江苏高考数学理科答案与解析

江苏高考数学理科答案与解析

‎2014江苏高考数学试题及参考答案 ‎ ‎ 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎1．已知集合，，则______．‎ ‎【解析】‎ ‎2．已知复数是虚数单位，则的实部为______．‎ ‎【解析】‎ ‎3．右图是一个算法流程图，则输出的的值是______．‎ ‎【解析】‎ ‎4．从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______．‎ ‎【解析】‎ 当且仅当两数为或时乘积为，有种情况，‎ 从这个数中任取两个数有种，故概率为 ‎5．已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则 ‎ 的值是________．‎ ‎【解析】‎ ‎ 由题意，，∵，∴‎ 当且仅当，时等式成立 ‎6．某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的株树木中，有______株树木的 底部周长小于cm．‎ ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎7．在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值为_____．‎ ‎【解析】‎ 设公比为，则由得，解得，故 ‎8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，‎ 则的值是________．‎ ‎【解析】‎ ‎ 设两圆柱底面半径为，两圆柱的高为 ‎ 则，∵两圆柱侧面积相等，∴，，则 ‎9．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为_______．‎ ‎【解析】‎ ‎∵圆心到直线的距离 ‎ ∴直线被圆截得的弦长为 ‎10．已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范 围是_______．‎ ‎【解析】‎ 若，对称轴，，解得，舍去；‎ ‎ 当时，，在上的最大值只可能在和处取到 ‎ 因此，解得 ‎11．在平面直角坐标系中，若曲线过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是_______．‎ ‎【解析】‎ ‎ 由已知，，又∵，∴，解得，‎ ‎ ∴‎ ‎12．如图，在平行四边形中，已知，，，，则的 值是_______．‎ ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎ ∴，∴‎ ‎13．已知是定义在上且周期的的函数，当时，，若函数 在区间上有个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____．‎ ‎【解析】‎ 由已知得曲线与在范围内有个交点，数形结合得到 ‎14．若的内角满足，则的最小值是_______．‎ ‎【解析】‎ 由已知，‎ ‎，当且仅当时等号成立 三、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、‎ 证明过程及计算步骤。）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知．‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵求的值．‎ ‎【解析】(1)∵，，∴‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，，‎ ‎，‎ 求证：(1)直线；‎ ‎(2)平面．‎ ‎【证明】(1)∵为中点，∴‎ ‎∵平面，平面 ‎∴‎ ‎(2)∵为中点，∴‎ ‎∵为中点，∴‎ ‎∴，∴，∴‎ ‎∵，，∴‎ ‎∵，∴平面 ‎∵平面，∴平面平面 ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的 坐标为，连结并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连结．‎ (1) 若点的坐标为，且,求椭圆的方程；‎ (2) 若,求椭圆离心率的值．‎ ‎【解析】(1)∵，∴，即 ‎∵，∴，∴‎ ‎∴椭圆方程为 ‎(2)设焦点，，∵，∴直线 与椭圆方程联立得，整理得 解得或 ‎∵，且关于轴对称 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 由得，即 ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥 与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆．且古桥两端和 到该圆上任意一点的距离均不少于m．经测量，点位于点O正北方向m处点位于 点正东方向170m处（为河岸），‎ (1) 求新桥的长；‎ (2) 当多长时，圆形保护区的面积最大？‎ ‎【解析】⑴ 过作于，过作于，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 设，则 ‎∵‎ ‎∴四边形为矩形 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，∴，．‎ ‎∴‎ ‎(2)设与切于，延长交于 ‎∵‎ ‎∴‎ 设，则，‎ ‎∴‎ ‎∴，设半径 ‎∴‎ ‎∵到上任一点距离不少于 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴最大当且仅当时取到 ‎∴时，保护区面积最大 ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数，其中是自然对数的底数 (1) 证明：是上的偶函数；‎ (2) 若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ (3) 已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论．‎ ‎【解析】(1),，∴是上的偶函数 ‎(2)由题意，，即 ‎∵，∴，即对恒成立 令，则对任意恒成立.‎ ‎∵，当且仅当时等号成立 ‎∴‎ ‎⑶，当时，∴在上单调增 令，‎ ‎∵，，∴，即在上单调减 ‎∵存在，使得，∴，即 ‎∵‎ 设，则，‎ 当时，单调增；当时，单调减 因此至多有两个零点，而 ‎∴当时，当时，当时 ‎∵，，‎ 故当时；当时；当时 ‎20．（本小题满分16分）‎ 设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称 是“数列”．‎ (1) 若数列的前项和为，证明：则称是“数列”；‎ (2) 设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；‎ (3) 证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．‎ ‎【解析】(1)当时，‎ 当时，‎ ‎∴时，，当时，‎ ‎∴是“数列”‎ ‎ (2)‎ 对，使，即 取得，‎ ‎∵，∴，又，∴，∴‎ ‎⑶设的公差为 令，对，‎ ‎，对，‎ 则，且、为等差数列 的前项和，令，则 当时；当时 当时，由于与奇偶性不同，即非负偶数，‎ 因此对，都可找到，使成立，即为数列 的前项和，令，则 ‎∵对，是非负偶数，∴‎ 即对，都可找到，使得成立，即为数列 因此命题得证 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应答题区域内作答，‎ 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）‎ 如图，是圆的直径，是圆上位于异侧的两点，证明：‎ B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分分）‎ 已知矩阵，，向量，是实数，若，求的值 C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是参数，直线与抛物 线相交于两点，求线段的长 D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）‎ 已知，，证明：‎ ‎【解析】A．证明：，∴，又∵，∴‎ ‎ B．解：，，由得，解得，‎ ‎ C．解：直线代入抛物线方程并整理得 ‎ ∴交点，，故 ‎ D．证明：由均值不等式 ‎ 分别当且仅当，时候等号成立 因此 ‎ 当且仅当的时候等号成立 ‎【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎22.（本小题满分10分）‎ ‎ 盒中共有个球，其中有个红球，个黄球和个绿球，这些球除颜色外完全相同 (1) 从盒中一次随机抽出个球，求取出的个球颜色相同的概率 (2) 从盒中一次随机抽出个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为，随机变量表示的最大数，求的概率分布和数学期望 ‎【解析】(1)一次取个球共有种可能情况，个球颜色相同共有种可能情况 ‎ ∴取出的个球颜色相同的概率 ‎ (2)的所有可能取值为，则，，‎ 于是 ‎∴的概率分布列为 故的数学期望 ‎23.（本小题满分10分）‎ 已知函数，设为的导数，‎ (1) 求的值 (2) 证明：对任意，等式都成立 ‎【解析】(1),两边求导得 ‎ 两边再同时求导得 (*)‎ ‎ 将代入(*)式得 ‎(2)下证命题：，恒成立 ‎ 当时，成立 ‎ 当时，，由(1)知成立 ‎ 当时，，由(1)知成立 ‎ 当时，上式两边求导，即 ‎ 假设当时命题成立，下面证明当时命题也成立 ‎ 若，，则，‎ ‎ 由两边同时求导得 ‎ 即，命题成立 ‎ 同理，若，，则，‎ ‎ 由两边同时求导得，命题成立 ‎ 若，，则，‎ ‎ 由两边同时求导得，命题成立 ‎ 若，，则，‎ ‎ 由两边同时求导得，命题成立 ‎ 综上所述，命题对恒成立 ‎ 代入得，‎ 两边同时取绝对值得