【数学】2019届一轮复习北师大版解三角形学案

【数学】2019届一轮复习北师大版解三角形学案

第11练　解三角形 ‎[明考情]‎ 解三角形是高考的必考内容，以“一大一小”的格局呈现，“一小”以选择题或填空题形式出现，难度为中档.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.正弦定理、余弦定理.‎ ‎2.求三角形的面积.‎ ‎3.解三角形的综合应用.‎ 考点一　正弦定理、余弦定理 方法技巧　(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化.‎ ‎(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.‎ ‎1.(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C等于(　　)‎ A.B.C.D. 答案　B 解析　因为a＝2，c＝，‎ 所以由正弦定理可知，＝，‎ 故sinA＝sinC.‎ 又B＝π－(A＋C)，‎ 故sinB＋sinA(sinC－cosC)‎ ‎＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC ‎＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC ‎＝(sinA＋cosA)sinC＝0.‎ 又C为△ABC的内角，‎ 故sinC≠0，‎ 则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.‎ 又A∈(0，π)，所以A＝.‎ 从而sinC＝sinA＝×＝.‎ 由A＝知，C为锐角，故C＝.‎ 故选B.‎ ‎2.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cosC，则c等于(　　)‎ A.2B.2C.4D.3 答案　B 解析　因为＝＝＝1，所以2cosC＝1，所以C＝.又S△ABC＝2，则absinC＝2，所以ab＝8.因为a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2.‎ ‎3.(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b等于(　　)‎ A.B.C.2D.3‎ 答案　D 解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，‎ 解得b＝3，故选D.‎ ‎4.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.‎ 答案　 解析　在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝，由正弦定理得b＝＝.‎ ‎5.(2017·安徽淮北二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsinA，则C＝________.‎ 答案　 解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2bcsinA，‎ sinA－cosA＝，2sin＝≥2，‎ 因此b＝c，A－＝⇒A＝，‎ 所以C＝＝.‎ 考点二　求三角形的面积 要点重组　三角形的面积公式 ‎(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高).‎ ‎(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB.‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形ABC内切圆的半径).‎ ‎6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A.3B.C.D.3 答案　C 解析　由c2＝(a－b)2＋6，得a2＋b2－c2＝2ab－6，由余弦定理，得cosC＝＝，因为C＝，‎ 所以cosC＝＝，得ab＝6，则△ABC的面积S＝absinC＝.‎ ‎7.在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC的面积的最大值为(　　)‎ A.B.C.D.3 答案　B 解析　设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，‎ ‎∵·＝|－|＝3，即bccosA＝3，a＝3，‎ ‎∴cosA＝≥1－＝1－，‎ ‎∴cosA≥，∴0＜sinA≤，∴0＜tanA≤.‎ ‎∴△ABC的面积S＝bcsinA＝tanA≤×＝，‎ 故△ABC面积的最大值为.‎ ‎8.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2bcosA，B＝，c＝1，则△ABC的面积为______.‎ 答案　 解析　∵a＝2bcosA，‎ ‎∴由正弦定理可得sinA＝2sinB·cosA.‎ ‎∵B＝，∴sinA＝cosA，∴tanA＝.‎ 又∵A为三角形的内角，∴A＝.又B＝，‎ ‎∴C＝π－A－B＝，∴△ABC为等边三角形，‎ ‎∴S△ABC＝acsinB＝×1×1×＝.‎ ‎9.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝3acosB－ccosB，·＝2，则△ABC的面积为________.‎ 答案　2 解析　因为bcosC＝3acosB－ccosB，‎ 由正弦定理得sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，‎ 即sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB⇒sin(B＋C)＝3sinAcosB.‎ 又sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，‎ 所以sinA＝3sinAcosB⇒cosB＝，‎ 所以sinB＝＝＝.‎ 由·＝2⇒cacosB＝2⇒ac＝6.‎ 所以S△ABC＝ac·sinB＝·6·＝2.‎ ‎10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________.‎ 答案　8‎ 解析　∵cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝，‎ S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24，‎ 又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，∴b2＋c2＝52.‎ 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，‎ ‎∴a＝8.‎ 考点三　解三角形的综合应用 方法技巧　利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换并结合平面几何知识，可以解决三角形形状判断、取值范围及实际应用等问题.‎ ‎11.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于(　　)‎ A.B.C.－D.－ 答案　C 解析　设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝AD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝＝－3，所以cosA＝－.‎ ‎12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为(　　)‎ A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 答案　C 解析　由已知可得b＝＝2ccosA，‎ ‎∴cos2A＝，易知cosA>0，∴cosA＝.‎ 又∵0°

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