2020高中数学 第3章 不等式 第一节 不等关系学案 苏教版必修5

2020高中数学 第3章 不等式 第一节 不等关系学案 苏教版必修5

不等关系 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 不等关系 ‎1. 了解现实世界和日常生活中的一些不等关系。‎ ‎2. 了解不等式（组）的实际背景。‎ ‎3. 了解不等式的一些基本性质，会比较数或式的大小。‎ 填空题 不等式的性质是不等式的基础，注意性质是否具有可逆性，注意知识的等价转化思想的应用。‎ 二、重难点提示 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。‎ 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。‎ 考点一：不等关系 概念：表达不等关系的式子叫做不等式，常用“”“”“≤”“ ≥” “ ≠”表示不等关系。‎ 考点二：不等式的性质 ‎① 对称性：‎ ‎② 传递性：‎ ‎③ 加法性质：‎ ‎④ 同向相加：‎ ‎⑤ 乘法性质：；‎ ‎⑥ 正数同向乘：‎ ‎⑦ 正数乘方：‎ ‎⑧ 正数开方：‎ ‎【要点诠释】‎ 4‎ 不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向还是双向，也就是说每条性质是否具有可逆性。运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。‎ 如性质“”成立的条件是“是大于1的整数，”，假如去掉“”这个条件，取，那么就会出现“”，即“”的错误结论，类似的反例不胜枚举。‎ 考点三：比较两数（式）大小的方法——作差比较法 ‎（1）实数比较大小的依据是：‎ ‎① a－b＞0⇔a＞b；‎ ‎② a－b＝0⇔a＝b；‎ ‎③ a－b＜0⇔a＜b。‎ ‎（2）作差法比较两个实数大小的一般步骤是：‎ 第一步：作差；‎ 第二步：变形，常采用配方法、因式分解、有理化、通分等变形手段，将“差”化为“积”；‎ 第三步：定号，就是确定是大于0，还是等于0，还是小于0；‎ 第四步：下结论。‎ 其中“定号”是目的，“变形”是关键。‎ ‎【核心突破】‎ ‎（1）如果两个数同号亦可采用比商法来比较大小，看作商后是大于1还是小于1。‎ ‎（2）如果直接比较两个代数式或数（均大于零）的大小，不如比较这两个数或代数式的平方容易，可通过改为比较两个平方的大小。平方的大小比较出来了，原来两个数或代数式的大小也就确定了。‎ ‎【随堂练习】设实数a，b，c满足b＋c＝6－‎4a＋‎3a2，c－b＝4－‎4a＋a2，试确定a，b，c的大小关系。‎ 思路分析：对三个数逐一作差比较。‎ 答案：因为c－b＝4－‎4a＋a2＝（a－2）2≥0，所以c≥b。‎ 又因为b＝[（b＋c）－（c－b）]＝ [（6－‎4a＋‎3a2）－（4－‎4a＋a2）]＝a2＋1，所以b－a＝a2－a＋1＝（a－）2＋＞0，所以b＞a，综上可得c≥b＞a。‎ 技巧点拨：要比较多个数的大小，应分别作差比较。‎ 例题1 （用不等式表示不等关系）‎ 糖水是日常生活中很普通的东西，下列关于糖水浓度的问题，同学们能分别提炼出怎样的不等式？‎ ‎（1）如果向一杯糖水里添上点儿糖，“糖水加糖变甜了”；‎ ‎（2）把原来的糖水与加糖后的糖水合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡。‎ 思路分析：由生活中的经验、结合化学中浓度的知识可以求解 4‎ 答案：（1）“糖水加糖变甜了”，这是同学们都知道的生活现象。‎ 设糖水有b克，含糖a克，浓度为，添入m克糖后的浓度为，则提炼出的不等式模型为：‎ 若b＞a＞0，m＞0，则＜。‎ ‎（2）设淡糖水有b‎1克，含糖a‎1克，浓度为，‎ 浓糖水有b‎2克，含糖a‎2克，浓度为，‎ 则混合后的浓度为，所提炼出的不等式模型为：‎ 若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且＜，‎ 则＜＜。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 用不等式表示不等关系，要审清题意，恰当选取符号，尤其要注意“>”与“≥”，“＜”与“≤”的区别。‎ ‎2. 用不等式表示不等关系，必要时还要设立变量，以便于写出不等式。‎ 例题2 （用不等式组表示多个不等关系）‎ 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石到冶炼厂。已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式。‎ 思路分析：由题中所给信息，应有如下不等关系：（1）甲型卡车和乙型卡车的总辆数不能超过驾驶员人数；（2）车队每天至少要运360 t矿石；（3）甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆，用关于x，y的不等式表示上述不等关系即可。‎ 答案：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，‎ 则即 技巧点拨：1. 本题用驾驶员人数限制了车辆数，即甲型卡车和乙型卡车的总辆数不能超过驾驶员人数，这个不等关系易被忽略。‎ ‎2. 用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：‎ ‎（1）阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题最基本的一步。‎ ‎（2）对题中关键字、关键句要留心，多加注意。‎ ‎（3）要将所有不等关系都表示为不等式。‎ 4‎ ‎【综合拓展】‎ 整体思想在不等式的性质中的应用 ‎【满分训练】若二次函数的图象关于轴对称，且，求的范围。‎ 思路分析：根据已知设出解析式，寻找已知中的不等关系与所求的联系，利用不等式性质求解。‎ 答案：设，则 得 所以 因为 所以，‎ 所以，则 即 技巧点拨：利用几个不等式的范围来确定某个变量的范围是一类常见的综合问题。对于这一类问题要注意“同向相加”，这种转化不是等价变形，就有可能扩大真实的范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过一次性不等关系的运算，求得待求的范围。‎ 4‎