【数学】2021届一轮复习北师大版(理)12函数与方程作业

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【数学】2021届一轮复习北师大版(理)12函数与方程作业

函数与方程 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为(  )‎ A.(0,1)   B.(1,2)  ‎ C.(2,3)   D.(3,4)‎ B [∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0,‎ ‎∴f(1)·f(2)<0,‎ ‎∵函数f(x)=ln x+x-2的图像是连续的,且为增函数,‎ ‎∴f(x)的零点所在的区间是(1,2).]‎ ‎2.函数f(x)=的零点个数为(  )‎ A.3 B.2 ‎ C.7 D.0‎ B [法一:(直接法)由f(x)=0得 或 解得x=-2或x=e.‎ 因此函数f(x)共有2个零点.‎ 法二:(图像法)函数f(x)的图像如图所示,由图像知函数f(x)共有2个零点.]‎ ‎3.已知a是函数f(x)=2x-logx的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足(  )‎ A.f(x0)=0 B.f(x0)>0‎ C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定 C [f(x)在(0,+∞)上是增函数,‎ 若0<x0<a,‎ 则f(x0)<f(a)=0.]‎ ‎4.已知函数f(x)=x-(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+ln x的零点分别为x1,x2,x3,则(  )‎ A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3‎ C.x2<x3<x1 D.x3<x1<x2‎ C [作出y=x与y1=,y2=-ex,y3=-ln x的图像如图所示,可知选C.‎ ‎]‎ ‎5.(2019·长沙模拟)已知函数f(x)=则使方程x+f(x)=m有解的实数m的取值范围是(  )‎ A.(1,2) B.(-∞,-2]‎ C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,1]∪[2,+∞)‎ D [当x≤0时,x+f(x)=m,即x+1=m,解得m≤1;当x>0时,x+f(x)=m,即x+=m,解得m≥2,即实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选D.]‎ 二、填空题 ‎6.函数f(x)=ax+1-‎2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________.‎  [∵函数f(x)的图像为直线,‎ 由题意可得f(-1)f(1)<0,‎ ‎∴(-‎3a+1)·(1-a)<0,解得<a<1,‎ ‎∴实数a的取值范围是.]‎ ‎7.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解集是________.‎  [∵f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2,3.‎ ‎∴-2,3是方程x2+ax+b=0的两根,‎ 由根与系数的关系知 ‎∴ ‎∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0,‎ 即-(4x2+2x-6)>0⇔2x2+x-3<0,‎ 解集为.]‎ ‎8.(2019·漳州模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是________.‎  [作出函数f(x)的图像如图所示.‎ 当x≤0时,f(x)=x2+x=2-≥-,若函数f(x)与y=m的图像有三个不同的交点,则-<m≤0,即实数m的取值范围是.]‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点.‎ ‎(1)求m的值.‎ ‎(2)求函数的零点.‎ ‎[解] (1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.‎ 设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.‎ 当Δ=0时,即m2-4=0,‎ 所以m=±2,‎ 当m=-2时,t=1;‎ 当m=2时,t=-1(不合题意,舍去).‎ 所以2x=1,x=0符合题意.‎ 当Δ>0时,即m>2或m<-2,‎ t2+mt+1=0有两正或两负根,‎ 即f(x)有两个零点或没有零点.‎ 所以这种情况不符合题意.‎ 综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点.‎ ‎(2)由(1)可知,该函数的零点为0.‎ ‎10.设函数f(x)=(x>0).‎ ‎(1)作出函数f(x)的图像;‎ ‎(2)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求+的值;‎ ‎(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.‎ ‎[解] (1)如图所示.‎ ‎(2)因为f(x)== 故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数.‎ 由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b,‎ 且-1=1-,所以+=2.‎ ‎(3)由函数f(x)的图像可知,当0<m<1时,函数f(x)的图像与直线y=m有两个不同的交点,即方程f(x)=m有两个不相等的正根.‎ ‎1.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点有(  )‎ A.多于4个 B.4个 C.3个 D.2个 B [因为偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),故函数的周期为2.当x∈[0,1]时,f(x)=x,故当x∈[-1,0]时,f(x)=-x.函数y=f(x)-log3|x|的零点的个数等于函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像的交点个数.在同一个坐标系中画出函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像,如图所示.‎ 显然函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像有4个交点,故选B.]‎ ‎2.已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是(  )‎ A.(0,1]∪[2,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)‎ C.(0,]∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞)‎ B [在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m22与g(x)=+m的大致图像.分两种情形:‎ ‎(1)当0<m≤1时,≥1,如图①,当x∈[0,1]时,f(x)与g(x)的图像有一个交点,符合题意.‎ ‎①         ②‎ ‎(2)当m>1时,0<<1,如图②,要使f(x)与g(x)的图像在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1),即1+m≤(m-1)2,解得m≥3或m≤0(舍去).‎ 综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞).故选B.]‎ ‎3.已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ=________.‎ ‎- [依题意,方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有1个解,故f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ)有1个解,‎ ‎∴2x2+1=x-λ,即2x2-x+1+λ=0有唯一解,‎ 故Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.]‎ ‎4.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)= ‎(1)求g(f(1))的值;‎ ‎(2)若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2.‎ ‎(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)内有2个不同的解,‎ 则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图像(图略),由图像可知,当1≤a<时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是.‎ ‎1.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________.‎  [若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则f(x)的图像和直线y=kx-有4个交点.作出函数f(x)的图像,如图,故点(1,0)在直线y=kx-的下方.所以k·1->0,解得k>.‎ 当直线y=kx-和y=ln x相切时,设切点横坐标为m,则k==,所以m=.此时,k==,f(x)的图像和直线y=kx-有3个交点,不满足条件,故要求的k的取值范围是.]‎ ‎2.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根,求a的取值范围.‎ ‎[解] 由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为4,又函数为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),‎ 所以函数图像关于x=2对称,且f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=logax有三个不同的根,则满足 解得<a<,故a的取值范围是(,).‎
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