‎7‎，‎ ‎∴sinB‎=‎‎14‎‎4‎，且B为钝角，‎ 由正弦定理可得，‎7‎‎14‎‎4‎‎=‎c‎1‎‎2‎，‎ 解可得，c‎=‎‎2‎．‎ 故答案为①③④，‎7‎‎2‎，②③④，‎2‎．‎ ‎15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为　5　．‎ ‎【分析】求出每天的平均费用关于n的式子，利用基本不等式得出结论．‎ 解：每个周期内的总费用为5000+400+400×2+400×3+…+400（n﹣1）＝5000+200n（n﹣1），‎ ‎∴每个周期内每天的平均费用为：‎5000+200n(n-1)‎n‎=‎5000‎n+‎200n﹣200≥2‎5000‎n‎⋅200n‎-‎200＝1800，‎ 当且仅当‎5000‎n‎=‎200n即n＝5时取等号．‎ 故答案为：5．‎ 三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎16．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝CD＝1，AD＝2，E为AD中点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面A1EB⊥平面A1ED；‎ ‎（Ⅱ）若∠A1ED＝90°，求A1C与平面A1BD 所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明BE⊥AD．BE⊥A1E，BE⊥DE．然后证明BE⊥平面A1DE．即可证明平面A1EB⊥平面A1DE．‎ ‎（Ⅱ）建立以E为原点，EB，ED，DA为x，y，z轴的空间直角坐标系E﹣xyz．求出平面A1BD的法向量，结合A‎1‎C‎→‎‎=(1，1，-1)‎，利用空间向量的数量积求解直线A1C与平面A1BD所成角的正弦函数值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝1，AD＝2，E为AD中点，‎ 所以 BE⊥AD．‎ 故 图②中，BE⊥A1E，BE⊥DE．‎ 又 因为A1E∩DE＝E，A1E，DE⊂平面A1DE，‎ 所以 BE⊥平面A1DE．‎ 又 因为BE⊂平面A1EB，‎ 所以 平面A1EB⊥平面A1DE．‎ ‎（Ⅱ）解：由∠A1ED＝90°得A1E⊥DE，‎ 又 A1E⊥BE，BE⊥DE，‎ 因此，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz．‎ 由A1E＝CD＝DE＝1，‎ 得A1（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A‎1‎B‎→‎‎=(1，0，-1)‎，A‎1‎D‎→‎‎=(0，1，-1)‎，‎ 设平面A1BD的法向量为n‎→‎‎=‎（x，y，z），‎ 则n‎→‎‎⋅A‎1‎B‎→‎=0，‎n‎→‎‎⋅A‎1‎D‎→‎=0，‎即x-z=0，‎y-z=0，‎，令z＝1得x＝1，y＝1，‎ 所以n‎→‎‎=‎（1，1，1）是平面A1BD的一个法向量．‎ 又 A‎1‎C‎→‎‎=(1，1，-1)‎，‎ 设直线A1C与平面A1BD所成角为θ，‎ 所以sinθ=|cos〈n‎→‎，A‎1‎C‎→‎〉|=‎|n‎→‎⋅A‎1‎C‎→‎|‎‎|n‎→‎||A‎1‎C‎→‎|‎=‎1‎‎3‎‎⋅‎‎3‎=‎‎1‎‎3‎．‎ ‎17．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a3＝1，S3＝3a2+1．{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图_____，Tn的图象经过A，B两个点．‎ ‎（Ⅰ）求Sn；‎ ‎（Ⅱ）若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值．‎ 从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设{an}为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和；‎ ‎（Ⅱ）分别考虑图①、②、③，判断数列{bn}的单调性，选择②③均可能满足“存在n，使得bn＞Sn”．讨论两种情况，等差数列的通项公式和恒成立思想，即可得到所求最小值．‎ 解：（Ⅰ）设{an}为公比为q的等比数列，‎ 由a3＝1，S3＝3a2+1，得a1＝2a2，即q‎=a‎2‎a‎1‎=‎‎1‎‎2‎，a1q2＝1，‎ 所以q=‎‎1‎‎2‎，a1＝4．‎ 所以Sn‎=‎4(1-‎1‎‎2‎n)‎‎1-‎‎1‎‎2‎=8(1-‎1‎‎2‎n)=8-‎‎2‎‎3-n；‎ ‎（Ⅱ）由图①知：T1＝b1＝1，T3＝﹣3，可判断d＜0，数列{bn}是递减数列；‎ 而{8﹣23﹣n}递增，由于b1＜S1，‎ 所以选择①不满足“存在n，使得bn＞Sn”；‎ 由图②知：T1＝b1＝1，T3＝6，可判断d＞0，数列{bn}是递增数列；‎ 由图③知：T1＝b1＝﹣3，T3＝0，可判断d＞0，数列{bn}是递增数列．‎ 所以选择②③均可能满足“存在n，使得bn＞Sn”．‎ 第一种情况：‎ 如果选择条件②即T1＝b1＝1，T3＝6，可得：d＝1，bn＝n．‎ 当n＝1，2，3，4，5，6，7时，bn＞Sn不成立，‎ 当n＝8时，b‎8‎‎=8，S‎8‎=8-‎2‎‎3-8‎＜‎b‎8‎，‎ 所以 使得bn＞Sn成立的 n的最小值为8．‎ 第二种情况：‎ 如果选择条件③即T1＝b1＝﹣3，T3＝0，可得：d＝3，bn＝3n﹣6．‎ 当n＝1，2，3，4时，bn＞Sn不成立，‎ 当n＝5时，b‎5‎‎=9，S‎5‎=8-‎2‎‎3-5‎＜‎b‎5‎成立，‎ 所以 使得bn＞Sn成立的n的最小值为5．‎ ‎18．某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b．‎ 项目 计划招募人数 报名人数 A ‎50‎ ‎100‎ B ‎60‎ a C ‎80‎ b D ‎160‎ ‎200‎ 甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为甲同学最终被招募的项目个数，已知P ‎（ξ＝0）‎=‎‎1‎‎40‎，P（ξ＝4）‎=‎‎1‎‎10‎．‎ ‎（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；‎ ‎（Ⅱ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目D，试判断Eξ如何变化（结论不要求证明）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由P(ξ=0)=‎‎1‎‎40‎，得a＞60，且b＞80．设事件A表示“甲同学被项目A招募”，则P(A)=‎50‎‎100‎=‎‎1‎‎2‎；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，则P(B)=‎‎60‎a；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，则P(C)=‎‎80‎b；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，则P(D)=‎160‎‎200‎=‎‎4‎‎5‎，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ＝4”是对立的，由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，P(ξ=0)=P(ABCD)=(1-‎1‎‎2‎)⋅(1-‎60‎a)⋅(1-‎80‎b)⋅(1-‎4‎‎5‎)=‎‎1‎‎40‎，P(ξ=4)=P(ABCD)=‎1‎‎2‎⋅‎60‎a⋅‎80‎b⋅‎4‎‎5‎=‎‎1‎‎10‎，由此能求出a，b．‎ ‎（Ⅲ）Eξ变大．‎ 解：（Ⅰ）因为P(ξ=0)=‎‎1‎‎40‎，‎ 所以a＞60，且b＞80．‎ 设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，P(A)=‎50‎‎100‎=‎‎1‎‎2‎；‎ 设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，P(B)=‎‎60‎a；‎ 设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，P(C)=‎‎80‎b；‎ 设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，P(D)=‎160‎‎200‎=‎‎4‎‎5‎，‎ 由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ξ＝4”是对立的，‎ 所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 ‎1-P(ξ=4)=1-‎1‎‎10‎=‎‎9‎‎10‎，‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，P(ξ=0)=P(ABCD)=(1-‎1‎‎2‎)⋅(1-‎60‎a)⋅(1-‎80‎b)⋅(1-‎4‎‎5‎)=‎‎1‎‎40‎，‎ P(ξ=4)=P(ABCD)=‎1‎‎2‎⋅‎60‎a⋅‎80‎b⋅‎4‎‎5‎=‎‎1‎‎10‎‎，‎ 解得a＝120，b＝160．‎ ‎（Ⅲ）Eξ变大．‎ ‎19．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，﹣1），离心率为‎3‎‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出b‎2‎‎+c‎2‎=a‎2‎，‎ca‎=‎3‎‎2‎，‎b=1，‎求出a，b然后得到椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及线段PQ的中点为M，结合向量的数量积，判断点M不在以AB为直径的圆上．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由题意可知b‎2‎‎+c‎2‎=a‎2‎，‎ca‎=‎3‎‎2‎，‎b=1，‎ 解得a=2，‎b=1，‎c=‎3‎，‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎．‎ ‎（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．‎ 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1，‎y=k(x-1)，‎得 （4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，‎ 所以△＝（﹣8k2）2﹣4×（4k2+1）（4k2﹣4）＝48k2+16．‎ 所以当k为任何实数时，都有△＞0．‎ 所以 x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎8‎k‎2‎‎4k‎2‎+1‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4k‎2‎-4‎‎4k‎2‎+1‎．‎ 因为线段PQ的中点为M，‎ 所以 x‎0‎‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=‎‎4‎k‎2‎‎4k‎2‎+1‎，y‎0‎‎=k(x‎0‎-1)=‎‎-k‎4k‎2‎+1‎，‎ 因为 B（1，0），‎ 所以 AM‎→‎‎=(x‎0‎，y‎0‎+1)‎，BM‎→‎‎=(x‎0‎-1，y‎0‎)‎．‎ 所以 ‎AM‎→‎‎⋅BM‎→‎=x‎0‎(x‎0‎-1)+y‎0‎(y‎0‎+1)=x‎0‎‎2‎-x‎0‎+y‎0‎‎2‎+‎y‎0‎ ‎=(‎4‎k‎2‎‎4k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎-‎4‎k‎2‎‎4k‎2‎+1‎+(‎-k‎4k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎+‎‎-k‎4k‎2‎+1‎‎ ‎ ‎=‎-4k‎3‎-3k‎2‎-k‎(4k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎=‎‎-k(4k‎2‎+3k+1)‎‎(4k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎‎ ‎ ‎=‎‎-k[4‎(k+‎3‎‎8‎)‎‎2‎+‎7‎‎16‎]‎‎(4k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎‎．‎ 又因为 k≠0，‎4(k+‎3‎‎8‎‎)‎‎2‎+‎7‎‎16‎＞0‎，‎ 所以 AM‎→‎‎⋅BM‎→‎≠0‎，‎ 所以点M不在以AB为直径的圆上．‎ ‎20．已知f（x）＝ex+sinx+ax（a∈一、选择题）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝﹣2时，求证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）有最小值，请直接给出实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（I）把a＝﹣2代入后对函数求导，然后结合单调性与导数关系即可证明；‎ ‎（II）由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题，结合导数对a进行分类讨论可求；‎ ‎（III）结合最值与极值及导数关系可求．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：a＝﹣2，f'（x）＝ex+cosx﹣2，‎ 当 x＜0时，ex＜1，cosx≤1，‎ 所以 f'（x）＝ex+cosx﹣2＜0．‎ 所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．‎ ‎（Ⅱ）解：当x＝0时，f（x）＝1≥1，对于a∈R，命题成立，‎ 当 x＞0时，设g（x）＝ex+cosx+a，‎ 则g'（x）＝ex﹣sinx．‎ 因为 ex＞1，sinx≤1，‎ 所以 g'（x）＝ex﹣sinx＞1﹣1＝0，g（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 又g（0）＝2+a，‎ 所以g（x）＞2+a．‎ 所以f'（x）在（0，+∞）上单调递增，且f'（x）＞2+a．‎ ‎①当a≥﹣2时，f'（x）＞0，‎ 所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 因为 f（0）＝1，‎ 所以f（x）＞1恒成立．‎ ‎②当a＜﹣2时，f'（0）＝2+a＜0，‎ 因为f'（x）在[0，+∞）上单调递增，‎ 又当 x＝ln（2﹣a）时，f'（x）＝﹣a+2+cosx+a＝2+cosx＞0，‎ 所以 存在x0∈（0，+∞），对于x∈（0，x0），f'（x）＜0恒成立．‎ 所以 f（x）在（0，x0）上单调递减，‎ 所以 当x∈（0，x0）时，f（x）＜f（0）＝1，不合题意．‎ 综上，当a≥﹣2时，对于x≥0，f（x）≥1恒成立．‎ ‎（Ⅲ）解：a＜0．‎ ‎21．设数列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn．已知ai，bj∈{0，1}（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n），定义n×n数表X(A，B)=‎x‎11‎x‎12‎‎⋯‎x‎1nx‎21‎x‎22‎‎⋯‎x‎2n‎⋮‎‎⋮‎‎⋮‎‎⋮‎xn1‎xn2‎‎⋯‎xnn，其中xij‎=‎‎1，ai=‎bj‎0，ai≠‎bj．‎ ‎（Ⅰ）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；‎ ‎（Ⅱ）若A，B是不同的数列，求证：n×n数表X（A，B）满足“xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）”的充分必要条件为“ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）”；‎ ‎（Ⅲ）若数列A与B中的1共有n个，求证：n×n数表X（A，B）中1的个数不大于n‎2‎‎2‎．‎ ‎【分析】（I）根据xij‎=‎‎1，ai=‎bj‎0，ai≠‎bj得出X（A，B）的各行各列的数值；‎ ‎（II）根据ai＝bj⇔ai＝1﹣aj⇔ai+aj＝1⇔aj＝1﹣ai⇔aj＝bi证明充分性，根据a1，b1的各种不同取值分类证明必要性；‎ ‎（III）讨论ai的不同取值，计算X（A，B）的第i行中1的个数，从而得出X（A，B ‎）中1的总数，利用基本不等式得出结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：X(A，B)=‎‎0‎‎1‎‎0‎‎0‎‎0‎‎1‎‎0‎‎0‎‎0‎‎1‎‎0‎‎0‎‎1‎‎0‎‎1‎‎1‎．‎ ‎（Ⅱ）证明：充分性 若ak+bk＝1（k＝1，2，…，n），由于xij‎=‎‎1，ai=‎bj‎0，ai≠‎bj，xji‎=‎‎1，aj=‎bi‎0，aj≠‎bi，‎ 令 A：a1，a2，…，an，由此数列 B：1﹣a1，1﹣a2，…，1﹣an．‎ 由于 ai＝bj⇔ai＝1﹣aj⇔ai+aj＝1⇔aj＝1﹣ai⇔aj＝bi．‎ 从而有 xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）．‎ 必要性 若xij＝xji（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n；i≠j）．‎ 由于A，B是不同的数列，‎ ‎（1）设a1＝1，b1＝0，对任意的正整数k＞1，‎ ‎①若x1k＝xk1＝1，可得 a1＝bk＝1，ak＝b1＝0，‎ 所以 ak+bk＝1．‎ ‎②若x1k＝xk1＝0，可得 bk＝0，ak＝1，‎ 所以 ak+bk＝1．‎ 同理可证 a1＝0，b1＝1时，有ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）成立．‎ ‎（2）设a1＝1，b1＝1，对任意的正整数k＞1，‎ ‎①若x1k＝xk1＝1，可得a1＝bk＝1，ak＝b1＝1，‎ 所以有ak＝bk＝1，则A，B是相同的数列，不符合要求．‎ ‎②若x1k＝xk1＝0，可得bk＝0，ak＝0，‎ 所以有ak＝bk，则A，B是相同的数列，不符合要求．‎ 同理可证 a1＝0，b1＝0时，A，B是相同的数列，不符合要求．‎ 综上，有n×n数表X（A，B）满足“xij＝xji”的充分必要条件为“ak+bk＝1（k＝1，2，…，n）”．‎ ‎（Ⅲ）证明：由于数列A，B中的1共有n个，设A中1的个数为p，‎ 由此，A中0的个数为n﹣p，B中1的个数为n﹣p，B中0的个数为p．‎ 若 ai＝1，则数表X（A，B）的第i行为数列B：b1，b2，…，bn，‎ 若 ai＝0，则数表X（A，B）的第i行为数列B：1﹣b1，1﹣b2，…，1﹣bn，‎ 所以 数表X（A，B）中1的个数为p(n-p)+(n-p)p=2p(n-p)≤2(p+(n-p)‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎n‎2‎‎2‎．‎ 所以 n×n数表X（A，B）中1的个数不大于n‎2‎‎2‎．‎ ‎ ‎