专题58 排列与组合-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题58 排列与组合-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题58 排列与组合 最新考纲 ‎1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．‎ ‎2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ‎(2)C＝＝＝ 性质 ‎(3)0！＝1；A＝n！‎ ‎(4)C＝C；C＝C＋C__‎ 重点难点突破 ‎【题型一】排列问题 ‎【典型例题】‎ 甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（　　）‎ A．36种 B．30种 C．24种 D．12种 ‎【解答】解：所选课程中恰有1门课程相同，有4种，然后从剩余3门，选1门有A3，‎ 共有4×6＝24，‎ 故选：C． 【再练一题】‎ 学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为（　　）‎ A．2 B．‎4 ‎C．6 D．8‎ ‎【解答】解：依题意，先排学号为1，2的学生，有种方法，1，2之间必须插入学号为4的学生有1种方法，学号为3的学生只能选择与1相邻，‎ 故总方法数为1×1＝2种．‎ 故选：A． 思维升华 排列应用问题的分类与解法 ‎(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. ‎ ‎【题型二】组合问题 ‎【典型例题】‎ 某学校校运会有4个项目（包括立定跳远），小珊、大头、笔笔、阿莹4位同学各自选定一个项目报名参加（互不干扰），则立定跳远这个项目恰有两人报名的方案有（　　）‎ A．36种 B．54种 C．72种 D．108种 ‎【解答】解：从四人选2人报名立定跳远，另外2人可以报其他3项，则共有3×3＝6×9＝54种，‎ 故选：B． 【再练一题】‎ 教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（　　）‎ A．84 B．‎42 ‎C．41 D．35‎ ‎【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：‎ ‎①，选出的3本都是论语，有1种情况，‎ ‎②，选出的3本中有2本是论语，则其中有1本是近代文学名著，有C61＝6种情况，‎ ‎③，选出的3本中有1本是论语，则其中有2本是近代文学名著，有C62＝15种情况，‎ ‎④，选出的3本都是近代文学名著，有C63＝20种情况，‎ 则有1+6+15+20＝42种不同的选法；‎ 故选：B． 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ ‎【题型三】排列与组合问题的综合应用 命题点1　相邻、相间及特殊元素(位置)问题 ‎【典型例题】‎ 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数．“礼”，礼节，即今德育：“乐”，音乐，“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动：“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有（　　）‎ A．18种 B．36种 C．72种 D．144种 ‎【解答】解：由题意可分“射”或“御”排在最后和“射”和“御”均不在最后两种情况分类讨论．‎ ‎①当“射”或“御”排在最后，那么“射”和“御”有两种排法即种，余下3种才能共有种排法，故此时共有12种排法；‎ ‎②当“射”和“御”均不在最后，那么“射”和“御”共有3×2＝6种排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给“数”，有2种排法，‎ 余下两个位置放置最后的两个基本才能，有，故共624种排法，‎ 综合①②得：“六艺”讲座不同的排课顺序共有36种不同的排法，‎ 故选：B． 【再练一题】‎ 五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革﹣﹣庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有（　　）‎ A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 ‎【解答】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，将除甲乙之外的三人全排列，有A33＝6种情况，排好后有4个空位，‎ ‎②，在4个空位中任选2个，安排甲乙2人，有A42＝12种情况，‎ 则甲乙不相邻的排法有12×6＝72种；‎ 故选：C． 命题点2　分组与分配问题 ‎【典型例题】‎ 从6人中选出4人分别到碧峰峡、蒙顶山、喇叭河、龙苍沟四个景区游览，要求每个景区有一人游览，每人只游览一个景区，且这6人中甲，乙两人不去龙苍沟游览，则不同的选择方案共有（　　）‎ A．168种 B．216种 C．240种 D．360种 ‎【解答】解：①当从6人中选出4人，这4人中没有甲也没有乙，则不同的选择方案有24种，‎ ‎②当从6人中选出4人，这4人中有甲但没有乙，则不同的选择方案有72种，‎ ‎③当从6人中选出4人，这4人中没有甲但有乙，则不同的选择方案有72种，‎ ‎④当从6人中选出4人，这4人中有甲且有乙，则不同的选择方案有72种，‎ 综合①②③④得：‎ 不同的选择方案共有24+72+72+72＝240，‎ 故选：C． 【再练一题】‎ 某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（　　）‎ A．252 B．‎288 ‎C．360 D．216‎ ‎【解答】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，在6名教师中选派3名教师，要求甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，‎ 分2种情况讨论：‎ 甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C31＝3种不同选法 甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C43＝4种不同选法 则有3+4＝7种不同的选法有；‎ ‎②，在4项工作中任选2个，安排给3人中的1人，再将剩下的2项工作全排列，安排给剩下的2人，有36种情况，‎ 则有36×7＝252种不同的选派方法；‎ 故选：A． 思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则 ‎①按元素(位置)的性质进行分类；‎ ‎②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．‎ ‎(2)分组、分配问题的求解策略 ‎①对不同元素的分配问题 a．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．‎ b．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．‎ c．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．‎ ‎②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．‎ 基础知识训练 ‎1．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟】用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（　　）‎ A．15 B．‎16 ‎C．17 D．18‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：若个位数是，则有种，‎ 若个位数不是，则有种，‎ 则共有种，‎ 故选：B．‎ ‎2．【江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二下学期期末考试】已知有穷数列2，3，，满足2，3，，，且当2，3，，时，若，则符合条件的数列的个数是    ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 先确定，相当于从10个数值中选取3个，共有种选法，再从剩余的7个数值中选出3个作为，共有种选法，所以符合条件的数列的个数是，故选A.‎ ‎3．【2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．‎ ‎4．【河北省邢台市2018-2019学年高二下学期第三次月考】六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 甲在左边第一位，有；‎ 甲在左边第二位，有；‎ 甲在左边第三位，有；‎ 甲在左边第四位，有 甲在左边第五位，有；‎ 不同的站法有种，选C.‎ ‎5．【2019年北京市西城区第二学期期末高二】用0，1，2，3，4，5这个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有：种；‎ 当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有：种,‎ 两类相加一共有300种，故选B.‎ ‎6．【吉林省白城市通榆县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考（期中)】我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ）‎ A．30 B．60‎ C．90 D．120‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，‎ ‎2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为 共60+60=120种，‎ 故选：D ‎7．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高二下学期期中考试数】某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有.‎ 故选：A．‎ ‎8．【山东省聊城市2019届高三三模】如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合中任取3个互不相同的数字，排成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意，要得到一个满足题意的三位“凸数”，‎ 在，2，3，的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，有种取法，‎ 在，2，3，的4个整数中任取3个不同的数，将最大的放在十位上，剩余的2个数字 分别放在百、个位上，有种情况，‎ 则这个三位数是“凸数”的概率是.‎ 故选：．‎ ‎9．【内蒙古开来中学2018-2019高二5月期中考试】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，将这4张卡片放入编号为1，2，3的三个盒子，每个盒子均不空的放法共（ ）种 A．36 B．‎64 ‎C．72 D．81‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，从4张卡片中选2张构成一组，共有种方法，‎ 然后3组进行全排列放入盒子中，共有种不同的放法，‎ 故选A．‎ ‎10．【福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】高考结束后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学去、、、四地旅游，每人只去一地，每地均有人去，且甲同学只去地，则不同出行方案种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得，当A地只有1人时，出行方案种数为：种，‎ 当A地有2人时，出行方案种数为：种，‎ 结合分步加法计数原理可得不同出行方案种数为.‎ 故选：C.‎ ‎11．【河北省定州市2018-2019学年高二下学期期中考试】某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为（ ）‎ A．600 B．‎812 ‎C．1200 D．1632‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科.‎ ‎①第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；，‎ 第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有种方法；‎ 第三步，完成各科作业，有种方法，‎ 所以共有种.‎ ‎②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组2科，‎ 第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；‎ 第二步，安排另4科每组2科，有种方法；‎ 第三步，完成各科作业，有种方法，‎ 所以共有种，‎ 综上，共有种.故选C.‎ ‎12．【黑龙江省哈尔滨市呼兰一中、阿城二中、宾县三中、尚志五中四校2018-2019学年高二下学期期中考试】从人中选派人承担甲，乙，丙三项工作，每项工作至少有一人承担，则不同的选派方法的个数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 先从6人中选派4人，共有种方法，‎ 再将选取的4个人分成三组共有种方法，‎ 再将三组分配从事甲、乙、丙三项工作共有种方法，‎ 所以不同的选派方法共有种，‎ 故选B.‎ ‎13．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】一名同学想要报考某大学，他必须从该校的8个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若专业不能作为第一、第二志愿，则他共有______种不同的填法（用数字作答）．‎ ‎【答案】5040‎ ‎【解析】‎ 解：根据题意，分2步选专业：‎ ‎①专业不能作为第一、第二志愿有种选法， ‎ ‎②第三、四、五志愿，有种选法， ‎ 则这名同学共有种不同的填报方法， ‎ 故答案为：5040‎ ‎14．【江西省临川二中、临川二中实验学校2018－2019学年高二下学期第三次联考】生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，对六艺“礼、乐、射、御、书、数”进行全排列，基本事件的总数为种，‎ 满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：‎ 当第一节是“数”，共有种不同的排法；‎ 当第二节是“数”，共有种不同的排法,‎ 所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为。‎ ‎15．【江苏省常州市田家炳高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试】在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 先种B、E两块，共种方法，再种A、D,分A、E相同与不同，共种方法，同理种C、F共有7种方法，总共方法数为 ‎16．【江西省上高县第二中学2018-2019学年高二下学期第一次月考】在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．‎ ‎【答案】66‎ ‎【解析】‎ 根据题意，分3种情况讨论：‎ ‎①当A、C、E种同一种植物，此时共有3×2×2×2=24种方法；‎ ‎②当A、C、E种二种植物，此时共有C32×A32×2×1×1=36种方法；‎ ‎③当A、C、E种三种植物，此时共有A33×1×1×1=6种方法；‎ 则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；‎ 故答案为：66．‎ ‎17．【浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二（下)期中】3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答）‎ ‎【答案】168．‎ ‎【解析】‎ 根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置，‎ 若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置，‎ 可分4种情况讨论：‎ ‎①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，‎ 若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有种排法，‎ 若乙在6号位置，有种排法，‎ 由分类计数原理可得，共有种排法；‎ ‎②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；‎ ‎③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置，‎ 若乙在1号位置，有种排法，‎ 若乙在5号位置，有种排法，‎ 若乙在6号位置，有种排法，‎ 由分类计数原理可得，共有种排法；‎ ‎④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有种不同的排法；‎ 故答案为：168．‎ ‎18．【江苏省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为_________.‎ ‎【答案】96‎ ‎【解析】‎ 根据题意，从5名学生中选出4人分别参加竞赛，分2种情况讨论：‎ ‎①选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有种情况；‎ ‎②选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有，则此时共有种选法；‎ 综上，总共有种不同的参赛方案；‎ 答案选D ‎19．【江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年高二下学期期中考试】从8名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？‎ ‎（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；‎ ‎（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；‎ ‎（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；‎ ‎（4）甲不在第一棒.‎ ‎【答案】（1）60；（2）480；（3）180；（4）1470‎ ‎【解析】‎ ‎（1）除甲、乙外还需选择人参加接力赛共有种选法 则甲、乙跑中间两棒共有种排法；另外人跑另外两棒共有种排法 甲、乙两人必须入选且跑中间两棒共有：种排法 ‎（2）甲、乙只有一人入选且选另外选人参加接力赛共有种选法 甲或乙不跑中间两棒共有种排法；其余人跑剩余三棒共有种排法 甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒共有：种排法 ‎（3）除甲、乙外还需选择人参加接力赛共有种选法 甲乙跑相邻两棒，其余人跑剩余两棒共有种排法 甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒共有：种排法 ‎（4）甲不在第一棒则需选择一人跑第一棒，共有种选法 其余三棒共有种排法 甲不在第一棒共有种排法 ‎20．【江苏省泰州市姜堰区2018-2019学年高二下学期期中考试】从5本不同的科普书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，问：‎ ‎（1）如果科普书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法？（各问用数字作答）‎ ‎（2）如果科普书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？‎ ‎（3）如果选出的4本书中至少有3本科普书，共有多少种不同的送法？‎ ‎【答案】（1）1440种（2）504种（3）1080种 ‎【解析】‎ ‎（1）从5本科普书中选2本有种选法，从4数学书中选2本有种选法，再把4本书给4位同学有种，‎ 所以科普书和数学书各选2本，共有种不同的送法. ‎ ‎（2）因为科普书甲和数学书乙必须送出，所以再从其余7本书选2本有种，再把4本书给4位同学有种，所以共有种不同的送法. ‎ ‎（3）选出4本科普书有种，选出3本科普书有种，再把4本书给4位同学有 种，所以至少有3本科普书的送法为种.‎ ‎21．【安徽省固镇县第一中学2018-2019学年高二5月月考】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?‎ ‎（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;‎ ‎（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;‎ ‎（3）平均分成三份,每份2本;‎ ‎（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;‎ ‎（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;‎ ‎（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;‎ ‎【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）先从6本书中选1本，有种分配方法；‎ 再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法 剩余的就是2本书，有种分配方法 所以总共有种分配方法。‎ ‎（2）由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有 种。‎ ‎（3）从6本书中选择2本书，有种分配方法；‎ 再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；‎ 剩余的就是2本书，有种分配方法;‎ 所以有种分配方法。‎ 但是，该过程有重复。假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是。则所有情况为，，，，，。‎ 所以分配方式共有种 ‎（4）由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为 种 ‎（5）从6本书中选4本书的方法有种 从剩余2本书中选1本书有种 因为在最后两本书选择中发生重复了 ‎ 所以总共有种 ‎（6）由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即 种。‎ ‎22．【江西省宜春市第九中学2018-2019学年高二下学期期中考试】（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？‎ ‎（2）由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？‎ ‎（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类 分配方式为时，共有：种分法 分配方式为时，共有：种分法 由分类加法计数原理可得，共有：种分法 ‎（2）若个位是，共有：个 若个位不是，共有：个 由分类加法计数原理可得，共有：个 ‎（3）若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 由分类加法计数原理可得，共有：种选法 能力提升训练 ‎1．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试】“五一”小长假快到了，某单位安排甲、乙、丙、丁四人于‎5月1日至‎5月4日值班，一人一天，甲的值班只能安排在‎5月1日或‎5月4日且甲、乙的值班日期不能相邻的排法有______种．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 若甲在‎5月1日值班，则乙只能在，‎5月3日或‎5月4日两天值班一天，剩余两人任意安排 此时有 ‎ 若甲在‎5月4日值班，则乙只能在‎5月1日或‎5月4日值班一天 此时有 则共有 种排法 故答案为：8‎ ‎2．【江西省新八校2019届高三第二次联考】在一次中学生志愿者活动中，需要将共名志愿者分派到个不同的地点进行爱心活动，要求每个地点至少有人活动，并且 两名同学必须在同一个地点，则不同的爱心分派方案共有_______种（用数字作答）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 将个人分成小组，分组的方法可为 ‎①若按的方式分组，则分派方案共有：种；‎ ‎②若按的方式分组，则分派方案共有：种；‎ 不同的分派方案共有：种.‎ ‎3．【黑龙江省大庆铁人中学2018-2019学年高二下学期期中考试】铁人中学欲将甲、乙、丙、丁四名大学毕业生安排到高一、高二、高三三个年级实习，每个年级至少一名毕业生，不同的分法有______种(结果用数字表示).‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ 由题得三个年级的分配人数为2、1、1，‎ 所以不同的分法有.‎ 故答案为：36‎ ‎4．【广东省佛山市顺德区2017-2018学年高二下学期期末】位同学在一次聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品。已知位同学之间进行了次交换，且收到份纪念品的同学有人，问收到份纪念品的人数为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 名同学两两互相交换纪念品，应共有：次交换 现共进行了次交换，则有次交换没有发生 收到份纪念品的同学有人 一人与另外两人未发生交换 若甲与乙、甲与丙之间没有交换，则甲、乙、丙未收到份纪念品 收到份纪念品的人数为：人 本题正确结果： ‎ ‎5．【福建省三明市三地三校2018-2019学年高二下学期期中联考 ‎】某学习小组有男生5人，女生3人，现选3人分别去参加3种不同的学习活动，则3人有男生又有女生的安排方法共有________种，(用数字作答)．‎ ‎【答案】270‎ ‎【解析】‎ 由题意，选3人分别去参加3种不同的学习活动，则3人有男生又有女生，可分为两类情况：‎ ‎（1）3人中包含2男1女，共有种不同的安排方法；‎ ‎（2）3人中包含1男2女，共有种不同的安排方法，‎ 由分类计数原理可得，共有种不同的安排方法，‎ 故答案为：270种.‎ ‎6．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】本相同的资料书配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的分配方法共有_____种．‎ ‎【答案】25.‎ ‎【解析】‎ 先分组，再排序，12本书分三个班级，且每班至少一本且至多六本，可能有 ‎1、5、6；2、4、6；2、5、5；3、3、6；3、4、5；4、4、4共6中情况 当一个班分1本，一个班分5本，一个班分6本，不同的方法有种；‎ 当一个班分2本，一个班分4本，一个班分6本，不同的方法有种；‎ 当一个班分2本，一个班分5本，一个班分5本，不同的方法有种；‎ 当一个班分3本，一个班分3本，一个班分6本，不同的方法有种；‎ 当一个班分3本，一个班分4本，一个班分5本，不同的方法有种；‎ 当一个班分4本，一个班分4本，一个班分4本，不同的方法有种；‎ 所以一共有 ‎ 故答案为25‎ ‎7．【上海市2018-2019学年高二下学期期末考试复习卷】用1、2、3、4‎ ‎、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________。‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ 第一步：将进行排列，共有种排法 第二步：将插空排列，共有种排法 第三步：将整体插空放入，共有种排法 根据分步乘法计数原理可得共有：种排法 本题正确结果：‎ ‎8．【青海省西宁市第四高级中学2017-2018学年高二下学期第二次月考】从6双不同手套中，任取4只，‎ ‎(1)恰有1双配对的取法是多少？‎ ‎(2)没有1双配对的取法是多少？‎ ‎(3)至少有1双配对的取法是多少？‎ ‎【答案】(1)240 (2)240 （3）255‎ ‎【解析】‎ 解：（1）从6双不同手套中，取出一双手套共有种取法；‎ 剩余2只先在5双中取2双，再从2双中各取1只，共有种取法；‎ 所以，恰有1双配对的取法有种.‎ ‎（2）根据题意，先在6双手套中取4双，再从取出的4双中各取1只，‎ 共有种取法；‎ ‎（3）至少有1双配对，包括恰有1双配对和2双配对；‎ 由（1）可知，恰有1双配对有种取法；‎ ‎2双配对有种取法；‎ 根据分类加法原理，至少有1双配对的取法种取法.‎ ‎9．【青海省西宁第二十一中学2017-2018学年高二下学期5月月考】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?‎ ‎（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;‎ ‎（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;‎ ‎（3）平均分成三份,每份2本;‎ ‎（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;‎ ‎（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;‎ ‎（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;‎ ‎（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.‎ ‎【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30‎ ‎【解析】‎ ‎（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法.‎ ‎（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.‎ ‎（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.‎ ‎（4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).‎ ‎（5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法.‎ ‎（6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).‎ ‎（7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下 本留给丙有种选法,共有 (种)选法.‎ ‎10．6男4女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种.(列出算式即可)‎ ‎(1)任何2名女生都不相邻,有多少种排法?‎ ‎(2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法?‎ ‎(3)男生甲、乙、丙顺序一定,有多少种排法?‎ ‎(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法?‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）；（4）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有·种不同排法.‎ ‎(2)甲在首位的排法共有种,乙在末位的排法共有种,甲在首位且乙在末位的排法有种,因此共有(-2+)种排法.‎ ‎(3)10人的所有排列方法有种,其中甲、乙、丙的排序有种,其中只有一种符合题设要求,所以甲、乙、丙顺序一定的排法有种.‎ ‎(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等,而10人排列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有种排法. ‎