高中数学人教a版选修2-1 章末综合测评1 word版含答案
章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若 x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )
A．若 x2≥1，则 x≥1，或 x≤－1
B．若－1＜x＜1，则 x2＜1
C．若 x＞1，或 x＜－1，则 x2＞1
D．若 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1
【解析】 命题“若 p，则 q”的逆否命题为“若綈 q，则綈 p”．
【答案】 D
2．命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被 2 整除的整数都是偶数
B．所有能被 2 整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被 2 整除的整数是偶数
D．存在一个能被 2 整除的整数不是偶数
【解析】 把全称量词改为存在量词并把结论否定．
【答案】 D
3．命题 p：x＋y≠3，命题 q：x≠1 或 y≠2，则命题 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 命题“若 p，则 q”的逆否命题为：“若 x＝1 且 y＝2，
则 x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．
【答案】 A
4．设点 P(x，y)，则“x＝2 且 y＝－1”是“点 P 在直线 l：x＋y
－1＝0 上”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当 x＝2 且 y＝－1 时，满足方程 x＋y－1＝0, 即点 P(2，
－1)在直线 l 上．点 P′(0，1)在直线 l 上，但不满足 x＝2 且 y＝－1，∴
“x＝2 且 y＝－1”是“点 P(x，y)在直线 l 上”的充分而不必要条件．
【答案】 A
5．“关于 x 的不等式 f(x)＞0 有解”等价于( )
A．∃x0∈R，使得 f(x0)＞0 成立
B．∃x0∈R，使得 f(x0)≤0 成立
C．∀x∈R，使得 f(x)＞0 成立
D．∀x∈R，f(x)≤0 成立
【解析】 “关于 x 的不等式 f(x)＞0 有解”等价于“存在实数 x0，
使得 f(x0)＞0 成立”．故选 A.
【答案】 A
6．设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD
为菱形”是“AC⊥BD”的( ) 【导学号：18490031】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若四边形 ABCD 为菱形，则 AC⊥BD，反之，若 AC⊥BD，
则四边形 ABCD 不一定是菱形，故选 A.
【答案】 A
7．命题 p：函数 y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为 R；命题 q：函数 y
＝lg(x2＋2x－c)的值域为 R.记命题 p 为真命题时 c 的取值集合为 A，命
题 q 为真命题时 c 的取值集合为 B，则 A∩B＝( )
A．∅ B．{c|c<－1}
C．{c|c≥－1} D．R
【解析】 命题 p 为真命题，即 x2＋2x－c>0 恒成立，则有Δ＝4
＋4c<0，解得 c<－1，即 A＝{c|c<－1}；令 f(x)＝x2＋2x－c，命题 q 为
真命题，则 f(x)的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c≥0，求得 c≥－1，
即 B＝{c|c≥－1}．于是 A∩B＝∅，故选 A.
【答案】 A
8．对∀x∈R，kx2－kx－1＜0 是真命题，则 k 的取值范围是( )
A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0
C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0
【解析】 由题意知 kx2－kx－1＜0 对任意 x∈R 恒成立，当 k＝0
时，－1＜0 恒成立；当 k≠0 时，有 k＜0，
Δ＝k2＋4k＜0，即－4＜k＜0，所
以－4＜k≤0.
【答案】 C
9．已知命题 p：若(x－1)(x－2)≠0，则 x≠1 且 x≠2；命题 q：存
在实数 x0，使 2x0＜0.下列选项中为真命题的是( )
A．綈 p B．綈 p∨q
C．綈 q∧p D．q
【解析】 很明显命题 p 为真命题，所以綈 p 为假命题；由于函
数 y＝2x，x∈R 的值域是(0，＋∞)，所以 q 是假命题，所以綈 q 是真
命题．所以綈 p∨q 为假命题，綈 q∧p 为真命题，故选 C.
【答案】 C
10．设{an}是公比为 q 的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”
的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 等比数列{an}为递增数列的充要条件为 a1>0，
q>1
或
a1<0，
0
1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
【答案】 D
11．已知命题 p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈 p 为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1
【解析】 因为全称命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x0∈M，綈 p(x)，
故綈 p：∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.
【答案】 B
12．已知 p：点 P 在直线 y＝2x－3 上；q：点 P 在直线 y＝－3x＋
2 上，则使 p∧q 为真命题的点 P 的坐标是( )
A．(0，－3) B．(1，2)
C．(1，－1) D．(－1，1)
【解析】 因为 p∧q 为真命题，所以 p，q 均为真命题．所以点 P
为直线 y＝2x－3 与直线 y＝－3x＋2 的交点．解方程组 y＝2x－3，
y＝－3x＋2，得
x＝1，
y＝－1，即点 P 的坐标为(1，－1)．
【答案】 C
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在
题中的横线上)
13．命题 p：若 a，b∈R，则 ab＝0 是 a＝0 的充分条件，命题 q：
函数 y＝ x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈 p”中
是真命题的为________．
【解析】 p 为假命题，q 为真命题，故 p∨q 为真命题，綈 p 为
真命题．
【答案】 p∨q 与綈 p
14．(2016·临川高二检测)“末位数字是 1 或 3 的整数不能被 8 整
除”的否定形式是________________，否命题是________________．
【解析】 命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：
末位数字是 1 或 3 的整数能被 8 整除；而否命题要同时否定原命题的
条件和结论，所以否命题是：末位数字不是 1 且不是 3 的整数能被 8
整除．
【答案】 末位数字是 1 或 3 的整数能被 8 整除 末位数字不是 1
且不是 3 的整数能被 8 整除
15．已知 f(x)＝x2＋2x－m，如果 f(1)>0 是假命题，f(2)>0 是真命题，
则实数 m 的取值范围是______．
【解析】 依题意， f（1）＝3－m≤0，
f（2）＝8－m>0， ∴3≤m<8.
【答案】 [3，8)
16．给出以下判断：
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；
②命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，使 x30>x20”；
③“b＝0”是“函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 为偶函数”的充要条件；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．
其中正确命题的序号是________. 【导学号：18490032】
【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．
【答案】 ③
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同
时说明理由．
(1)q：所有的矩形都是正方形；
(2)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数 x0，使 x30＋3＝0.
【解】 (1)綈 q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是
由于原命题是假命题．
(2)綈 r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于∀x∈R，x2＋
2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0 恒成立．
(3)綈 s：∀x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当 x＝－3 3时，x3
＋3＝0.
18．(本小题满分 12 分)指出下列命题中，p 是 q 的什么条件？
(1)p：{x|x>－2 或 x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a 与 b 都是奇数；q：a＋b 是偶数；
(3)p：0－2 或 x<3}⇒/ {x|－2－2 或 x<3}．
所以 p 是 q 的必要不充分条件．
(2)因为 a，b 都是奇数⇒a＋b 为偶数，而 a＋b 为偶数 ⇒/ a，b 都
是奇数，所以 p 是 q 的充分不必要条件．
(3)mx2－2x＋3＝0 有两个同号不等实根⇔
Δ>0，
3
m>0 ⇔ 4－12m>0，
m>0
⇔
m<1
3
，
m>0
⇔ 01.由 m2－2m－3≥0 得 m≤－1 或 m≥3，
所以 q 为真时，m≤－1 或 m≥3.
因为“綈 p”与“p∧q”同时为假命题，
所以 p 为真命题，q 为假命题，所以得
m>1，
－10，
且 a≠1)有意义；命题 q：实数 t 满足不等式 t2－(a＋3)t＋a＋2<0.
(1)若命题 p 为真，求实数 t 的取值范围；
(2)若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
【解】 (1)因为命题 p 为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得
15
2
，解得 a>1
2.
即实数 a 的取值范围为
1
2
，＋∞
.
法二 令 f(t)＝t2－(a＋3)t＋a＋2，因为 f(1)＝0，
所以只需 f
5
2 <0，解得 a>1
2.
即实数 a 的取值范围为
1
2
，＋∞
.
22．(本小题满分 12 分)设 a，b，c 为△ABC 的三边，求证：方程
x2＋2ax＋b2＝0 与 x2＋2cx－b2＝0 有公共根的充要条件是∠A＝90°.
【证明】 充分性：∵∠A＝90°，
∴a2＝b2＋c2.
于是方程 x2＋2ax＋b2＝0 可化为 x2＋2ax＋a2－c2＝0，
∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
∴该方程有两根 x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程 x2＋2cx－b2＝0 也可化为 x2＋2cx－(a2－c2)＝0，
即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
∴该方程有两根 x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现，x1＝x3，
∴方程有公共根．
必要性：设 x 是方程的公共根，
则 x2＋2ax＋b2＝0， ①
x2＋2cx－b2＝0， ②
由①＋②，得 x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．
代入①并整理，可得 a2＝b2＋c2.
∴∠A＝90°.
∴结论成立．
