高中数学讲义微专题48 多变量表达式范围数形结合

高中数学讲义微专题48 多变量表达式范围数形结合

微专题 48 多变量表达式的范围——数形结合 一、基础知识： 1、数形结合的适用范围： （1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组 （2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等） 2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决 3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与 所求为双变量的一次表达式 4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条 件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。 二、典型例题 例 1：三次函数 在区间 上是减函数，那么 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：先由减函数的条件得到 的关系， ，所以 时， 恒 成 立 ， 通 过 二 次 函 数 图 像 可 知 ： ，由关于 的不等式组可 想到利用线性规划求得 的取值范围，通过作图可得 答案：D 例 2：设 是定义在 上的增函数，且对于任意的 都有 恒成立， 如果实数 满足不等式组 ，那么 的取值范围 是（ ） A. B. C. D.    3 2 , ,f x x bx cx d b c d R      1,2 b c 15, 2     15, 2      15, 2     15, 2      ,b c  ' 23 2f x x bx c    1,2x    ' 0f x      ' ' 1 0 2 3 0 4 12 02 0 f b c b cf             ,b c b c 15 2b c    f x R x    1 1 0f x f x    ,m n    2 26 23 8 0 3 f m m f n n m        2 2m n  3,7  9,25  13,49  9,49 思路：首先考虑变形 ，若想得到 的关系，那么需要 利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由 可 得： ，所以 关于 中心对称，即 ，所以： ， 利用 单调递增可得： ，所以 满足的条件为 ①，所求 可 视为点 到原点距离的平方，考虑数形结合。将①作出可 行域，为以 为圆心，半径为 的圆的右边部分（内 部），观察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是 ， 所以 答案：C 例 3：已知函数 是 上的减函数，函数 的图像关于点 对称，若 实数 满足不等式 ，且 ，则 的取值范围是_____ 思路：从所求出发可联想到 与 连线的斜率，先分析 已知条件，由 对称性可知 为奇函数，再结合单 调递减的性质可将所解不等式进行变形： ，即 ，所以有 。再结合 可作出可行域（如图），数形结合可知 的范围是 答案：    2 26 23 8 0f m m f n n     ,m n    1 1 0f x f x       1 1f x f x     f x  1,0    2f x f x            2 2 2 2 26 23 8 0 6 23 8 2 8f m m f n n f m m f n n f n n               f x    2 22 26 23 2 8 3 4 4m m n n m n          ,m n    2 23 4 4 3 m n m       2 2m n  ,m n  3,4C 2  13,7  2 2 13,49m n   y f x R  1y f x   1,0 ,x y    2 22 2f x x f y y    1 4x  y x  ,x y  0,0  1f x   f x        2 2 2 22 2 2 2f x x f y y f x x f y y        2 22 2x x y y       2 2 2 0x y x y      2 0x y x y    1 4x  y x 1 ,12     1 ,12     例 4 ： 已 知 是 三 次 函 数 的 两 个 极 值 点 ， 且 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 由 极 值 点 可 想 到 方 程 的 根 ， ， 依 题 意 可 得 ： 的两根分别在 中，由二次函 数图像可知： ，且所求 可视为 与定点 连线的斜率，所以想到线 性规划，通过作出可行域，数形结合可知 的范围是 答案：A 例 5：已知实系数方程 的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线 的离心率，则 的取值范围是_________ 思路：以抛物线离心率为突破口可得 是方程的根，设 ，则 ，从而 ， 进 而 因 式 分 解 可 知 ，所以椭圆与双曲线的离 心 率 满 足 方 程 ， 设 ，则由椭圆与双曲线离心率的范围可知 一根在 ，一根在 ，所以 ，由不等式组想到利用线性规划 ,     3 21 1 2 ,3 2f x x ax bx a b R       0,1 , 1,2   2 1 b a   1 ,14      1 ,12      1 1,2 4     1 1,2 2      ' 0f x   ' 2 2f x x ax b   2 2 0x ax b      0,1 , 1,2       ' ' ' 0 0 0 1 0 2 1 0 4 2 2 02 0 f b f a b a bf                2 1 b a    ,a b  1,2 2 1 b a   1 ,14      3 2 0x ax bx c    b a 1x    3 2f x x ax bx c     1 1 0f a b c      1c a b       21 1 1 0x x a x a b          2 1 1 0x a x a b         2 1 1g x x a x a b        0g x   0,1  1,     0 0 1 0 2 3 01 0 g a b a bg           求 的范围，即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过作图即可得到 答案： 例 6：已知三个正实数 满足 ，则 的取值范围是______ 思 路 ： 考 虑 将 条 件 向 与 有 关 的 式 子 进 行 变 形 ， 从 而 找 到 关 于 的 条 件 ： ，可发现不等式组只与 相 关 ， 不 妨 设 ，则不 等 式 组 转 化 为 ： 即 ，所求恰好为 的范围，作出可行域即可 得到 的范围为 答案： 例 7：设 是不等式组 表示的平面区域内的任意一点，向量 ， ，若 ，则 的最大值为（ ） A．4 B．3 C．5 D．6 思路：本题的变量较多，首先要确定核心的变 量。题目所求为 的表达式。所以可视其为核 心变量，若要求得 的最值，条件需要关于 b a 12, 2 b a       12, 2 b a       , ,a b c 2 , 2b a c b a b c a      a b a b a b 2 1 2 22 1 a cb a c b b b a c aa b c a b b b                 ,a c b b ,a cx yb b  1 2 1 2 x y x y x        1 2 1 0 2 1 0 x y x y x y            x x 2 3,3 2      2 3,3 2      P 0, 0 1 3 x y x y x y           1,1m    2,1n   ,OP m n R          ,    的不等式组。所以考虑利用 与 的关系将原先关于 的不等式组替换为关于 的等式组即可 解：设 ，代入到约束条件中可得： ，作出可行域即可解出 的最大 值为 答案：A 例 8：若实数 满足条件 ，则 的取值范围是_________ 思 路 ： 考 虑 所 求 式 子 中 可 变 为 ， 所 以 原 式 变 形 为 ： ，可视为关于 的二次函数，设 ，其几何含义为 与 连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即 ，则 答案： 小炼有话说：本题也可以考虑利用三角换元。设 ，从而原式转化 为： ，由 可知 的范围为 例 9：（2016，天津六校联考）已知实数 满足 ，则 的取值范 围是________ 思路：由 ，可建立直角坐标系，建立圆模型： ，则圆上的点 为 ，所求分式可联想到斜率，即 可视为 两点连线的斜率。数 形 结 合 可 得 ： 过 的 直 线 与 圆 有 公 共 点 时 斜 率 的 取 值 范 围 ， 设 ,  ,x y ,  ,x y ,   ,P x y    , , 2 ,OP x y m n             2x y         2 0 0 1 2 3 3                    4 ,x y 2 2 1x y  2 1 2y x x 2 1 x 2 2 2 x y x  22 2 2 2 2 1x y y y y x x x x           y x yt x  ,x y  0,0  1,1t        22 2 1 1 2 2,2f t t t t           2,2 1 sin, tancos cosx y      22 2cos 2 tan cos 1 sin 2sin sin 1 2                sin 1,1    2sin 1 2    2,2 , ,a b c 2 2 2, 0a b c c   2 b a c 2 2 2, 0a b c c   2 2 2x y c   ,a b 2 bk a c     , , 2 ,0a b c  2 ,0c l k ，即 ，解得： 答案： 例 10：（2012 江苏）已知正数 满足： ，则 的 取值范围是________ 思 路 ： 可 先 将 所 给 不 等 式 进 行 变 形 ： ， ，从而将所给不等式转化为关于 的关系，为 了 视 觉 效 果 可 设 ， 则 已 知 条 件 为 ： ，而所求为 ，即可行域中的点 与 连线的斜率。数形结合即可得到斜率的范围 是 ， 其 中 为 与 原 点 连 线 的 斜 率 ， 为过原点且与曲线 相切的切线斜率 答案： 小炼有话说：本题也可以用放缩的方法求得最值，过程如下： 因为 另一方面： ，设 ，则 可得 在 单调递减，在 单调递增  : 2 2 0l y k x c kx y kc      2 2 1O l kcd c k    3 3,3 3k       3 3,3 3      , ,a b c 5 3 4 , ln lnc a b c a c b a c c      b a 35 3 4 5 4a b ac a b c a c c c         ln ln ln lnb b ac b a c c c ac c c      ,b a c c ,a bx yc c  ln 5 3 4 xy x y e y x y x           b b yc aa x c    ,x y  0,0  ,7e 7y x  1 7,2 2A     y ex  xy e  ,7e , , 0a b c  5 3 4c a b c a    5 3 4 2cc a c a a      4 4 1 4 2 1 7b cb c a a a           ln ln ln bc b a c c c ac    1 1 ln ln b b c b ba ac c c       ln xf x x     ' 2 ln 1 ln xf x x    f x  0,e  ,e  ，即 ，令 ，则有 综上所述：    minf x f e e      f x f e e  bx c ln b c eb c  ln b b c eba c     ,7b ea 