微专题---最全一类条件中含有导函数的问题构造新函数解法分析与总结

微专题---最全一类条件中含有导函数的问题构造新函数解法分析与总结

微专题---最全一类条件中含有导函数的问题构造新函数解法分析与总结 【知识导引】 1.①对于条件 构造新函数 ②对于条件 构造新函数 ③对于条件 构造新函数 ④对于条件 构造新函数 2.① ,即高等数学中， 的原函数是 ② ,即高等数学中， 的原函数是 一般规律:如果遇到类似的含有某导函数的式子，思考的主要方向是巧妙构造一个新函数 g(x)后让 g(x)和条件发生关联,最终就是将条件转化为关于 g(x)的单调性而而解决相应问 题。 【例题 1】已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，则 的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 解 ： 由 已 知 ， ， 构 造 函 数 ， 是 上的减函数， ，所以 所以不等式解集是 ，答案 B 【例题 2】（湖南长郡中学等四校 2020 年 12 月联考）已知定义在 上的可导函数 的 导函数为 ，对任意 都有 且 当 时，不等式 ( ) ( ) 0,xf x nf x′ + > ( )( ) ;ng x x f x= ( ) ( ) 0,xf x nf x′ − > ( ) ( ) ;n f xg x x = ( ) ( ) 0,f x nf x′ − > ( ) ( ) ;nx f xg x e = ( ) ( ) 0,f x nf x′ + > ( )( ) ;nxg x e f x= 2 'ln 1( ln )2 x x Cx = + ln x x 21( ) ln2F x x C= + 'ln ( ln )x x x x C= − + ln x ( ) lnF x x x x C= − + ( )0,+∞ ( )f x ( )f x′ ( ) ( )f x f xx ′> 2 1 ( ) 0x f f xx   − >   ( )0,1 ( )1,+∞ ( )1 ,1 1,2   +∞    1 ,2  +∞   ( ) ( )f x f xx ′> ( ) ( )xf x f x′ − <0 ( )( ) ,f xg x x = ( ) ( ) 2( ) 0( ) xf x f xg x x ′ −′ = < ( )g x ( )0,+∞ 2 1 ( ) 0x f f xx   − >   1 ( ) 1 10, ( ) ( ),1 f f xx g g x xx x x x     − > > < 2 1, 1,x x> > ( )1,+∞ R ( )f x ( )f x′ x R∈ ( ) 2f x x′ < 1 1( ) ,2 2f = [ ]0,2α π∈ 的解集是（ ） （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 解 ： 由 已 知 ， ， 构 造 函 数 ， 是 上的减函数， ，解得 所以不等式解集是 ，答案 D. 【例题 3】设定义在 上的函数 且 的解集是______. 解 ： 由 已 知 得 ， 构 造 新 函 数 在 上 是 增 函 数 ， ， 增 ， 所 以 ， 即不等式 的解集是 【例题 4】设 是函数 且 的解集是 （A） （B） （C） （D 解 ： 由 已 知 ， ， 构 造 函 数 ( ) 1 3sin cos2 02 4f α α+ − > 2,3 3 π π    20, ,23 3 π π π         5,6 6 π π    50, ,26 6 π π π         ( ) 2f x x′ < ( ) 2f x x′ − <0 2( ) ( ) ,g x f x x= − ( )( ) 2 0g x f x x′ ′= − < ( )g x R ( ) 1 3sin cos2 02 4f α α+ − > ( ) 2 1sin sin ,4f α α− > 1 1(sin ) ( ),sin2 2g gα α> < 50, ,26 6 π π π         50, ,26 6 π π π         ( )0,+∞ ( )f x 满足 ( )2 1 0,x f x′ + > ( )1 6f = ( ) 1lg 5lgf x x > +则不等式 ( )2 1 0,x f x′ + > ( ) ( ) ' 2 1 10,[ ] 0f x f xx x ′ + > − > ( ) 1( ) , ( ) 0,g x f x g xx ′= − ⇒ > ( )g x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )1 1lg 5 lg 5 lg (1)lg lgf x f x g x gx x > + ⇔ − > ⇔ > ( )g x lg 1, 10x x> > ( ) 1lg 5lgf x x > + ( )10,+∞ ( )f x′ ( )f x 的导函数， (0) 1,f = ( ) ( )3 = 3f x f x′ − ， ( ) ( )4 f x f x′> 1 4 ,3 n +∞   1 2 ,3 n +∞   3 ,2  +∞    ,3 e +∞    ( ) ( )3 = 3f x f x′ − ， ( ) ( )3f x f x′ − =3 3 ( )( ) ,x f xg x e = ，令 x=0, ， 所以 ，所以不等式解集是 ，答案 B 【例题 5】（2013 辽宁卷）（11）设函数 （A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 （C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值 解：由已知， 。在已知 中令 ，并将 代 入 ， 得 ； 因 为 ， 两 边 乘 以 后 令 。 求 导 并 将 （ 1 ） 式 代 入 ， ，显然 时， ， 减； 时， ， 增；并且由（2）式知 ，所以 为 的最小值，即 ，所以 ，在 时得 （仅在 x=2 时，f（x）的导数为零）， 所以 为增函数，故没有极大值也没有极小值。【答案】D 【例题 6】（江淮十校 2021 高三初考 12 题）已知函数 的定义域为 ，导函数为 ， ，且 在 上单调递减，则 的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 解:方法 1∵函数 的定义域为 ，导函数为 ， ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 ' 3 2 3 3 3 3 3( ) ( )( ) x x x x x x f x e f x e f x f xg x ee e e −′ ′− −′ = = = −= 3 3 ( )( ) x x f xg x e Ce −= = − + (0) 1, 1 1 , 2f C C= ∴ = − + = 3( ) 2 1,xf x e= − ( ) ( ) 3 3 34 ,8 4 6 , 2,3 ln2,x x xf x f x e e e x′> − > > > 1 2 ,3 n +∞   ( )f x 满足 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 2 ,8 xe ex f x xf x fx ′ + = = ( )0,x f x>则 时， 2[ ( )] xex f x x ′ = (1) 2 ( ) 2 ( ) xex f x xf x x ′ + = 2x = 2 (2) 8 ef = (2) 0f ′ = 2 ( ) 2 ( ) xex f x xf xx ′ = − x 3 2( ) ( ) 2[ ( )] (2)xg x x f x e x f x′= = −  2( ) 2 x x xe xg x e ex x −′ = − ⋅ = (0,2)x ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (2, )x ∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x (2) 0g = (2) 0g = ( )g x ( ) 0g x ≥ 3 ( ) 0x f x′ ≥ 0x > ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )f x ( )0, ∞+ ( )'f x ( ) ( )[ ' ln ]f x x f x x= + ( )f x ( )0, ∞+ 1f e     1 ,e  − +∞  1, e  −∞ −   ( ], 1−∞ − [ )1,− +∞ ( )f x ( )0, ∞+ ( )'f x ( ) ( )' lnxf x f x x x− = − 即满足 ,∵ ∴ ∴可设 （ 为常数） ∴ ， 恒成立， ∵ ∴B 正确 方法 2∵函数 的定义域为 ，导函数为 ， 即满足 ,∵ ∴ ， 再求导， ，所以， 在 递增，在 递 减 ， 在 上 单 调 递 减 ， ，答案是 B 【例题 7】（2021 届淮阴中学高三初考 8）定义域为 R 的可导函数 y＝f(x)的导函数为 f′(x)，满足 f(x)>f′(x)，且 f(0)＝2，则不等式 f(x)>2ex 的解集为(　　) A. (－∞，0) B. (0，＋∞) C. (－∞，2) D. (2，＋∞) 解：设 g(x)＝ f（x） ex ，则 g′(x)＝ f′（x）－f（x） ex .因为 f(x)>f′(x)，所以 g′(x)<0， 所以 g(x)在 R 上为减函数．因为 f(0)＝2，所以 g(0)＝f(0)＝2.因为 f(x)>2e x，所以 f（x） ex >2，即 g(x)>g(0)，所以 x＜0，所以不等式的解集为(－∞，0)．故选 A. 【例题 8】已知函数 f (x)(x∈R)满足 f (1)＝1， f (x)的导数 f′(x)< 1 2，则不等式 f (x2)< x2 2 ＋ 1 2的解集为____________． 解：　设 F (x)＝f (x)－ 1 2x，∴F′(x)＝f′(x)－ 1 2， ( ) ( ) 2 ' lnxf x f x x x x − = − ( ) ( ) ( ) 2 'f x xf x f x x x ′ −  =    ( ) lnf x x x x ′  = −   ( ) 21 ln2 f x x bx = − + b ( ) 21 ln2f x x x bx= − + ( )' 21 ln ln 02f x x x b= − − + ≤ 1=1 2 0, 2b b+ ≤ ≤ −△ 21 1 1 1 1 1ln2 2 b bf e e e e e e e   = − ⋅ + = − + ≤ −   ( )f x ( )0, ∞+ ( )'f x ( ) ( )' lnxf x f x x x− = − ( ) ( ) 2 ' lnxf x f x x x x − = − ( ) ( ) ( ) 2 'f x xf x f x x x ′ −  =    ( ) lnf x x x x ′  = −   ( ) ( ) ( ) ( ) ' ln ' = ln ,f xxf x f x x x f x xx − = − −， ( ) ( )'' ' 1 ln 1 1=( ) 0,f x xf x xx x x e +− = − = = − ( )'f x 10, e      1 ,e  +∞   ( )max 1 1 1 1' ' ln 1,1 f ef x f efe e e e       = = − = +       ( )f x ( )0, ∞+ 1 1 0,ef e   + ≤   1 1f e e   ≤ −   ∵f′(x)< 1 2，∴F′(x)＝f′(x)－ 1 2<0，即函数 F (x)在 R 上单调递减．∵f (x2)< x2 2 ＋ 1 2，∴f (x2)－ x2 2 1，即不等式的解集为{x|x<－1 或 x>1}． 【变式练习】 1. 设 是 函 数 且 ， 则 的解集是________________． 2. 已知定义在 上的函数 且 的解集是________________． 3. 已知定义在 上的函数 恒成立，若 ， 的解集是________________． 4. 已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 且 是偶函数， 则 的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 5. 已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 且 是偶函数， 则 的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 6.定义域为 R 的函数 f(x)满足， 则不等式 的解集为 ____________． 7. （ 多 选 题 ） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 导 函 数 为 ， ，且 ，则（ ） A. B. 在 处取得极大值 C. D. 在 单调递增 ( )f x′ ( )f x 的导函数， 1( ) ,f e e = ( ) ( ) ln xxf x f x x ′ + = ( ) ( )1 1f x f e x e+ − + > − ( )0,+∞ ( )f x 满足 ( ) 2 1ln 22 ( ) ,x x f x f x e + ′ + = ( ) 2 11 4f e = ( ) ( )ln 3f x f>则不等式 ( )0,+∞ ( )f x 满足 ( ) 22 ( ) ln 1f x f x x e x′ − + − > ( ) 21 2f e= − ( ) 2 2xf x e< −则不等式 R ( )f x ( )f x′ ( ) ( )f x f x′ < ( )2f x + (4) 1,f = ( ) xf x e< ( )2,− +∞ ( )0,+∞ ( )1,+∞ ( )4,+∞ ( )0,+∞ ( )f x ( )f x′ ( ) ( )f x f x′ < ( )2f x + (4) 1,f = ( ) xf x e< ( )2,− +∞ ( )0,+∞ ( )1,+∞ ( )4,+∞ ( ) ( ),f x f x′ > 1 ( ) (2 1)xe f x f x− < − ( )f x ( )0, ∞+ ( )'f x ( ) ( )' lnxf x f x x x− = 1 1f e e   =   1' 0f e   =   ( )f x 1x e = ( )0 1 1f< < ( )f x ( )0, ∞+ 8. 设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，f′(x)g(x)－f(x)g′ (x)>0，且 f(3)＝0，则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是________________． 9.已知定义域为 R 的偶函数 f (x)的导函数为 f′(x)，当 x<0 时，xf′(x)－f (x)<0.若 a＝ f e e ，b＝ f ln 2 ln 2 ，c＝ f 3 3 ，则 a，b，c 的大小关系是(　　) A．b ≥ ( )0,+∞ ( )f x 满足 ( ) 2 2 12 ( ) ,xf x f x x e ′ + = ( ) 2 11f e = ( ) ( )ln 3f x f>则不等式 ( )31,e ( )3,e−∞ ( )30,e ( )3,e +∞ ( )1,e− ( )31,e ( )0,1 ( )0,+∞ ( ) 3 4f x <