高中数学（人教版a版必修三）配套单元检测：第三章 单元检测 b卷 word版含答案
第三章 概 率(B)
(时间：120 分钟 满分：150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件，观察正品件数和次品件数，下
列事件是互斥事件的是( )
①恰好有 1 件次品和恰好有两件次品；
②至少有 1 件次品和全是次品；
③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品；
④至少 1 件次品和全是正品．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为 3 cm，把一枚半径为 1 cm 的硬币任
意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A.1
4 B.1
3 C.1
2 D.2
3
3．某班有 50 名学生，其中男、女各 25 名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班
同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同
学的概率大( )
A．异性 B．同性
C．同样大 D．无法确定
4．在区间 －π
2
，π
2 上随机取一个数 x，cos x 的值介于 0 到1
2
之间的概率为( )
A.1
3 B.2
π C.1
2 D.2
3
5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次
投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4
表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经
随机模拟产生了如下 20 组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
6．12 本相同的书中，有 10 本语文书，2 本英语书，从中任意抽取 3 本的必然事件是( )
A．3 本都是语文书 B．至少有一本是英语书
C．3 本都是英语书 D．至少有一本是语文书
7．某人射击 4 枪，命中 3 枪，3 枪中有且只有 2 枪连中的概率是( )
A.3
4 B.1
4
C.1
3 D.1
2
8．从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 40 的概
率为( )
A.1
5 B.2
5
C.3
5 D.4
5
9．已知集合 A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合 A 中选取不相同的两个数，
构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件 A＝{点落在 x 轴上}与事件 B＝{点
落在 y 轴上}的概率关系为( )
A．P(A)>P(B) B．P(A)
25 的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即21
36
＝ 7
12.]
12．A [可求得同时落在奇数所在区域的情况有 4×4＝16(种)，而总的情况有 6×6＝
36(种)，于是由古典概型概率公式，得 P＝16
36
＝4
9.]
13.2 3
3π
解析 因为球半径为 a，则正方体的对角线长为 2a，设正方体的边长为 x，则 2a＝ 3x，
∴x＝2a
3
，由几何概型知，所求的概率 P＝V 正方体
V 球
＝ x3
4
3πa3
＝2 3
3π .
14. π
16
解析 如图所示，区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界)，区域 E 表示单位圆及
其内部，
因此 P＝π×12
4×4
＝ π
16.
15.1
2
解析
记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件 A，如图所示，不妨在过等边三角形 BCD
的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的
边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型的概率公式得
P(A)＝
1
2
×2
2
＝1
2.
16.2
3
解析 由题意可知VS－APC
VS－ABC
>1
3
，如图所示，三棱锥 S－ABC 与三棱锥 S－APC 的高相同，因
此VS－APC
VS－ABC
＝S△APC
S△ABC
＝PM
BN>1
3(PM，BN 为其高线)，又PM
BN
＝AP
AB
，故AP
AB>1
3
，故所求概率为2
3(长度
之比)．
17．解 a，b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为 N＝5×5＝25 个．函
数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即 a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，
(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 12 个．所以事件“a2≥4b”
的概率为 P＝12
25.
18．解 设 A、B、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件．
则 P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1，
设 D 表示军火库爆炸这个事件，则有
D＝A∪B∪C，其中 A、B、C 是互斥事件，
∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
19．解 如下图所示，作 OC⊥OA，C 在半圆弧上，过 OC 中点 D 作 OA 的平行线交半圆
弧于 E、F，所以在 EF 上取一点 B，则 S△AOB≥1
4.
连结 OE、OF，因为 OD＝1
2OC＝1
2OF，
OC⊥EF，所以∠DOF＝60°，所以∠EOF＝120°，所以 l EF ＝120
180π·1＝2
3π.
所以 P＝l EF
π·1
＝
2
3π
π
＝2
3.
20．解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示，其他用相应的数字表示)
为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，
(4′，4)，共 12 种不同情况．
(2)甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比 3
大的概率为2
3.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共 5
种，故甲胜的概率 P1＝ 5
12
，同理乙胜的概率 P2＝ 5
12.因为 P1＝P2，所以此游戏公平．
21．解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基
本事件为
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，
(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，
(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，
共 18 个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是
等可能的．
用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，
C2)}，
事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 P(M)＝ 6
18
＝1
3.
(2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选中”
这一事件，由于 N ＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件 N 由 3 个基本
事件组成，
所以 P( N )＝ 3
18
＝1
6
，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P( N )＝1－1
6
＝5
6.
22．解 由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－
1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，
－1)，(2,1)，(2,2)，共 16 种．
设“直线 y＝ax＋b 不经过第四象限”为事件 A，“直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共
点”为事件 B.
(1)若直线 y＝ax＋b 不经过第四象限，则必须满足 a≥0，
b≥0，
即满足条件的实数对(a，b)
有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共 4 种．∴P(A)＝ 4
16
＝1
4.故直线 y＝ax＋b 不经过第四象限的
概率为1
4.
(2)若直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则必须满足 |b|
a2＋1
≤1，即 b2≤a2＋1.
若 a＝－2，则 b＝－2，－1,1,2 符合要求，此时实数对(a，b)有 4 种不同取值；
若 a＝－1，则 b＝－1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值；
若 a＝1，则 b＝－1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值，
若 a＝2，则 b＝－2，－1,1,2 符合要求，此时实数对(a，b)有 4 种不同取值．
∴满足条件的实数对(a，b)共有 12 种不同取值．∴P(B)＝12
16
＝3
4.
故直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点的概率为3
4.
