【数学】2019届一轮复习北师大版理科第四章第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版理科第四章第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式学案

第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.‎ ‎(2)商数关系:=tan__α.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ+α(k∈Z)‎ π+α ‎-α π-α -α +α 正弦 sin α ‎-sin__α ‎-sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α ‎-cos__α ‎ cos__α ‎ ‎-cos__α ‎ sin__α ‎-sin__α ‎ 正切 tan α tan__α ‎-tan__α ‎-tan__α 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.‎ ‎2.同角三角函数基本关系式的常用变形:‎ ‎(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.‎ ‎3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(  )‎ ‎(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(  )‎ ‎(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.(  )‎ ‎(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.(  )‎ 解析 (1)对于α∈R,sin(π+α)=-sin α都成立.‎ ‎(4)当k为奇数时,sin α=,‎ 当k为偶数时,sin α=-.‎ 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.(2018·上饶诊断)已知α为锐角,且sin α=,则cos (π+α)=(  )‎ A.- B. C.- D. 解析 因为α为锐角,所以cos α==,所以cos(π+α)=-cos α=-,故选A.‎ 答案 A ‎3.已知sin=,那么cos α=(  )‎ A.- B.- C. D. 解析 ∵sin=sin=cos α,∴cos α=.故选C.‎ 答案 C ‎4.(教材习题改编)已知tan α=2,则的值为________.‎ 解析 原式===3.‎ 答案 3‎ ‎5.已知sin θ+cos θ=,θ∈,则sin θ-cos θ的值为________.‎ 解析 ∵sin θ+cos θ=,∴sin θcos θ=.‎ 又∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,‎ 又∵θ∈,∴sin θ-cos θ=-.‎ 答案 - 考点一 同角三角函数基本关系式的应用 ‎【例1】 (1)(2018·汉中测试)已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-‎ sin α的值为(  )‎ A.- B. C.- D. ‎(2)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α=,则cos2α+2sin 2α=(  )‎ A. B. C.1 D. 解析 (1)∵<α<,‎ ‎∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,‎ ‎∴cos α-sin α>0.‎ 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,‎ ‎∴cos α-sin α=.‎ ‎(2)tan α=,则cos2α+2sin 2α===.‎ 答案 (1)B (2)A 规律方法 1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎2.应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.‎ ‎3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.‎ ‎【训练1】 (1)若3sin α+cos α=0,则的值为(  )‎ A. B. C. D.-2‎ ‎(2)(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈,tan α=2,则cos=________.‎ 解析 (1)3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-,== ‎==.‎ ‎(2)由tan α=2得sin α=2 cos α,‎ 又sin 2α+cos2α=1,所以cos2α=.‎ 因为α∈,所以cos α=,sin α=.‎ 因为cos=cos αcos +sin αsin ,‎ 所以cos=×+×=.‎ 答案 (1)A (2) 考点二 诱导公式的应用 ‎【例2】 (1)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是(  )‎ A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}‎ C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}‎ 解析 当k为偶数时,A=+=2;‎ k为奇数时,A=-=-2.‎ 答案 C ‎(2)求值:‎ 设f(α)=(1+2sin α≠0),求 f 的值.‎ 解 ∵f(α)= ‎===,‎ ‎∴f=== ‎=.‎ 规律方法 1.诱导公式的两个应用 ‎(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.‎ ‎(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.‎ ‎2.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将 ‎2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=________.‎ ‎(2)求值:sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)=________.‎ 解析 (1)α与β的终边关于y轴对称,则α+β=π+2kπ,k∈Z,∴β=π-α+2kπ,k∈Z,∴sin β=sin(π-α+2kπ)=sin α=.‎ ‎(2)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°‎ ‎=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)‎ ‎=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°‎ ‎=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=1.‎ 答案 (1) (2)1‎ 考点三 诱导公式、同角三角函数基本关系式的活用 ‎【例3】 (1)(2018·渭南模拟)已知cos=,且-π<α<-,则cos等于(  )‎ A. B. C.- D.- ‎(2)已知tan=,则tan=________.‎ 解析 (1)因为+=,‎ 所以cos=sin=sin.‎ 因为-π<α<-,所以-<α+<-.‎ 又cos=>0,所以-<α+<-,‎ 所以sin=- ‎=-=-.‎ ‎(2)∵+=π,‎ ‎∴tan=tan ‎=-tan=-.‎ 答案 (1)D (2)- 规律方法 1.常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α等.‎ ‎2.常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ等.‎ ‎【训练3】 (1)已知sin α-cos α=,α∈(0,π),则tan α=(  )‎ A.-1 B.- C. D.1‎ ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.‎ 解析 (1)由 得2cos2α+2cos α+1=0,即=0,‎ ‎∴cos α=-.‎ 又α∈(0,π),∴α=,∴tan α=tan =-1.‎ ‎(2)由题意,得cos=,∴tan=.‎ ‎∴tan=tan=-=-.‎ 答案 (1)A (2)- 基础巩固题组 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.sin 600°的值为(  )‎ A.- B.- C. D. 解析 sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°‎ ‎=sin(180°+60°)=-sin 60°=-.‎ 答案 B ‎2.(2018·武汉模拟)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α=(  )‎ A.- B. C.- D. 解析 因为α是第四象限角,sin α=-,‎ 所以cos α==,故tan α==-.‎ 答案 C ‎3.(2018·九江一模)已知tan θ=3,则cos=(  )‎ A.- B.- C. D. 解析 ∵tan θ=3,∴cos=sin 2θ====.‎ 答案 C ‎4.=(  )‎ A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2‎ C.±(sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2 ‎ 解析 = ‎==|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.‎ 答案 A ‎5.(2018·兰州质检)向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,则cos=(  )‎ A.- B. C.- D.- 解析 ∵a=,b=(cos α,1),且a∥b,‎ ‎∴×1-tan αcos α=0,∴sin α=,‎ ‎∴cos=-sin α=-.‎ 答案 A ‎6.(2018·郴州二模)已知sin=,则cos=(  )‎ A. B. C.- D.- 解析 因为sin=,所以cos=sin=sin=.‎ 答案 B ‎7.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为(  )‎ A.- B.- C. D. 解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1=-.‎ 答案 B ‎8.(2018·咸阳月考)已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2 018)的值为(  )‎ A.-1 B.1 C.3 D.-3‎ 解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)‎ ‎=asin α+bcos β=3,‎ ‎∴f(2 018)=asin(2 018π+α)+bcos(2 018π+β)‎ ‎=asin α+bcos β=3.‎ 答案 C 二、填空题 ‎9.(2018·石家庄质检)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则sin 2α的值为________.‎ 解析 由sin(π-α)=,得sin α=,‎ 又≤α≤π,所以cos α=-,‎ 则sin 2α=2sin αcos α=-.‎ 答案 - ‎10.化简:=________.‎ 解析 原式===1.‎ 答案 1‎ ‎11.已知sin=,则cos=________.‎ 解析 ∵+=,‎ ‎∴cos=cos=sin=.‎ 答案  ‎12.(2018·孝感质检)已知tan α=3,则的值是________.‎ 解析 原式= ‎=====2.‎ 答案 2‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎13.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于(  )‎ A.- B.- C. D. 解析 ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),‎ ‎∴-sin θ=-cos θ,‎ ‎∴tan θ=,∵|θ|<,∴θ=.‎ 答案 D ‎14.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为(  )‎ A.1+ B.1- C.1± D.-1- 解析 由题意知sin θ+cos θ=-,sin θ·cos θ=.‎ 又=1+2sin θcos θ,‎ ‎∴=1+,解得m=1±.‎ 又Δ=4m2-16m≥0,∴m≤0或m≥4,∴m=1-.‎ 答案 B ‎15.sin21°+sin22°+…+sin290°=________.‎ 解析 sin21°+sin22°+…+sin290°=sin21°+sin22°+…+sin244°+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos21°+sin290°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°+sin290°=44++1=.‎ 答案  ‎16.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x,当0≤x<π时,f(x)=0,则f =________.‎ 解析 由f(x+π)=f(x)+sin x,得f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sin x-sin x=f(x),‎ 所以f =f ‎=f =f =f +sinπ.‎ 因为当0≤x<π时,f(x)=0.‎ 所以f =0+=.‎ 答案 
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