【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）2【附详细答案和解析_可编辑】
【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）2【附详细答案和解析 可编辑】
真水无香陈 tougao33
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ）
1. 若i为虚数单位，且(2-i)2=a+bi3(a,b∈R)，则a+b=（ ）
A.7 B.-7 C.-1 D.1
2. 执行如图所示的程序框图，则输出的x等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
3. 曲线C的参数方程为x=5secθ,y=4tanθ（θ为参数）经过伸缩变换x'=x5，y'=y4后所得曲线的离心率为( )
A.12 B.22 C.2 D.2
4. 已知F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且PF1→⋅PF2→=0，|PF1→|=3|PF2→|，则该椭圆的离心率为（ ）
A.105 B.104 C.103 D.102
5. 已知实数x，y满足条件x-y≥0，x+y≥0，x≤1，则 z=y-12x的最大值为（ ）
A.-32 B.0 C.12 D.1
6. 若lgx=a,lgy=b，则lgx-lgy102的值为( )
A.12a-2b-2 B.12a-2b+1 C.12a-2b-1 D.12a-2b+2
7. 已知：|OA→|=1，|OB→|=3，OA→*OB→=0，点C在∠AOB内，且OC→与OA→的夹角为30∘，设OC→=mOA→+nOB→(m, n∈R)，则mn的值为（ ）
A.2 B.52 C.3 D.4
8. 已知a，b，c是正实数，且ab+bc+ac=1，则abc的最大值为（ ）
A.39 B.33 C.1 D.3
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）
9. 已知角θ的终边经过点P(2x, -6)，且tanθ=-34，则x的值为________．
10. 在等差数列{an}中，若a5=8，a9=24，则公差d=________．
11. 若⊙O1:x2+y2=5与⊙O2：(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
12. 已知函数f(x)=lnxx+x-a(a∈R)，若曲线y=2ex+1e2x+1（e为自然对数的底数）上存在点(x0, y0)使得f(f(y0))=y0，则实数a的取值范围是__________.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ， ）
13. 已知函数f(x)＝sin2x2+12sinx-12，△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）求f(A)的取值范围；
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（2）若C>A，f(A)＝0，且2sinA＝sinB+2sinC2，△ABC的面积为2，求b的值．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，D变为D'，且平面D'AE⊥平面ABCE．
(Ⅰ)求证：AD'⊥EB；
(Ⅱ)求二面角A-BD'-E的大小．
15. 调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如表中结果：
种植地编号
A1
A2
A3
A4
A5
(x, y, z)
(1, 1, 2)
(2, 1, 1)
(2, 2, 2)
(0, 0, 1)
(1, 2, 1)
种植地编号
A6
A7
A8
A9
A10
(x, y, z)
(1, 1, 2)
(1, 1, 1)
(1, 2, 2)
(1, 2, 1)
(1, 1, 1)
(Ⅰ)在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率；
(Ⅱ)从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X＝A-B，求X的分布列及其数学期望．
16. 如图，点P为圆E：(x-1)2+y2＝r2(r>1)与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．
(Ⅰ)当r在(1, +∞)内变化时，求点Q的轨迹方程；
(Ⅱ)已知点A(-1, 1)，设直线AQ，EQ分别与(Ⅰ)中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在(Ⅰ)中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．
17. 已知函数 f(x)=2ax+ex ，g(x)=ax2-2ax-xex,a∈R.
(1)讨论 f(x) 的单调区间；
(2)若对任意实数x, f(x)+g(x)≤1，求a的取值范围.
18. 自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N+，且x1>0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
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参考答案与试题解析
【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）2【附详细答案和解析 可编辑】
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1.【答案】
A
【解答】
解：等式化为3-4i=a-bi，所以a=3，b=4．
故选A．
2.【答案】
C
【解答】
解：执行程序框图，
∵ y>0，∴ y=-2，x=2，
∵ y<0，∴ y=3，x=4，
∵ y>0，∴ y=1，x=8，
结束循环，输出x=8．
故选C.
3.【答案】
C
【解答】
解：由题得曲线C的普通方程为x225-y216=1,
由x'=x5，y'=y4，可得x=5x'，y=4y'，
代入曲线C中，可得x'2-y'2=1，
即x2-y2=1，
∴ a=1，b=1，
∴ c=2，
∴ e=ca=2．
故选C．
4.【答案】
B
【解答】
点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2＝90∘，且|PF1|＝3|PF2|，如图：
设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
则：4m=2a9m2+m2=4c2 ，
可得4c2=52a2，
解得e=ca=104．
5.【答案】
C
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域,
将y-(12)x=0平移到点A(1,1)，
此时目标函数z=y-(12)x取得最大值，其最大值为z=1-(12)1=12.
故选C.
6.【答案】
D
【解答】
解：∵ lgx=a，lgy=b，
∴ lgx-lgy102=12lgx-2lgy10
=12lgx-2lgy-1
=12lgx-2lgy+2
=12a-2b+2，
故选D．
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7.【答案】
C
【解答】
∵ |OA→|=1，|OB→|=3，OA→⋅OB→=0，
∴ 建立平面直角坐标系如图：
则OA→=(1,0)，OB→=(0,3)，
∴ OC→=mOA→+nOB→=(m, 3n)，
又OC→与OA→的夹角为30∘，
∴ 3nm=tan30∘=33，则mn的值为3．
8.【答案】
A
【解答】
解：∵ a，b，c是正实数，
且ab+bc+ac=1，
∴ 13=ab+bc+ca3≥3(abc)2，
∴ (abc)2≤127，
∴ abc≤39，
即 abc的最大值为 39，
故选A．
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9.【答案】
3
【解答】
解：∵ 角α的终边经过点P(2x, -6)，且tanθ=-34，
∴ -62x=-34，
∴ x=3
故答案为：3．
10.【答案】
4
【解答】
解：∵ 数列{an}中为等差数列，∴ a5=a1+4d=8，①a9=a1+8d=24②
②-①得，4d=16．∴ d=4
故答案为4
11.【答案】
4
【解答】
解：由题 O1(0, 0)与O2：(m, 0)
5<|m|<35，O1A⊥AO2，
m2=(5)2+(25)2=25，∴ m=±5
AB=2⋅5˙=4
故答案为：4
12.【答案】
(-∞,1e]
【解答】
解：y=2ex+1e2x+1（e是自然对数的底数），求导，y'=2ex+1(1-e2x)(e2x+1)2，
令y'＝0，解得：x=0，
当x>0时，y'<0，当x<0，y'>0，
则x∈(-∞, 0)，函数单调递增，x∈(0, +∞)时，函数y单调递减，
则当x=0时，取最大值，最大值为e，
∴ y0的取值范围为(0, e]，
则函数f(x)=lnxx+x-a(a∈R)，x∈(0, e)，
求导，f'(x)=x2-lnx+1x2，
x∈(0, e)，f'(x)>0，
则f(x)在(0, e)上单调递增，
下面证明f(y0)=y0．
假设f(y0)=c>y0，则f(f(y0))=f(c)>f(y0)=c>y0，不满足f(f(y0))=y0．
同理假设f(y0)=c<y0，则不满足f(f(y0))=y0．
综上可得：f(y0)=y0．
令函数f(x)=lnxx+x-a=x，化为a=lnxx．
设g(x)=lnxx，求导g'(x)=1-lnxx2，
当x∈(0, e)时，g'(x)>0，
g(x)在(0, e)上单调递增，
当x=e时取最大值，最大值为1e，
当x→0时，a→-∞，
∴ a的取值范围(-∞, 1e].
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故答案为：(-∞, 1e].
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ）
13.【答案】
f(x)＝sin2x2+12sinx-12=1-cosx2+sinx2-12=22sin(x-π4)．
由题意0
A，可得C=π2，则△ABC为等腰直角三角形，
由于：12b2＝2，
所以：b＝2．
【解答】
f(x)＝sin2x2+12sinx-12=1-cosx2+sinx2-12=22sin(x-π4)．
由题意0A，可得C=π2，则△ABC为等腰直角三角形，
由于：12b2＝2，
所以：b＝2．
14.【答案】
证明：(Ⅰ)∵ AE=BE=22，AB=4，
∴ AB2=AE2+BE2，∴ AE⊥EB，
取AE的中点M，连结MD'，则AD=D'E=2⇒MD'⊥AE，
∵ 平面D'AE⊥平面ABCE，
∴ MD'⊥平面ABCE，∴ MD'⊥BE，
从而EB⊥平面AD'E，∴ AD'⊥EB；
(Ⅱ)以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，
过C作平面ABCE的垂线为z轴，
如图建立空间直角坐标系，
则A(4, 2, 0)、C(0, 0, 0)、B(0, 2, 0)、D'(3,1,2)，E(2, 0, 0)，
从而BA→=(4, 0, 0)，BD'→=(3,-1,2)，BE→=(2,-2,0)．
设n1→=(x,y,z)为平面ABD'的法向量，
则n1→*BA→=4x=0n1→*BD'→=3x-y+2z ，取z=1，得n1→=(0,2,1)
设n2→=(x,y,z)为平面BD'E的法向量，
则n2→*BE→=2x-2y=0n2→*BD'→=3x-y+2z=0 ，取x=1，得n2→=(1,1,-2)
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因此，n1→*n2→=0，有n1→⊥n2→，即平面ABD'⊥平面BD'E，
故二面角A-BD'-E的大小为90∘．
【解答】
证明：(Ⅰ)∵ AE=BE=22，AB=4，
∴ AB2=AE2+BE2，∴ AE⊥EB，
取AE的中点M，连结MD'，则AD=D'E=2⇒MD'⊥AE，
∵ 平面D'AE⊥平面ABCE，
∴ MD'⊥平面ABCE，∴ MD'⊥BE，
从而EB⊥平面AD'E，∴ AD'⊥EB；
(Ⅱ)以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，
过C作平面ABCE的垂线为z轴，
如图建立空间直角坐标系，
则A(4, 2, 0)、C(0, 0, 0)、B(0, 2, 0)、D'(3,1,2)，E(2, 0, 0)，
从而BA→=(4, 0, 0)，BD'→=(3,-1,2)，BE→=(2,-2,0)．
设n1→=(x,y,z)为平面ABD'的法向量，
则n1→*BA→=4x=0n1→*BD'→=3x-y+2z ，取z=1，得n1→=(0,2,1)
设n2→=(x,y,z)为平面BD'E的法向量，
则n2→*BE→=2x-2y=0n2→*BD'→=3x-y+2z=0 ，取x=1，得n2→=(1,1,-2)
因此，n1→*n2→=0，有n1→⊥n2→，即平面ABD'⊥平面BD'E，
故二面角A-BD'-E的大小为90∘．
15.【答案】
（1）由表可知：空气湿度指标为1的有A2，A4，A5，A7，A9，A10
空气湿度指标为2的有A1，A3，A6，A8，
在这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n=C102=10×92=45⋯
这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m=C62+C42=6×52+4×32=21⋯
∴ 这两地的空气温度的指标z相同的概率P=mn=2145=715⋯
（2）由题意得10块种植地的综合指标如下表：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
综合指标
4
4
6
1
4
4
3
5
4
3
其中长势等级是一级(ω≥4)有A1，A2，A3，A5，A6，A8，A9，共7个，
长势等级不是一级(ω<4)的有A4，A7，A10，共3个，
随机变量X＝A-B的所有可能取值为1，2，3，4，5，
w＝4的有A1，A2，A5，A6，A9共5块地，w＝3的有A7，A10共2块地，这时有X＝4-3＝1
所以P(x=1)=C51C21C71C31=1021，
同理P(x=2)=C11C21C71C31=221，
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P(x=3)=C51C11+C11C21C71C31=721P(x=4)=C11C11C71C31=121，P(x=5)=C11C11C71C31=121⋯
∴ X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
1021
221
721
121
121
EX=1×1021+2×221+3×721+4×121+5×121=4421⋯
【解答】
（1）由表可知：空气湿度指标为1的有A2，A4，A5，A7，A9，A10
空气湿度指标为2的有A1，A3，A6，A8，
在这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n=C102=10×92=45⋯
这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m=C62+C42=6×52+4×32=21⋯
∴ 这两地的空气温度的指标z相同的概率P=mn=2145=715⋯
（2）由题意得10块种植地的综合指标如下表：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
综合指标
4
4
6
1
4
4
3
5
4
3
其中长势等级是一级(ω≥4)有A1，A2，A3，A5，A6，A8，A9，共7个，
长势等级不是一级(ω<4)的有A4，A7，A10，共3个，
随机变量X＝A-B的所有可能取值为1，2，3，4，5，
w＝4的有A1，A2，A5，A6，A9共5块地，w＝3的有A7，A10共2块地，这时有X＝4-3＝1
所以P(x=1)=C51C21C71C31=1021，
同理P(x=2)=C11C21C71C31=221，P(x=3)=C51C11+C11C21C71C31=721P(x=4)=C11C11C71C31=121，P(x=5)=C11C11C71C31=121⋯
∴ X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
1021
221
721
121
121
EX=1×1021+2×221+3×721+4×121+5×121=4421⋯
16.【答案】
（1）设Q(x, y)，则PQ的中点D(0,y2)，
∵ E(1, 0)，∴ DE→=(1,-y2)，DQ→=(x,y2)．
在圆E中，∵ DE⊥DQ，∴ DE→*DQ→=0，则x-y24=0．
∴ 点Q的轨迹方程y2＝4x(x≠0)；
（2）证明：设Q(t2, 2t)，Q1(t12,2t1)，Q2(t22,2t2)，
则直线Q1Q2的方程为(t1+t2)y-2x-2t1t2＝0．
由A，Q，Q1共线，得2t1-2tt12-t2=2t-1t2+1，从而t1=t+22t-1（t≠12，否则Q1不存在），
由E，Q，Q2共线，得2t2-2tt22-t2=2t-0t2-1，从而t2=-1t（t≠0，否则Q2不存在），
∴ t1t2=-t+22t2-t，t1+t2=t2+12t2-t，
∴ 直线Q1Q2的方程化为t2(y-4x)+2t(x+1)+(y+4)＝0，
令y-4x=0x+1=0y+4=0 ，得x＝-1，y＝-4．
∴ 直线Q1Q2恒过定点(-1, -4)．
【解答】
（1）设Q(x, y)，则PQ的中点D(0,y2)，
∵ E(1, 0)，∴ DE→=(1,-y2)，DQ→=(x,y2)．
在圆E中，∵ DE⊥DQ，∴ DE→*DQ→=0，则x-y24=0．
∴ 点Q的轨迹方程y2＝4x(x≠0)；
（2）证明：设Q(t2, 2t)，Q1(t12,2t1)，Q2(t22,2t2)，
则直线Q1Q2的方程为(t1+t2)y-2x-2t1t2＝0．
由A，Q，Q1共线，得2t1-2tt12-t2=2t-1t2+1，从而t1=t+22t-1（t≠12，否则Q1不存在），
由E，Q，Q2共线，得2t2-2tt22-t2=2t-0t2-1，从而t2=-1t（t≠0，否则Q2不存在），
∴ t1t2=-t+22t2-t，t1+t2=t2+12t2-t，
∴
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直线Q1Q2的方程化为t2(y-4x)+2t(x+1)+(y+4)＝0，
令y-4x=0x+1=0y+4=0 ，得x＝-1，y＝-4．
∴ 直线Q1Q2恒过定点(-1, -4)．
17.【答案】
解：(1)由 f(x)=2ax+ex(a∈R)，得f'(x)=2a+ex.
①当 a≥0时，f'(x)=2a+ex>0，
所以f(x)在R上是增函数.
②当 a<0 时，由f'(x)=2a+ex=0，得x=ln(-2a)，
在(-∞,ln(-2a))上，f'(x)<0，在(ln(-2a),0)上，f'(x)>0，
所以 f(x) 在(-∞,ln(-2a)) 上是减函数，在 (ln(-2a),0) 上是增函数.
(2)f(x)+g(x)≤1 等价于 ax2+(1-x)ex-1≤0 恒成立.
令F(x)=ax2+(1-x)ex-1，
当a>0时，x→-∞, ax2→+∞，(1-x)ex→0
F(x)=ax2+(1-x)ex-1→+∞，不合题意；
当a≤0时，F'(x)=x(2a-ex)，
当x>0时，F'(x)<0；当x<0时，F'(x)>0，
所以F(x) 在 x=0时取得最大值，最大值为 F(0)=a⋅02+(1-0)⋅e0-1=0，
所以 F(x)≤0 恒成立，
综上，a的取值范围为 (-∞,0].
【解答】
解：(1)由 f(x)=2ax+ex(a∈R)，得f'(x)=2a+ex.
①当 a≥0时，f'(x)=2a+ex>0，
所以f(x)在R上是增函数.
②当 a<0 时，由f'(x)=2a+ex=0，得x=ln(-2a)，
在(-∞,ln(-2a))上，f'(x)<0，在(ln(-2a),0)上，f'(x)>0，
所以 f(x) 在(-∞,ln(-2a)) 上是减函数，在 (ln(-2a),0) 上是增函数.
(2)f(x)+g(x)≤1 等价于 ax2+(1-x)ex-1≤0 恒成立.
令F(x)=ax2+(1-x)ex-1，
当a>0时，x→-∞, ax2→+∞，(1-x)ex→0
F(x)=ax2+(1-x)ex-1→+∞，不合题意；
当a≤0时，F'(x)=x(2a-ex)，
当x>0时，F'(x)<0；当x<0时，F'(x)>0，
所以F(x) 在 x=0时取得最大值，最大值为 F(0)=a⋅02+(1-0)⋅e0-1=0，
所以 F(x)≤0 恒成立，
综上，a的取值范围为 (-∞,0].
18.【答案】
解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn2，
因此xn+1-xn=axn-bxn-cxn2，n∈N*．(*)
即xn+1=xn(a-b+1-cxn)，n∈N*．(**)
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，
从而由(*)式得xn(a-b-cxn)恒等于0，n∈N*，
所以a-b-x1=0．即x1=a-bc．
因为x1>0，所以a>b．
猜测：当且仅当a>b，且x1=a-bc．每年年初鱼群的总量保持不变．
【解答】
解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn2，
因此xn+1-xn=axn-bxn-cxn2，n∈N*．(*)
即xn+1=xn(a-b+1-cxn)，n∈N*．(**)
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，
从而由(*)式得xn(a-b-cxn)恒等于0，n∈N*，
所以a-b-x1=0．即x1=a-bc．
因为x1>0，所以a>b．
猜测：当且仅当a>b，且x1=a-bc．每年年初鱼群的总量保持不变．
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