【数学】2021届一轮复习北师大版（理）27正弦定理、余弦定理作业

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）27正弦定理、余弦定理作业

正弦定理、余弦定理 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)‎ A．2　　　　 B．1　　　　‎ C.　　　　 D. D　[由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.]‎ ‎2．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. A　[由正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝，所以sin B＝.已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝.]‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B等于(　　)‎ A．－ B. ‎ C．－ D. B　[由正弦定理知＝＝1，即tan B＝，‎ 由B∈(0，π)，所以B＝，所以cos B＝cos ＝，故选B.]‎ ‎4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. C　[由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C．因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.]‎ ‎5．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 D　[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin ‎2C＝sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以‎2C＝2B或‎2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则角A＝________.‎ 　[因为2asin B＝b，所以2sin Asin B＝sin B，得sin A＝，所以A＝或A＝.因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.]‎ ‎7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.‎ 　[在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.]‎ ‎8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．‎ ＋1　[∵b＝2，B＝，C＝，‎ 由正弦定理＝，‎ 得c＝＝＝2，A＝π－＝，‎ ‎∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝.‎ 则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.]‎ 三、解答题 ‎9．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.‎ ‎(1)求b，c的值；‎ ‎(2)求sin(B－C)的值．‎ ‎[解]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得 b2＝32＋c2－2×3×c×.‎ 因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×.‎ 解得c＝5.所以b＝7.‎ ‎(2)由cos B＝－得sin B＝.‎ 由正弦定理得sin C＝sin B＝.‎ 在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．‎ 所以cos C＝＝.‎ 所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝.‎ ‎10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．‎ ‎[解]　(1)由题设得acsin B＝，‎ 即csin B＝.‎ 由正弦定理，得sin Csin B＝，‎ 故sin Bsin C＝.‎ ‎(2)由题设及(1)，得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.‎ 由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.‎ 由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，‎ 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.‎ 故△ABC的周长为3＋.‎ ‎1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝(　　)‎ A． B．2 ‎ C．3 D． B　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得acos B＝，又acos B－c－＝0，a2＝bc，所以c＋＝，即2b2－5bc＋‎2c2＝0，所以有(b－‎2c)·(2b－c)＝0.所以b＝‎2c或c＝2b，又b＞c，所以＝2.故选B.]‎ ‎2．在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sin A＝________，BC＝________.‎ 　4　[依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，所以cos∠ACD＝.在△ACD中，AD＝＝4.由正弦定理得，＝，即sin A＝＝.在△ABC中，＝，即BC＝＝4.]‎ ‎3．(2019·西安质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b.‎ ‎(1)求证：2(a＋c)＝3b；‎ ‎(2)若cos B＝，S＝，求b.‎ ‎[解]　(1)证明：由已知得，‎ a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b.‎ 在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，‎ 则acos C＋ccos A＝b.‎ 所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b.‎ ‎(2)因为cos B＝，所以sin B＝.‎ 因为S＝acsin B＝ac＝，所以ac＝8.‎ 又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－‎2ac(1＋cos B)，2(a＋c)＝3b，‎ 所以b2＝－16×，所以b＝4.‎ ‎1．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)‎ A．2 B．4 ‎ C．2 D．3 C　[∵＝2cos C，‎ 由正弦定理，‎ 得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，‎ ‎∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，‎ 由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，‎ ‎∵S△ABC＝2＝absin C＝ab，∴ab＝8，‎ 又a＋b＝6，解得或 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12，‎ ‎∴c＝2，故选C.]‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.‎ ‎(1)求角A和角B的大小；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ ‎[解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，‎ 得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，‎ 又0＜A＜π，∴A＝.‎ 由sin Asin B＝cos2，‎ 得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，‎ 则cos C＜0，即C为钝角，‎ ‎∴B为锐角，且B＋C＝，‎ 则sin＝1＋cos C，‎ 化简得cos＝－1，‎ 解得C＝，∴B＝.‎ ‎(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，‎ 由余弦定理得AM2＝b2＋2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，‎ 解得b＝2，‎ 故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.‎