江苏高考数学模拟试题数学之友

江苏高考数学模拟试题数学之友

‎2018届江苏高考数学模拟试题（2）‎ 南师大《数学之友》‎ 数学I 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 ‎1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．‎ ‎3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．‎ ‎4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．‎ ‎ 参考公式：‎ 球体的体积公式：V＝，其中为球体的半径．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．已知集合，，‎ 则 ▲ ．‎ ‎2．已知复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为 ▲ ．‎ ‎3．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分组为[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为 ▲ ．‎ ‎0.030‎ ‎0.025‎ ‎0.015‎ ‎0‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 成绩 ‎(第3题)‎ 4． 在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为 奇数的概率是 ▲ ．‎ ‎5．运行如图所示的流程图，则输出的结果是 ▲ ．‎ ‎6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S15＝30，a7＝1，则S10的值为．‎ ‎7．已知是上的奇函数，且时，，则不等式的 ‎ 解集为 ▲ ．‎ ‎8．在直角坐标系xOy中，双曲线x2－＝1的左准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方程是 ▲ ．‎ ‎9．四面体中，平面，平面，且，则四面体的外接球的表面积为 ▲ .‎ ‎10. 已知，且，，则 ▲ .‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，若直线：与圆：相切，‎ ‎ 且圆心在直线的上方，则的最大值为 ▲ ．‎ ‎12．正五边形ABCDE的边长为，则的值为 ▲ ．‎ ‎13．设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为 ▲ ．‎ ‎14．若对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有(x+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥，‎ ‎ 则实数a的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ 如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且. 将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记A(x1，y1)，B(x2，y2).‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，‎ 记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若，‎ 求角的值.‎ ‎.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D为AB的中点.‎ ‎（1）求证：BC1∥平面A1CD；‎ ‎（2）求证：BC1⊥平面AB1C.‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ 某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中为探测器在静水中行进时的速度，为行进时的时间（单位：小时），为常数，为能量次级数．如果水的速度为4 km/h，该生物探测器在水中逆流行进200 km．‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；‎ ‎ (ii)当能量次级数为3时，试确定的大小，使该探测器消耗的能量最少．‎ 18． ‎(本小题满分16分)‎ 如图，椭圆的右焦点为F，右准线为l，过点F且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，P是AB的中点，过点B作BM⊥l于M，连AM交x轴于点N，连PN.‎ ‎（1）若，求直线AB的倾斜角；‎ ‎（2）当直线AB变化时，求PN长的最小值.‎ ‎ ‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 设函数，其图象与轴交于，两点，且x1＜x2．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）证明：（为函数的导函数）；‎ ‎（3）设点C在函数的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记， ‎ ‎ 求的值．‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ 已知数列{}满足 ‎（1）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；‎ ‎（2）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。‎ 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。‎ 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 ‎ 置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 O A E B C l D ‎(第21题A)‎ 如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M＝ 的一个特征值为3，求M的另一个特征值及对应的一个特征向量．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 已知点P是曲线C：（为参数，）上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，求点P的直角坐标．‎ D．选修4—5：不等式选讲 已知实数x，y，z满足x + y + z = 2，求的最小值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ ‎ 某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3， 4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A的发生的概率；‎ ‎（2）设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 在集合1，2，3，4，…，中，任取（，，N*）元素构成集合．若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为．令．‎ ‎（1）当时，求，，的值；‎ ‎（2）求．‎ ‎2018高考数学模拟试题（2）‎ 数学I答案 一、填空题答案 ‎1. {0} 2. 3 3. 120 4. 5. ‎ ‎6. －5 7. （0，1） 8. y2＝2x 9. 10. ‎ ‎11. ‎ 解：因为直线：与圆：相切， 所以 ‎ 又因为圆心在直线的上方，所以， 所以，‎ ‎ 所以的最大值为．‎ ‎12. 6‎ 解：利用在上的投影得，=6．‎ ‎13． ‎ 解：①‎ 时，，所以在单调递减，且，所以 在有一个小于0的零点．‎ 时，在单调递增，因为，所以在有一个小于1的零点．‎ 因此满足条件．‎ ‎②‎ ‎（1）时，在单调递减，，所以在上没有零点．又因为，故在上也没有零点.因此不满足题意．‎ ‎（2）时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，所以在上没有零点．又因为，故在上也没有零点.因此不满足题意．‎ ‎（3）时，，在上没有零点，零点只有2，满足条件．‎ ‎（4）时，在上没有零点，在上有两个不相等的零点，且和为a，故满足题意的范围是．‎ 综上所述，a的取值范围为．‎ ‎14. a≤或a≥ 解：因为对任意、都成立，‎ ‎ 所以，(x+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥ (2sinθcosθ-asinθ-acosθ)2， ‎ ‎ (2sinθcosθ-asinθ-acosθ)2≥，‎ ‎ 即对任意θ∈[0，]，都有或，‎ ‎ 因为,‎ ‎ 当θ∈[0，]时，，‎ ‎ 所以，同理a≤.‎ ‎ 因此，实数a的取值范围是a≤或a≥．‎ 二、解答题答案 ‎15.解：（1）由三角函数定义，，，‎ ‎ 因为，，所以.‎ ‎.‎ ‎ （2）依题意，，，‎ ‎ 所以，‎ ‎,‎ ‎ 依题意，，化简得，‎ ‎ 因为，则，所以，即.‎ ‎16.证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，‎ 四边形ACC1A1为矩形，‎ ‎ 设AC1∩A1C=G，则G为AC1中点，‎ D为AB中点，连DG，则DG∥BC1.‎ 因为DG平面A1CD，BC1平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎ （2）由（1）四边形BCC1B1为矩形，又BC=BB1，‎ 则四边形BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C，‎ 由（1）CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，‎ 又AC⊥BC，则AC⊥平面BCC1B1，AC⊥BC1，‎ 因此，BC1⊥平面AB1C.‎ ‎17.解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为，‎ ‎ 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h，即，‎ ‎ 所以，即，；‎ ‎ （2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （当且仅当即km/h时，取等号）（9分）‎ ‎ (ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知，，‎ ‎ 所以得，‎ ‎ 当时，；当时，，‎ ‎ 所以当时，．‎ ‎ 答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为；‎ ‎ (ⅱ) km/h时，该探测器消耗的能量最少． ‎ 18. 解（1）显然，当AB⊥x轴时，易得，不合题意.所以可设AB的方程为，与椭圆方程联立得，‎ 设A（x1，y1）, B（x2，y2）, 则，‎ ‎，‎ 因此，解得，所以直线AB的倾斜角等于或.‎ ‎（2）因为椭圆的右准线的方程为，由（1），当AB不垂直于x轴时，点，所以直线AM的方程为，令y=0，得 ‎=.‎ 当AB⊥x轴时，易得，所以无论AB如何变化，点N的坐标均为. ‎ 因此，当AB⊥x轴时，PN取最小值，PNmin=.‎ ‎19.解（1）．‎ 若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．‎ 所以，令，则．‎ 当时，，是单调减函数；‎ 当时，，是单调增函数.‎ 于是当时，取得极小值． ‎ 因为函数的图象与轴交于两点，(x1＜x2)，‎ 所以，即．.‎ 此时，存在；‎ 存在，‎ 又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围. ‎ ‎（2）因为 两式相减得． ‎ 记，则，‎ 设，则，所以是单调减函数，‎ 则有，而，所以．‎ 又是单调增函数，且 所以． ‎ ‎（3）依题意有，则．‎ 于是，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°，‎ 所以，即，‎ 由直角三角形斜边的中线性质，可知，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 即． ‎ 因为，则，‎ 又，所以， ‎ 即，所以 ‎ ‎20. 解：（1）因为{}是递增数列，所以，‎ 又，，‎ 因为成等差数列，所以，‎ 解得，当，，与{}是递增数列矛盾，所以.‎ ‎（2）因为{}是递增数列，所以，‎ 于是 ①‎ 由于，所以 ②‎ 由①②得，所以 ③‎ 因为{}是递减数列，所以同理可得，‎ ‎. ④‎ 由③④得，‎ 所以 ‎，‎ 所以数列{}的通项公式为．‎ 数学Ⅱ答案 ‎21．【选做题】答案 A．选修4—1：几何证明选讲 解：连结OC，BE．‎ 因为AB是圆O的直径，所以BE⊥AE．‎ 因为AB＝8，BC＝4，所以OB＝OC＝BC＝4，即△OBC为正三角形．‎ O A E B C l D ‎(第21题A)‎ 所以∠BOC＝60°． ‎ 又直线l切⊙O与于点C，所以OC⊥l．‎ 因为AD⊥l，所以AD∥l．‎ 所以∠BAD＝∠BOC＝60°．‎ 在Rt△BAE中，因为∠EBA＝90°－∠BAD＝30°，‎ 所以AE＝AB＝4． ‎ B．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4． ‎ 因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，‎ 所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1． ‎ 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1． ‎ 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝，‎ 则从而y＝－x． ‎ 取x＝1，得y＝－1，‎ 所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：由题意得,曲线C的普通方程为 (1) ‎ ‎ 直线OP的方程为 (2) ‎ ‎ 联立(1)(2)得 （舍）或 所以点P的坐标为 ‎ D．选修4—5：不等式选讲 解：由柯西不等式可知 ‎ ,‎ ‎ 所以 ,‎ 当且仅当时取等号.‎ ‎【必做题】答案 ‎22.解：（1）由已知有,‎ ‎　　 所以事件A发生的概率为. ‎ ‎ （2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2 ‎ ‎ ；　　　　‎ ‎ ；‎ ‎ . ‎ ‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 ‎ ‎23.解：（1）当时，集合为．‎ 当时，偶子集有，，奇子集有，，，，；‎ 当时，偶子集有，，奇子集有，，，，‎ ‎，，； ‎ ‎（2）当为奇数时，偶子集的个数，‎ 奇子集的个数，‎ 所以，． ‎ 当为偶数时，偶子集的个数，‎ 奇子集的个数，‎ 所以 ‎．‎ 一方面，‎ ‎，‎ 所以中的系数为 ‎； ‎ 另一方面，‎ ‎，中的系数为，‎ 故．‎ 综上， ‎