2020年高中数学 第三章 不等式
3.1.2 不等关系与不等式
[A 基础达标]
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A
B D．A>B
解析：选B.因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)
＝＋b2≥0，
所以A≥B.
2．已知a B．ab<1
C.>1 D．a2>b2
解析：选D.由ab2，故选D.
3．如果loga3>logb3，且a＋b＝1，那么( )
A．00，
所以0logb3，所以>.
所以lg aa2 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：选D.由<<0，得b0，1＋b>0，1－ab>0，
所以M－N＝＋＝>0，即M>N.
答案：M>N
8．若m>2，则mm与2m的大小关系是________．
解析：因为＝，又m>2，
所以>1，所以>1，又2m>0，故mm>2m.
答案：mm>2m
9．(1)已知ab，<，求证：ab>0.
证明：(1)由于－＝
＝，
因为a0，ab>0，
所以<0，
故<.
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(2)因为<，所以－<0，
即<0，
而a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
10．某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8 000元，学生用机每台3 500元；高级机房教师用机每台11 500元，学生用机每台7 000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？
解：设该校拟建的初级机房有x台计算机、高级机房有y台计算机，则
解得
因为x、y为整数，所以或
即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56、28或58、29台计算机．
[B 能力提升]
11．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cb>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：选A.因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.所以bb>a>c.
12．若规定＝ad－bc，则与的大小关系为________．(a，b∈R，且a≠b)
解析：－＝[a·a－(－b)·b]－[a·b－(－a)·b]＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0(因为a≠b)，
所以>.
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答案：>
13．甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1 000 kg，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？
解：设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg，且a≠b.
则甲采购员两次购粮的平均单价为
＝元/kg，
乙采购员两次购粮的平均单价为
＝元/kg.
因为－＝＝，
又a＋b＞0，a≠b，(a－b)2＞0，
所以＞0，即＞.
所以乙采购员的购粮方式更合算．
14．(选做题)设f(x)＝ax2＋bx，1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解：法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得，解得，
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5，10]．
法二：由，
得，
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5，10]．
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