江苏高考数学理科答案与解析

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江苏高考数学理科答案与解析

‎2014江苏高考数学试题及参考答案 ‎ ‎ 数学I 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎1.已知集合,,则______.‎ ‎【解析】‎ ‎2.已知复数是虚数单位,则的实部为______.‎ ‎【解析】‎ ‎3.右图是一个算法流程图,则输出的的值是______.‎ ‎【解析】‎ ‎4.从这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是______.‎ ‎【解析】‎ 当且仅当两数为或时乘积为,有种情况,‎ 从这个数中任取两个数有种,故概率为 ‎5.已知函数与,它们的图象有一个横坐标为的交点,则 ‎ 的值是________.‎ ‎【解析】‎ ‎ 由题意,,∵,∴‎ 当且仅当,时等式成立 ‎6.某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示,则在抽测的株树木中,有______株树木的 底部周长小于cm.‎ ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎7.在各项均为正数的等比数列中,若,,则的值为_____.‎ ‎【解析】‎ 设公比为,则由得,解得,故 ‎8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为,体积分别为,若它们的侧面积相等,且,‎ 则的值是________.‎ ‎【解析】‎ ‎ 设两圆柱底面半径为,两圆柱的高为 ‎ 则,∵两圆柱侧面积相等,∴,,则 ‎9.在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为_______.‎ ‎【解析】‎ ‎∵圆心到直线的距离 ‎ ∴直线被圆截得的弦长为 ‎10.已知函数,若对于任意,都有成立,则实数的取值范 围是_______.‎ ‎【解析】‎ 若,对称轴,,解得,舍去;‎ ‎ 当时,,在上的最大值只可能在和处取到 ‎ 因此,解得 ‎11.在平面直角坐标系中,若曲线过点,且该曲线在点处的切线与直线平行,则的值是_______.‎ ‎【解析】‎ ‎ 由已知,,又∵,∴,解得,‎ ‎ ∴‎ ‎12.如图,在平行四边形中,已知,,,,则的 值是_______.‎ ‎【解析】‎ ‎∵,‎ ‎ ∴,∴‎ ‎13.已知是定义在上且周期的的函数,当时,,若函数 在区间上有个零点(互不相同),则实数的取值范围是_____.‎ ‎【解析】‎ 由已知得曲线与在范围内有个交点,数形结合得到 ‎14.若的内角满足,则的最小值是_______.‎ ‎【解析】‎ 由已知,‎ ‎,当且仅当时等号成立 三、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、‎ 证明过程及计算步骤。)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 已知.‎ ‎⑴求的值;‎ ‎⑵求的值.‎ ‎【解析】(1)∵,,∴‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,在三棱锥中,分别为棱的中点,已知,,‎ ‎,‎ 求证:(1)直线;‎ ‎(2)平面.‎ ‎【证明】(1)∵为中点,∴‎ ‎∵平面,平面 ‎∴‎ ‎(2)∵为中点,∴‎ ‎∵为中点,∴‎ ‎∴,∴,∴‎ ‎∵,,∴‎ ‎∵,∴平面 ‎∵平面,∴平面平面 ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左右焦点,顶点的 坐标为,连结并延长交椭圆于点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点,连结.‎ (1) 若点的坐标为,且,求椭圆的方程;‎ (2) 若,求椭圆离心率的值.‎ ‎【解析】(1)∵,∴,即 ‎∵,∴,∴‎ ‎∴椭圆方程为 ‎(2)设焦点,,∵,∴直线 与椭圆方程联立得,整理得 解得或 ‎∵,且关于轴对称 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 由得,即 ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,为保护河上古桥,规划建一座新桥,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 与河岸垂直;保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆.且古桥两端和 到该圆上任意一点的距离均不少于m.经测量,点位于点O正北方向m处点位于 点正东方向170m处(为河岸),‎ (1) 求新桥的长;‎ (2) 当多长时,圆形保护区的面积最大?‎ ‎【解析】⑴ 过作于,过作于,‎ ‎ ∵,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 设,则 ‎∵‎ ‎∴四边形为矩形 ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴,∴,.‎ ‎∴‎ ‎(2)设与切于,延长交于 ‎∵‎ ‎∴‎ 设,则,‎ ‎∴‎ ‎∴,设半径 ‎∴‎ ‎∵到上任一点距离不少于 则,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴最大当且仅当时取到 ‎∴时,保护区面积最大 ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知函数,其中是自然对数的底数 (1) 证明:是上的偶函数;‎ (2) 若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;‎ (3) 已知正数满足:存在,使得成立,试比较与的大小,并证明你的结论.‎ ‎【解析】(1),,∴是上的偶函数 ‎(2)由题意,,即 ‎∵,∴,即对恒成立 令,则对任意恒成立.‎ ‎∵,当且仅当时等号成立 ‎∴‎ ‎⑶,当时,∴在上单调增 令,‎ ‎∵,,∴,即在上单调减 ‎∵存在,使得,∴,即 ‎∵‎ 设,则,‎ 当时,单调增;当时,单调减 因此至多有两个零点,而 ‎∴当时,当时,当时 ‎∵,,‎ 故当时;当时;当时 ‎20.(本小题满分16分)‎ 设数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称 是“数列”.‎ (1) 若数列的前项和为,证明:则称是“数列”;‎ (2) 设是等差数列,其首项,公差,若是“数列”,求的值;‎ (3) 证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列”和,使得成立.‎ ‎【解析】(1)当时,‎ 当时,‎ ‎∴时,,当时,‎ ‎∴是“数列”‎ ‎ (2)‎ 对,使,即 取得,‎ ‎∵,∴,又,∴,∴‎ ‎⑶设的公差为 令,对,‎ ‎,对,‎ 则,且、为等差数列 的前项和,令,则 当时;当时 当时,由于与奇偶性不同,即非负偶数,‎ 因此对,都可找到,使成立,即为数列 的前项和,令,则 ‎∵对,是非负偶数,∴‎ 即对,都可找到,使得成立,即为数列 因此命题得证 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应答题区域内作答,‎ 若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)‎ 如图,是圆的直径,是圆上位于异侧的两点,证明:‎ B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分分)‎ 已知矩阵,,向量,是实数,若,求的值 C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程是参数,直线与抛物 线相交于两点,求线段的长 D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)‎ 已知,,证明:‎ ‎【解析】A.证明:,∴,又∵,∴‎ ‎ B.解:,,由得,解得,‎ ‎ C.解:直线代入抛物线方程并整理得 ‎ ∴交点,,故 ‎ D.证明:由均值不等式 ‎ 分别当且仅当,时候等号成立 因此 ‎ 当且仅当的时候等号成立 ‎【必做题】第22题,第23题,每题10分,共计20分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎22.(本小题满分10分)‎ ‎ 盒中共有个球,其中有个红球,个黄球和个绿球,这些球除颜色外完全相同 (1) 从盒中一次随机抽出个球,求取出的个球颜色相同的概率 (2) 从盒中一次随机抽出个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为,随机变量表示的最大数,求的概率分布和数学期望 ‎【解析】(1)一次取个球共有种可能情况,个球颜色相同共有种可能情况 ‎ ∴取出的个球颜色相同的概率 ‎ (2)的所有可能取值为,则,,‎ 于是 ‎∴的概率分布列为 故的数学期望 ‎23.(本小题满分10分)‎ 已知函数,设为的导数,‎ (1) 求的值 (2) 证明:对任意,等式都成立 ‎【解析】(1),两边求导得 ‎ 两边再同时求导得 (*)‎ ‎ 将代入(*)式得 ‎(2)下证命题:,恒成立 ‎ 当时,成立 ‎ 当时,,由(1)知成立 ‎ 当时,,由(1)知成立 ‎ 当时,上式两边求导,即 ‎ 假设当时命题成立,下面证明当时命题也成立 ‎ 若,,则,‎ ‎ 由两边同时求导得 ‎ 即,命题成立 ‎ 同理,若,,则,‎ ‎ 由两边同时求导得,命题成立 ‎ 若,,则,‎ ‎ 由两边同时求导得,命题成立 ‎ 若,,则,‎ ‎ 由两边同时求导得,命题成立 ‎ 综上所述,命题对恒成立 ‎ 代入得,‎ 两边同时取绝对值得
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