- 2021-07-01 发布 |
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文档介绍
【数学】2021届一轮复习北师大版(理)12函数与方程作业
函数与方程 建议用时:45分钟 一、选择题 1.设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) B [∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0, ∴f(1)·f(2)<0, ∵函数f(x)=ln x+x-2的图像是连续的,且为增函数, ∴f(x)的零点所在的区间是(1,2).] 2.函数f(x)=的零点个数为( ) A.3 B.2 C.7 D.0 B [法一:(直接法)由f(x)=0得 或 解得x=-2或x=e. 因此函数f(x)共有2个零点. 法二:(图像法)函数f(x)的图像如图所示,由图像知函数f(x)共有2个零点.] 3.已知a是函数f(x)=2x-logx的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足( ) A.f(x0)=0 B.f(x0)>0 C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定 C [f(x)在(0,+∞)上是增函数, 若0<x0<a, 则f(x0)<f(a)=0.] 4.已知函数f(x)=x-(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+ln x的零点分别为x1,x2,x3,则( ) A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 C.x2<x3<x1 D.x3<x1<x2 C [作出y=x与y1=,y2=-ex,y3=-ln x的图像如图所示,可知选C. ] 5.(2019·长沙模拟)已知函数f(x)=则使方程x+f(x)=m有解的实数m的取值范围是( ) A.(1,2) B.(-∞,-2] C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,1]∪[2,+∞) D [当x≤0时,x+f(x)=m,即x+1=m,解得m≤1;当x>0时,x+f(x)=m,即x+=m,解得m≥2,即实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选D.] 二、填空题 6.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________. [∵函数f(x)的图像为直线, 由题意可得f(-1)f(1)<0, ∴(-3a+1)·(1-a)<0,解得<a<1, ∴实数a的取值范围是.] 7.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解集是________. [∵f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2,3. ∴-2,3是方程x2+ax+b=0的两根, 由根与系数的关系知 ∴ ∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0⇔2x2+x-3<0, 解集为.] 8.(2019·漳州模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是________. [作出函数f(x)的图像如图所示. 当x≤0时,f(x)=x2+x=2-≥-,若函数f(x)与y=m的图像有三个不同的交点,则-<m≤0,即实数m的取值范围是.] 三、解答题 9.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点. (1)求m的值. (2)求函数的零点. [解] (1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根. 设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0. 当Δ=0时,即m2-4=0, 所以m=±2, 当m=-2时,t=1; 当m=2时,t=-1(不合题意,舍去). 所以2x=1,x=0符合题意. 当Δ>0时,即m>2或m<-2, t2+mt+1=0有两正或两负根, 即f(x)有两个零点或没有零点. 所以这种情况不符合题意. 综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点. (2)由(1)可知,该函数的零点为0. 10.设函数f(x)=(x>0). (1)作出函数f(x)的图像; (2)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求+的值; (3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围. [解] (1)如图所示. (2)因为f(x)== 故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数. 由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b, 且-1=1-,所以+=2. (3)由函数f(x)的图像可知,当0<m<1时,函数f(x)的图像与直线y=m有两个不同的交点,即方程f(x)=m有两个不相等的正根. 1.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点有( ) A.多于4个 B.4个 C.3个 D.2个 B [因为偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),故函数的周期为2.当x∈[0,1]时,f(x)=x,故当x∈[-1,0]时,f(x)=-x.函数y=f(x)-log3|x|的零点的个数等于函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像的交点个数.在同一个坐标系中画出函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像,如图所示. 显然函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像有4个交点,故选B.] 2.已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( ) A.(0,1]∪[2,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞) C.(0,]∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞) B [在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m22与g(x)=+m的大致图像.分两种情形: (1)当0<m≤1时,≥1,如图①,当x∈[0,1]时,f(x)与g(x)的图像有一个交点,符合题意. ① ② (2)当m>1时,0<<1,如图②,要使f(x)与g(x)的图像在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1),即1+m≤(m-1)2,解得m≥3或m≤0(舍去). 综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞).故选B.] 3.已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ=________. - [依题意,方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有1个解,故f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ)有1个解, ∴2x2+1=x-λ,即2x2-x+1+λ=0有唯一解, 故Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.] 4.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)= (1)求g(f(1))的值; (2)若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围. [解] (1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2. (2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)内有2个不同的解, 则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图像(图略),由图像可知,当1≤a<时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是. 1.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________. [若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则f(x)的图像和直线y=kx-有4个交点.作出函数f(x)的图像,如图,故点(1,0)在直线y=kx-的下方.所以k·1->0,解得k>. 当直线y=kx-和y=ln x相切时,设切点横坐标为m,则k==,所以m=.此时,k==,f(x)的图像和直线y=kx-有3个交点,不满足条件,故要求的k的取值范围是.] 2.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根,求a的取值范围. [解] 由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为4,又函数为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x), 所以函数图像关于x=2对称,且f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=logax有三个不同的根,则满足 解得<a<,故a的取值范围是(,).查看更多