高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习(老师版)

高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习(老师版)

高中数学必修 5 第一章 解三角形复习 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c RA B C    (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：   sin sin sini a b c A B C     ； sin ,sin ,sin2 2 a bii A B CR R   2 c R  ；   2 sin , 2 sin , 2 siniii a R A b R B b R C   ；（iv） RCBA cba 2sinsinsin   3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 【余弦定理】 1．余弦定理： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C             2.推论： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 b c aA bc a c bB ac b a cC ab            . 3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角. （2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 【面积公式】 已知三角形的三边为 a,b,c, 1. 1 1 1sin ( )2 2 2aS ah ab C r a b c     = R abc 4 =2R2sinAsinBsinC（其中 r 为三角形内切圆半径） 2.设 )(2 1 cbap  , ))()(( cpbpappS  (海伦公式) 【三角形中的常见结论】 （1）  CBA (2) sin( ) sin ,A B C  cos( ) cos ,A B C   tan( ) tan ,A B C   2cos2sin CBA  , 2sin2cos CBA  ; （3）若  CBA cba   CBA sinsinsin  若 CBA sinsinsin   cba   CBA  （大边对大角，小边对小角） （4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (5) 锐角三角形  三内角都是锐角  三内角的余弦值为正值  任意两边的平方和大于第三边的平方. 钝角三角形  最大角是钝角  最大角的余弦值为负值 （6） C 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60B . (7) C 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总 题型 1【判定三角形形状】 判断三角形的类型 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统 一成边的形式或角的形式. （2）在 ABC 中，由余弦定理可知: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 是直角 ABC是直角三角形 是钝角 ABC是钝角三角形 是锐角 a b c A a b c A a b c A               ABC是锐角三角形 （注意： 是锐角A  ABC是锐角三角形 ） (3) 若 BA 2sin2sin  ，则 A=B 或 2  BA . 例 1.在 ABC 中， Abc cos2 ，且 abcbacba 3))((  ，试判断 ABC 形状. 题型 2【解三角形及求面积】 一般地，把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他 元素的过程叫做解三角形. 例 2.在 ABC 中， 1a ， 3b ， 030A ，求 的值 例 3.在 ABC 中，内角 CBA ,, 对边的边长分别是 cba ,, ，已知 2c ， 3 C ． （Ⅰ）若 ABC 的面积等于 3 ，求 ba, ； （Ⅱ）若 AABC 2sin2)(sinsin  ，求 ABC 的面积． 题型 3【证明等式成立】 证明等式成立的方法：（1）左 右，（2）右 左，（3）左右互相推. 例 4.已知 ABC 中，角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，求证： BcCba coscos  . 题型 4【解三角形在实际中的应用】 实际问题中的有关概念： 仰角 俯角 方位角 方向角 (1)仰角和俯角： 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图 1)． (2)方位角： 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为α(如图 2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图 3) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ② 北 偏 西 α° 即 由 指 北 方 向 逆 时 针 旋 转 α° 到 达 目 标 方 向 ． ③ 南 偏 西 等 其 他 方 向 角 类 似 ． 例 5．如图所示，货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转 到目标方向线的水平转角）为 140°的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯 塔 A 的方位角为 110°，航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮 到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？ 解三角形高考题精选 1． ABC 的三个内角为 A B C、 、 ，求当 A 为何值时， cos 2cos 2 B CA  取得最大值，并求出这个最 大值。 解：由 ,222, ACBCBA   得 所以有 .2sin2cos ACB  2sin2cos2cos2cos AACBA  2sin22sin21 2 AA  .2 3)2 1 2(sin2 2  A 当 .2 3 2cos2cos,3,2 1 2sin 取得最大值时即 CBAAA   2.。设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a=2bsinA。 （Ⅰ）求 B 的大小； （Ⅱ）求 CA sincos  的取值范围。 解：（Ⅰ）由 a=2bsinA，根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA，所以 1sin 2B  ， 由 ABC△ 为锐角三角形得 π 6B  。 （Ⅱ） cos sin cos sinA C A A         cos sin 6A A      1 3cos cos sin2 2A A A   3sin 3A      。 由 ABC△ 为锐角三角形知， 2 2A B    ， 2 2 6 3B       。 2 3 3 6A     ， 所以 1 3sin2 3 2A      。由此有 3 33sin 32 3 2A        ， 所以，cosA+sinC 的取值范围为 3 3 2 2       ， 。 3．设 ABC△ 的内角 A B C， ， 所对的边长分别为 a b c， ， ，且 3cos cos 5a B b A c  ． （Ⅰ）求 tan cotA B 的值； （Ⅱ）求 tan( )A B 的最大值． a b c= = =2R,sinA sinB sinc a=2RsinA,b=2RsinB,c=2rsinC 3 3acosB bcosA c 2RsinAcosB 2RsinBcosA= 2RsinC5 5 3sinAcosB sinBcosA= sin(A+B)5 3 3sinAcosB sinBcosA= sinAcosB+ cosAsinB5 5 2 8sinAcosB= sinBcosA,5 5 解：⑴由正弦定理得： ∴ － ＝ ，∴ － ∴ － － ∴ 两边同除 2 sinBcosA5 tanAcotB=4. 以 ∴ tanA=4tanB,⑵由第⑴知， 2 tanA tanB 3tanB 3 3tanA=4tanB, tan(A B)= = = 11+tanAtanB 1+4tan B 4+4tanB tanB 1 1=4tanB, tanB= tanB 2 －⑵∵ 而 － 当且仅且 ∴ 时“＝”成立。 4.在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、b 、c ，已知 2 2 2a c b  ，且 sin cos 3cos sin ,A C A C 求 b 解 法 一 ： 在 ABC 中 sin cos 3cos sin ,A C A C 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有 : 2 2 2 2 2 2 3 ,2 2 a b c b c aa cab bc       化 简 并 整 理 得 ： 2 2 22( )a c b  . 又 由 已 知 2 2 2a c b  24b b  .解得 4 0(b b 或 舍）. 解法二: 由余弦定理得: 2 2 2 2 cosa c b bc A   . 又 2 2 2a c b  , 0b  。 所以 2 cos 2b c A  …………………………………① 又 sin cos 3cos sinA C A C ， sin cos cos sin 4cos sinA C A C A C   sin( ) 4cos sinA C A C  ， 即 sin 4cos sinB A C 由正弦定理得 sin sinbB Cc  ， 故 4 cosb c A ………………………② 由①，②解得 4b  。 5. 已知 ABCV 的内角 A ， B 及其对边 a ，b 满足 cot cota b a A b B   ，求内角C ． 解：由 cot cota b a A b B   及正弦定理得 sin sin cos cos sin cos cos sin A B A B A A B B       从而 sin cos cos sin cos sin sin cos4 4 4 4A A B B      sin( ) sin( )4 4A B    又 0 A B    故 4 4A B    2A B   所以 2C  6.（12） ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos( ) cos 1A C B   ， 2a c ，求C 。 7． 如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3 ，BC＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°. (1)若 PB＝ 1 2 ，求 PA； (2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA. 解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理得 PA2＝ 1 1 73 2 3 cos 304 2 4       . 故 PA＝ 7 2 . (2)设∠PBA＝α，由已知得 PB＝sin α. 在△PBA 中，由正弦定理得 3 sin sin150 sin(30 )    ， 化简得 3 cos α＝4sin α. 所以 tan α＝ 3 4 ，即 tan∠PBA＝ 3 4 . 8. ABC△ 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，已知 cAbBaC  )coscos(cos2 . （Ⅰ）求 C ； （Ⅱ）若 7c ， ABC△ 的面积为 2 33 .求 ABC△ 的周长. 解： （I） 由已知及正弦定理的， CABBAC sin)cossincos(sincos2  ， 即 CBAC sin)sin(cos2  ， 故 CCC sincossin2  ， 可得 2 1cos C ，∴ 3 C ． （II） 由已知， 2 33sin2 1 Cab ， 又 3 C ，∴ 6ab ， 由已知及余弦定理得， 7cos222  Cabba ， 故 1322  ba ，从而 25)( 2  ba ， ∴ ABC△ 的周长为 75  9. 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D ．现测得 BCD BDC CD s     ， ， ，并在点C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB ． 解：在 BCD△ 中， πCBD      ． 由正弦定理得 sin sin BC CD BDC CBD   ． 所以 sin sin sin sin( ) CD BDC sBC CBD       · ． 在 ABC△ 中 tan sintan sin( ) sAB BC ACB        · ． 10．如图,甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105 的方向 1B 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 2A 处时,乙 船航行到甲船的北偏西120 方向的 2B 处,此时两船相距10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结 1 2A B ， 2 2 10 2A B  ， 1 2 20 30 2 10 260A A    ， 1 2 2A A B 是等边三角形， 1 1 2 105 60 45B A B      ， 在 1 2 1A B B 中，由余弦定理得 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 cos45 220 (10 2) 2 20 10 2 2002 B B A B A B A B A B            ， 1 2 10 2.B B  因此乙船的速度的大小为10 2 60 30 2.20   答：乙船每小时航行30 2 海里.