【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷3【附详细答案和解析_可编辑】
【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷3【附详细答案和解析 可编辑】
真水无香 tougao33
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 13 小题 ，共计72分 ， ）
1. （5分） 已知i为虚数单位，辅助z=1+2ii，则|z|=( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 5
2. （5分） （兰州诊断）设全集U=R，集合M=x|x≥0，集合N=x|x2<1，则M∩∁UN=（ ）
A.0,1 B.0,1 C.[1,+∞) D.1,+∞
3. （5分） 设a=1212,b=1213,c=log213 ，则，b，c的大小关系是（ ）
A. a
x2，则第三个试点应选取在（ ）
A.2.236 B.3.764 C.3.528 D.3.925
5. （5分） 所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. （5分） 从编号为0，1，2，⋯，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为( )
A.72 B.74 C.76 D.78
7. （5分） 已知cos(π2+α)=2cos(π-α)，则tan(π4+α)=( )
A.3 B.-3 C. -13 D.13
8. （5分） 若向量a→=(2, -1)，b→=(0, 2)，则以下向量中与a→+b→垂直的是（ ）
A.(1, -2) B.(1, 2) C.(2, 1) D.(0, 2)
9. （5分） 执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填( )
A.S≥7? B.S≥21? C.S≥28? D.S≥36?
10. （5分） 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60∘的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(233,2] B.[233,2) C.(233,+∞) D.[233,+∞)
11. （5分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2=b2+2accosC且a=2bsinA，则A=( )
A.π4 B.π6 C.π3 D.2π3
12. （5分） 已知直线l:kx-y-3k+1=0 与椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A，B两点，与圆C2
x-32+y-12=1交于C，D两点．若存在k∈-2,-1
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，使得AC→=DB→,则椭圆C1的离心率的取值范围为( )
A.[33,63] B.[33,1) C.(0,33] D.[63,1)
13. （12分） 已知函数fx=3sinωx+acosωxω>0,a>0，对任意x1,x2∈R，fx1+fx2的最大值为4，若f(x)在0,π上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是( )
A.43,73 B.43,73 C.76,136 D.76,136
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）
14. 已知f(x)＝x2+ex，曲线y＝f(x)在点(0, 1)处的切线方程为________．
15. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有7层．每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有________盏灯．
16. 已知函数fx=sinωx+π4ω∈N在0,π上仅有2个零点，设gx=2fx2+fx-π8，则gx 在区间0,π 上的取值范围为________.
17. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为棱CC1的中点，则点M到平面A1BD的距离是________.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 12 分 ，共计72分 ， ）
18. 为了调查某地区义务教育阶段的学生在周末上网的情况，随机对男女各200名学生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计表：
表1：男、女生上网时间与频数分布表
附：公式k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
(1)若用表1的数据来分析判断：某义务教育阶段学校共有女生600人，试估计其中上网时间不高于60分钟的人数；
(2)完成答题卡上的2×2列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“学生周末上网时间与性别有关？”
19. 已知等差数列{an}满足a3=5，a4+a8=22，{an}的前n项和为Sn，
(1)求an及Sn；
(2)证明：对一切正整数n，有1S1+1S2+...+1Sn<74．
20. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1C1上任意一点，求证：
(1)平面A1DC1//平面AB1C；
(2)DP//平面AB1C.
21. 设函数f(x)=ax-ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有两个零点x1,x2，且x1<x2，
①求实数a的取值范围；②求证：x1+x2<2lna．
22. 已知点P是圆M:x-12+y2=14外一动点，且满足P到圆M上点的最短距离等于P到直线x=-12的距离．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)经过R2,0的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问在x轴上是否存在异于R的定点Q，使得直线AQ，BQ的倾斜角互补？若存在，求出定点Q；若不存在，请说明理由．
23. 已知a，b，c∈R+，求证：a+b+c．1a+1b+1c≥9．
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参考答案与试题解析
【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷3【附详细答案和解析 可编辑】
一、 选择题 （本题共计 13 小题 ，共计72分 ）
1.【答案】
D
【解答】
解：已知复数z=1+2ii=i(1+2i)i⋅i=-2+i-1=2-i.
则z=22+(-1)2=5.
故选D.
2.【答案】
C
【解答】
由题意得N=-1,1，则∁UN=-∞,-1∪1,+∞，所以M∩(∁UN)=[1,+∞)，故选C．
正确求解一元二次不等式，掌握集合的运算法则是解题的关键．
本题考查不等式的解法、集合的运算．
3.【答案】
【解答】
此题暂无解答
4.【答案】
C
【解答】
解：由已知试验范围为[2, 4]，可得区间长度为2，
利用0.618法选取试点：x1=2+0.618×(4-2)=3.236，x2=2+4-3.236=2.764，
∵ x1处的结果比x2处好，
则x3为4-0.618×(4-3.236)=3.528
故选C．
5.【答案】
B
【解答】
解：由三视图知：该几何体为底面朝上的圆锥，
当水注入时，先增长快，再变慢.
故选B．
6.【答案】
B
【解答】
解：样本间隔为80÷10=8，
设第一个号码为x，
因为编号为58的产品在样本中，
且58=8×7+2，
则第一个号码为2，
则最大的编号2+8×9=74.
故选B.
7.【答案】
B
【解答】
解：∵ cos(π2+α)=2cos(π-α), ∴ -sinα=-2cosα，
∴ tanα=2,
∴ tan(π4+α)=tanπ4+tanα1-tanπ4tanα=1+tanα1-tanα=-3.
故选B.
8.【答案】
A
【解答】
解：∵ 向量a→=(2, -1)，b→=(0, 2)，
∴ a→+b→=(2, 1)，
对于A，2×1+1×(-2)=0，
∴ 该向量与向量a→+b→垂直；
∴ 可以排除掉B、C、D选项．
故选：A．
9.【答案】
C
【解答】
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解：已知输出的值为8，即i=8，
运行程序：
第一次：S=S+i=1,i=i+1=2,
第二次：S=S+i=3,i=i+1=3,
第三次：S=S+i=6,i=i+1=4,
第四次：S=S+i=10,i=i+1=5,
第五次：S=S+i=15,i=i+1=6,
第六次：S=S+i=21,i=i+1=7,
第七次：S=S+i=28,i=i+1=8,
故选C.
10.【答案】
A
【解答】
解：不妨令双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，
由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，
又∵ 满足条件的直线只有一对，
当直线与x轴夹角为30∘时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30∘，
双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30∘，则无交点，
则不可能存在|A1B1|＝|A2B2|，
当直线与x轴夹角为60∘时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60∘，
双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60∘，也满足题中有一对直线，
但是如果大于60∘，则有两对直线．不符合题意，
∴ tan30∘0,a>0，
因为对任意x1,x2∈R，fx1+fx2的最大值为4；
f(x)的最大值为a2+3,
故2a2+3=4.
故a=1.
因为fx=3sinωx+cosωx
=2sin(ωx+π6)，
当x∈(0,π)时，
所以 π6≤ωx+π6≤ωπ+π6，
因为f(x)在0,π上恰有两个极值点，
故f'(x)=0在0,π上恰有两个解，
即f'(x)=2ωcos(ωx+π6)=0时，
∴ 3π2<ωπ+π6≤5π2，
解得43<ω≤73．
故选B.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
14.【答案】
y＝x+1
【解答】
由f(x)＝x2+ex，得f'(x)＝2x+ex，
∴ f'(0)＝0+e0＝1．
∴ 曲线y＝f(x)在点(0, 1)处的切线方程为y＝x+1．
15.【答案】
3
【解答】
解：设第一层有a盏灯，
则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以12为公比的等比数列，
∴ a(1-127)1-12=381，
解得a=192，
∴ 顶层有a7=192×126=3盏灯．
故答案为：3．
16.【答案】
-54,1+2
【解答】
解：∵ fx在0,π仅有2个零点，
∴ π4≤ωx+π4≤ωπ+π4，
∴ 2π≤ωπ+π4<3π，
∴ 74≤ω<π4，
又∵ ω∈N，∴ ω=2，
∴ fx=sin2x+π4，
∴ gx=2sinx+π4+sin2x =sinx+cosx+2sinxcosx ，
设sinx+cosx=t=2sinx+π4，sin2x=t2-1，
∵ 0≤x≤π，∴ -1≤t≤2，
∴ gx=y=t+t2-1=t+122-54，
∴ 当t=-12时，ymin=-54，
当t=2时，ymax=1+2．
∴ gx值域为-54,1+2．
故答案为：-54,1+2．
17.【答案】
32
【解答】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
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则D(0, 0, 0)，A1(1, 0, 1)，B(1, 1, 0)，M(0, 1, 12)，
DA1→=(1, 0, 1)，DB→=(1, 1, 0)，DM→=(0, 1, 12)，
设平面A1BD的法向量n→=(x, y, z)，
则DB→⋅n→=0，DA1→⋅n→=0，即x+y=0，x+z=0，
取x=1，得n→=(1, -1, -1)，
∴ 点M到平面A1BD的距离：
d=|n→⋅DM→||n→|=323=32．
故答案为：32．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 12 分 ，共计72分 ）
18.【答案】
解：(1)设估计上网时间不高于60分钟的人数x，
依据题意有x600=140200，
解得：x=420，
所以估计其中上网时间不高于60分钟的人数是420人.
(2)根据题目所给数据得到如下列联表：
其中K2=400×(120×60-80×140)2200×200×260×140=40091≈4.396<5.024,
因此，没有97.5%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.
【解答】
解：(1)设估计上网时间不高于60分钟的人数x，
依据题意有x600=140200，
解得：x=420，
所以估计其中上网时间不高于60分钟的人数是420人.
(2)根据题目所给数据得到如下列联表：
其中K2=400×(120×60-80×140)2200×200×260×140=40091≈4.396<5.024,
因此，没有97.5%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.
19.【答案】
解：(1)∵ a4+a8=22，∴ a6=11，
∴ a6-a3=3d=11-5=6，
∴ d=2，∴ a1=1，
∴ an=2n-1，Sn=n(2n-1+1)2=n2.
(2)∵ Sn=n2，
∴ 当n=1时，1S1=1，
当n≥2时，1Sn=1n2<1n(n-1)=1n-1-1n，
∴ 1S1+1S2+...+1Sn<1+14+(12-13)+...+(1n-1-1n)
=1+14+12-1n=74-1n<74，
故对一切正整数n，有1S1+1S2+...+1Sn<74．
【解答】
解：(1)∵ a4+a8=22，∴ a6=11，
∴ a6-a3=3d=11-5=6，
∴ d=2，∴ a1=1，
∴ an=2n-1，Sn=n(2n-1+1)2=n2.
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(2)∵ Sn=n2，
∴ 当n=1时，1S1=1，
当n≥2时，1Sn=1n2<1n(n-1)=1n-1-1n，
∴ 1S1+1S2+...+1Sn<1+14+(12-13)+...+(1n-1-1n)
=1+14+12-1n=74-1n<74，
故对一切正整数n，有1S1+1S2+...+1Sn<74．
20.【答案】
证明：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵ A1C1//AC，A1D//B1C，
A1C1∩A1D=A1，AC∩B1C=C，
∴ 平面A1DC1//平面AB1C.
(2)∵ P为A1C1上任意一点，
∴ DP⊂平面A1DC1，DP⊄平面AB1C，
由(1)已证，平面A1DC1//平面AB1C，
∴ DP//平面AB1C.
【解答】
证明：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵ A1C1//AC，A1D//B1C，
A1C1∩A1D=A1，AC∩B1C=C，
∴ 平面A1DC1//平面AB1C.
(2)∵ P为A1C1上任意一点，
∴ DP⊂平面A1DC1，DP⊄平面AB1C，
由(1)已证，平面A1DC1//平面AB1C，
∴ DP//平面AB1C.
21.【答案】
解：(1)f'(x)=a-ex (x∈R).
①当a≤0时， f'(x)<0，
∴ f(x)的单调减区间为(-∞,+∞)，无增区间；
②当a>0时，令f'(x)>0，得xlna，
∴ f(x)的单调减区间为(lna,+∞)．
(2) ①当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在R上单调递减，不合题意；
当a>0时，f(x)在(-∞,lna)上单调递增，f(x)在(lna,+∞)上单调递减．
∵ f(x) 存在两个零点，
∴ f(lna)=alna-elna=a(lna-1)>0，得a>e，
∵ 当x趋向于-∞时，ax<0，-ex<0，
∴ f(x)为负数，
∵ 当x趋向于+∞时，ax<ex，ax-ex<0，
∴ f(x)为负数，
∴ f(x)有两个零点，
∴ a的取值范围是 (e,+∞).
②要证：x1+x2<2lna，即证：x2<2lna-x1，
不妨设00，
∴ φ(x)在(0,1)递增，
∴ φ(x)<φ(1)=0，即x1+x2<2lna．
【解答】
解：(1)f'(x)=a-ex (x∈R).
①当a≤0时， f'(x)<0，
∴ f(x)的单调减区间为(-∞,+∞)，无增区间；
②当a>0时，令f'(x)>0，得xlna，
∴ f(x)的单调减区间为(lna,+∞)．
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(2) ①当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在R上单调递减，不合题意；
当a>0时，f(x)在(-∞,lna)上单调递增，f(x)在(lna,+∞)上单调递减．
∵ f(x) 存在两个零点，
∴ f(lna)=alna-elna=a(lna-1)>0，得a>e，
∵ 当x趋向于-∞时，ax<0，-ex<0，
∴ f(x)为负数，
∵ 当x趋向于+∞时，ax<ex，ax-ex<0，
∴ f(x)为负数，
∴ f(x)有两个零点，
∴ a的取值范围是 (e,+∞).
②要证：x1+x2<2lna，即证：x2<2lna-x1，
不妨设00，
∴ φ(x)在(0,1)递增，
∴ φ(x)<φ(1)=0，即x1+x2<2lna．
22.【答案】
解：(1)设Px,y，P到直线x=-12的距离为d，
则由题意可得|PM|-12=d．
即x-12+y2-12=|x+12|．
化简整理得y2=4x,
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x．
(2)当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性知Q可以是x轴上异于R的任意一点．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，且Ax1,y1，Bx2,y2，
联立方程y=kx-2，y2=4x，得k2x2-4k2+1x+4k2=0，
则x1+x2=4k2+1k2，x1x2=4，
假设x轴上存在定点Qm,0，使得直线AQ，BQ的倾斜角互补，
则kAQ+kBQ=0．
即y1x1-m+y2x2-m=kx1-2x1-m+kx2-2x2-m
=2kx1x2-k(m+2)(x1+x2)+4kmx1x2-m(x1+x2)+m2
=-4km+2k2m-22-4m=0．
因为上式对任意k成立，所以m+2=0，解得m=-2，
所以x轴上存在定点Q-2,0，使得直线AQ，BQ的倾斜角互补．
【解答】
解：(1)设Px,y，P到直线x=-12的距离为d，
则由题意可得|PM|-12=d．
即x-12+y2-12=|x+12|．
化简整理得y2=4x,
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x．
(2)当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性知Q可以是x轴上异于R的任意一点．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，且Ax1,y1，Bx2,y2，
联立方程y=kx-2，y2=4x，得k2x2-4k2+1x+4k2=0，
则x1+x2=4k2+1k2，x1x2=4，
假设x轴上存在定点Qm,0，使得直线AQ，BQ的倾斜角互补，
则kAQ+kBQ=0．
即y1x1-m+y2x2-m=kx1-2x1-m+kx2-2x2-m
=2kx1x2-k(m+2)(x1+x2)+4kmx1x2-m(x1+x2)+m2
=-4km+2k2m-22-4m=0．
因为上式对任意k成立，所以m+2=0，解得m=-2，
所以x轴上存在定点Q-2,0，使得直线AQ，BQ的倾斜角互补．
23.【答案】
证明：∵ a，b，c∈R+，∴ a+b+c≥33abc>0．
1a+1b+1c≥331a⋅1b⋅1c>0，
∴ a+b+c⋅1a+1b+1c≥33abc⋅3⋅31a⋅1b⋅1c=9．
【解答】
此题暂无解答
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