2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第10节圆锥曲线中的证明与存在性问题教学案文北师大版

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2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第10节圆锥曲线中的证明与存在性问题教学案文北师大版

第十节 圆锥曲线中的证明与存在性问题 ‎(对应学生用书第168页)‎ ‎⊙考点1 证明问题 ‎ 圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略 ‎(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是位置关系方面的,如证明相切、垂直、过定点等;二是数量关系方面的,如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等.‎ ‎(2)解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明,多采用直接法证明,有时也会用到反证法.‎ ‎ (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;‎ ‎(2)证明:∠ABM=∠ABN.‎ ‎[解](1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.‎ ‎(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.‎ 当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.‎ 由得ky2-2y-4k=0,‎ 可知y1+y2=,y1y2=-4.‎ 直线BM,BN的斜率之和为 kBM+kBN=+=. ①‎ 将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0.‎ 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.‎ 综上,∠ABM=∠ABN.‎ ‎ 把证明∠ABM=∠ABN转化为证明kBM+kBN=0是解题的关键.‎ ‎ (2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x - 5 -‎ 轴的垂线,垂足为N,点P满足=.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程;‎ ‎(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎[解](1)设P(x,y),M(x0,y0),‎ 则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).‎ 由=得x0=x,y0=y.‎ 因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.‎ 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.‎ ‎(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),‎ ·=3+3m-tn,‎ =(m,n),=(-3-m,t-n).‎ 由·=1,得-3m-m2+tn-n2=1,‎ 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.‎ 所以·=0,即⊥.‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎⊙考点2 存在性问题 ‎ 圆锥曲线中存在性问题的求解方法 ‎(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.‎ ‎(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.‎ ‎ (2019·泉州模拟)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,且满足向量·=0.‎ ‎(1)若A(2,0),求椭圆的标准方程;‎ - 5 -‎ ‎(2)设P为椭圆上异于顶点的点,以线段PB为直径的圆经过点F1,问是否存在过点F2的直线与该圆相切?若存在,求出其斜率;若不存在,说明理由.‎ ‎[解](1)易知a=2,因为·=0,‎ 所以△BF1F2为等腰直角三角形.‎ 所以b=c,由a2-b2=c2可知b=,故椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由已知得b2=c2,a2=2c2,‎ 设椭圆的标准方程为+=1,点P的坐标为(x0,y0).‎ 因为F1(-c,0),B(0,c),所以=(x0+c,y0),=(c,c),‎ 由题意得·=0,所以x0+c+y0=0.‎ 又因为点P在椭圆上,所以+=1,由以上两式可得3x+4cx0=0.‎ 因为P不是椭圆的顶点,‎ 所以x0=-c,y0=c,故P.‎ 设圆心为(x1,y1),则x1=-c,y1=c,‎ 圆的半径r==c.‎ 假设存在过点F2的直线满足题设条件,并设该直线的方程为y=k(x-c),‎ 由相切可知=r,‎ 所以=c,‎ 即20k2+20k-1=0,解得k=-±.‎ 故存在满足条件的直线,其斜率为-±.‎ ‎ 本例第(2)问中,涉及直线与圆相切问题,需要求出圆心和半径,然后利用圆心到直线的距离等于半径,列等式求解.‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎(2019·长沙模拟)已知椭圆C的中心为原点O,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,右焦点到右顶点的距离为1.‎ - 5 -‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过点F2的直线与椭圆C分别相交于不同的两点A,B,则△F1AB的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线l的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解](1)设椭圆C:+=1(a>b>0),∵e==,a-c=1,‎ ‎∴a=2,c=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0,y2<0.‎ 由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1.‎ 联立 得(3m2+4)y2+6my-9=0,‎ 则y1+y2=,y1y2=,‎ ‎∴S△F1AB=|F1F2|(y1-y2)=.‎ 令=t,可知t≥1,‎ 则m2=t2-1,‎ ‎∴S△F1AB==.‎ ‎ 令f(t)=3t+,则f′(t)=3-,‎ 当t≥1时,f′(t)>0,即f(t)在区间[1,+∞)上单调递增,‎ ‎∴f(t)≥f(1)=4,∴S△F1AB≤3,即当t=1,m=0时,△F1AB的面积取得最大值3,此时直线l的方程为x=1.‎ ‎ (2019·哈尔滨模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点F为左焦点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)在圆x2+y2=3上是否存在一点P,使得在点P处的切线l与椭圆C相交于M,N两点,且满足⊥?若存在,求l的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解](1)∵e==,∴3a2=4b2.‎ 又∵|AB|==3,∴a=2,b=.‎ - 5 -‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)假设存在点P,使得⊥.‎ 当直线l的斜率不存在时,‎ l:x=或x=-,与椭圆C:+=1相交于M,N两点,‎ 此时M,N或M,N,‎ ‎∴·=3-=≠0,‎ ‎∴当直线l的斜率不存在时,不满足⊥.‎ 当直线l的斜率存在时,设y=kx+m,‎ 联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.‎ ‎∵直线l与椭圆C相交于M,N两点,‎ ‎∴Δ>0,化简得4k2>m2-3.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=,‎ y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.‎ ‎∵·=0,∴+=0,‎ ‎∴7m2-12k2-12=0.‎ 又∵直线l与圆x2+y2=3相切,∴=,‎ ‎∴m2=3+3k2,∴21+21k2-12k2-12=0,‎ 解得k2=-1,显然不成立,‎ ‎∴在圆上不存在这样的点P使⊥成立.‎ - 5 -‎
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