【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）1【含详细答案和解析_可编辑】
【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）1【含详细答案和解析 可编辑】
真水无香陈 tougao33
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ）
1. 若i为虚数单位，且(2-i)2=a+bi3(a,b∈R)，则a+b=（ ）
A.7 B.-7 C.-1 D.1
2. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为( )
A.5 B.8 C.24 D.29
3. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3cosα，y=3sinα（α为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+π4=46.设P为曲线C1上的动点，则P到C2上点的距离的最小值为( )
A.33 B.32 C.6 D.36
4. 已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的右顶点为A，抛物线C:y2＝8ax的焦点为F.若在E的渐近线上存在点P，使得PA⊥FP，则E的离心率的取值范围是 ( )
A.(1, 2) B.(1, 324] C.(2, +∞) D.[324, +∞)
5. 已知实数x，y满足不等式组2x-y+2≥0,x+y≤2,y≥0,则该不等式组表示的区域面积为( )
A.2 B.1 C.3 D.5
6. 若lgx=a,lgy=b，则lgx-lgy102的值为( )
A.12a-2b-2 B.12a-2b+1 C.12a-2b-1 D.12a-2b+2
7. 在△ABC中，CM→=2MB→，AN→+CN→=0→，则（ ）
A.MN→=23AB→+16AC→ B.MN→=23AB→+76AC→
C.MN→=16AC→-23AB→ D.MN→=76AC→-23AB→
8. 已知a，b，c是正实数，且ab+bc+ac=1，则abc的最大值为（ ）
A.39 B.33 C.1 D.3
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）
9. 设a=sin1，b=cos1，c=tan1，则a，b，c从小到大的顺序为________．
10. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则a1=________．
11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：
①PC//平面OMN；
②平面PCD//平面OMN；
③ OM⊥PA；
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④直线PD与直线MN所成角的大小为90∘.
其中正确结论的序号是________.
12. 已知函数f(x)=x+4x，g(x)=2x+a，若∀x1∈[12,1]， ∃x2∈[2,3] ，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ， ）
13. 在△ABC中，3ccosA=acosC，且asinA-csinC=3sinB，则b=________．
14. {P- ABC}中，平面{PACperp}平面{ABC},{angle ACB= 90^{circ }}$${PA= AC= 2BC}$
（1）若 PA⊥PB ，求证：平面 PAB⊥ 平面PBC;
（2）若PA与平面ABC所成的角为 60∘ ，求二面角
C-PB-A 勺余弦值.
15. 诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：
第一周
第二周
第三周
第四周
第一个周期
95%
98%
92%
88%
第二个周期
94%
94%
83%
80%
第三个周期
85%
92%
95%
96%
（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x¯；
（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；
（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．
16. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x-4y+2=0的距离为d1，焦点F到抛物线C的准线的距离为d2，且d1d2=12．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若x轴上存在点M，过点M的直线l与抛物线C相交于P，Q两点，且1|PM|2+1|QM|2为定值，求点M的坐标．
17. 已知函数fx=lnx+2x+1，gx=x2+x．
(1)求函数y=fx-gx的极值；
(2)若对任意x>0，都有fx-mgx≤0成立，求整数m的最小值．
18. 世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期7至10天，比赛设27
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个大项，参赛规模约100多个国家8000余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”．根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项．其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如图的频率分布直方图：
（1）估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值x¯（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X近似地服从正态分布N(μ, σ2)，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50，用样本平均数x¯作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求射击成绩得分X恰在350到400的概率；[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ, σ2)，则：P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973•]
（3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概率都是16，方格图上标有第0格，第1格，第2格，……第50格．遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从k到k+1），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移动到第n格的概率为Pn，试证明{Pn-Pn-1}(1≤n≤49)是等比数列，并求P50，以及根据P50的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力．
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参考答案与试题解析
【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）1【含详细答案和解析 可编辑】
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1.【答案】
A
【解答】
解：等式化为3-4i=a-bi，所以a=3，b=4．
故选A．
2.【答案】
B
【解答】
解：i=1，s=0；
第一次执行第一个判断语句后，S=1，i=2，不满足条件；
第二次执行第一个判断语句后，j=1，S=5，i=3，不满足条件；
第三次执行第一个判断语句后，S=8，i=4，满足退出循环的条件；
故输出S值为8.
故选B.
3.【答案】
D
【解答】
解：曲线C1的普通方程为x29+y23=1,
C2的普通方程为x+y=83，
利用点到直线的距离公式，
将椭圆的参数方程代入直线x+y=83中有：
d=|3cosα+3sinα-83|2
=|23sin(α+π3)-83|2∈[36,56]，
所以当sin(α+π3)=1时，
d的最小值为36.
故选D.
4.【答案】
B
【解答】
解：双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a, 0)，抛物线C:y2＝8ax的焦点F为(2a, 0)，双曲线E的渐近线方程为y＝±bax .
不妨设P(m, bam)，则AP→=(m-a, bam)，FP→=(m-2a, bam) .
由PA⊥FP，得AP→⋅FP→=0，即(m-a)(m-2a)+b2a2m2＝0，
整理得(1+b2a2)m2-3am+2a2=0 .
由题意可得Δ=9a2-4(1+b2a2)⋅2a2≥0，
即a2≥8b2＝8(c2-a2)，即8c2≤9a2，则e=ca≤324．
由e>1，可得1
sin1>cos1>0，即b|=-|-3+13+0+1×3+(23)2+1|=-14．
【解答】
(1)平面PAC⊥ 平面ABC，且交线为AC，又∠ACB=90∘，即AC⊥BC，
∴ BC⊥平面PAC，
又∵ PA⊂面PAC，
∴ BC⊥PA
又PB交BC于点B，且PB、BC在平面PBC内，
则平面PAB⊥平面PBC；
（2）过点P做AC的垂线，垂足为0，过点O再做AC的垂线交AB与点D，
以O为原点，OA，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图坐标系
∵ 面PAC⊥ 面ABC，且交线为AC，∴ PO⊥面ABC，
故∠PAO为PA与平面ABC所成的角，即∠PAO=60∘，
又PA=AC，则ΔPAC为等边三角形，故O为AC的中点，
不妨令BC=a，则PA=AC=2a，由题意有A(a,0,0),P(0,0,3a),C(-a,0)，
故有PB→=(-a,a,-3a)，PC→=(-a,0,-3a)，PA→=(a,0,-3a)，设n1→n→2分别为面PBC和面PAB的一个法向量，计算得到n1→=-3,0.1，n2→=3.23,1，
设二面角C-PB-A为α，从题中可以判定该角度为钝角，则其余弦值为设二面角C-PB-A为α，从题中可以判定该角度为钝角，则其余弦值为
cosα=-|cos|=-|-3+13+0+1×3+(23)2+1|=-14．
15.【答案】
表中十二周“水站诚信度”的平均数：
x¯=95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+9612×1100=91%．
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=14×24×14=264，
P(X=1)=34×24×14+14×24×14+14×24×34=1464，
P(X=2)=34×24×14+34×24×14+34×24×34=3064，
P(X=3)=34×24×34=1864
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，
∴ X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
132
732
1532
932
EX=0×132+1×732+2×1532+3×932=2．
两次活动效果均好．
理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，
后继一周都有提升．
【解答】
表中十二周“水站诚信度”的平均数：
x¯=95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+9612×1100=91%．
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=14×24×14=264，
P(X=1)=34×24×14+14×24×14+14×24×34=1464，
P(X=2)=34×24×14+34×24×14+34×24×34=3064，
P(X=3)=34×24×34=1864，
∴ X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
132
732
1532
932
EX=0×132+1×732+2×1532+3×932=2．
两次活动效果均好．
理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，
后继一周都有提升．
16.【答案】
解：(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(p2, 0)，准线方程为x=-p2，
可得d1=|3p2-0+2|9+16=3p+410，d2=p，
则d1d2=3p+410p=12，解得p=2，
则抛物线的方程为y2=4x；
(2)设M(t, 0)，P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x=my+t．
联立方程x=my+t,y2=4x,
整理可得y2-4my-4t=0．
Δ=16(m2+t)>0，y1+y2=4m，y1y2=-4t，
|PM|=1+m2|y1|，
|QM|=1+m2|y2|，
1|PM|2+1|QM|2=1(1+m2)y12+1(1+m2)y22
=y12+y22(1+m2)(y1y2)2=(y1+y2)2-2y1y216(1+m2)t216m2+8t16(1+m2)t2
=t+2m22(1+m2)t2=2m2+t2t2m2+2t2,
要使1|PM|2+1|QM|2为定值，必有22t2=t2t2，
解得t=2，
∴ 且1|PM|2+1|QM|2为定值时，点M的坐标为(2, 0)．
【解答】
解：(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(p2, 0)，准线方程为x=-p2，
可得d1=|3p2-0+2|9+16=3p+410，d2=p，
则d1d2=3p+410p=12，解得p=2，
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则抛物线的方程为y2=4x；
(2)设M(t, 0)，P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x=my+t．
联立方程x=my+t,y2=4x,
整理可得y2-4my-4t=0．
Δ=16(m2+t)>0，y1+y2=4m，y1y2=-4t，
|PM|=1+m2|y1|，
|QM|=1+m2|y2|，
1|PM|2+1|QM|2=1(1+m2)y12+1(1+m2)y22
=y12+y22(1+m2)(y1y2)2=(y1+y2)2-2y1y216(1+m2)t216m2+8t16(1+m2)t2
=t+2m22(1+m2)t2=2m2+t2t2m2+2t2,
要使1|PM|2+1|QM|2为定值，必有22t2=t2t2，
解得t=2，
∴ 且1|PM|2+1|QM|2为定值时，点M的坐标为(2, 0)．
17.【答案】
解：(1)令φx=fx-gx
=lnx+2x+1-x2-x=lnx-x2+x+1，(x>0)，
则φ'x=1x-2x+1=-2x2+x+1x=-(2x+1)(x-1)x，
令φ'x>0，∵ x>0，∴ 01，
所以函数φx在0,1上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，
故φx的极大值为φ1=1．
∴ 当x=1时，y=fx-gx的极大值为1，无极小值．
(2)设hx=fx-mgx=lnx+2x+1-mx2+x，
h'x=1x-2mx+2-m
=-2mx2+(2-m)x+1x=-(2x+1)(mx-1)x，
当m≤0时，∵ x>0，mx-1<0，2x+1>0，
∴ h'x>0故hx在0,+∞上单调递增，
而h1=3-2m>0，不满足题意，舍去．
当m>0时，令h'x=0，则x=1m，
x
(0,1m)
1m
(1m,+∞)
h'(x)
+
0
-
h(x)
单调递增
极大值
单调递减
所以 hmaxx=h1m=ln1m+2m+1-m1m2+1m=1m-lnm，
令tm=1m-lnmm>0，显然tm在0,+∞上单调递减，
∵ t1=1>0，t2=12-ln2<0，
故当m≥2时，tm<0满足题意，故整数m的最小值为2．
【解答】
解：(1)令φx=fx-gx
=lnx+2x+1-x2-x=lnx-x2+x+1，(x>0)，
则φ'x=1x-2x+1=-2x2+x+1x=-(2x+1)(x-1)x，
令φ'x>0，∵ x>0，∴ 01，
所以函数φx在0,1上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，
故φx的极大值为φ1=1．
∴ 当x=1时，y=fx-gx的极大值为1，无极小值．
(2)设hx=fx-mgx=lnx+2x+1-mx2+x，
h'x=1x-2mx+2-m
=-2mx2+(2-m)x+1x=-(2x+1)(mx-1)x，
当m≤0时，∵ x>0，mx-1<0，2x+1>0，
∴ h'x>0故hx在0,+∞上单调递增，
而h1=3-2m>0，不满足题意，舍去．
当m>0时，令h'x=0，则x=1m，
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x
(0,1m)
1m
(1m,+∞)
h'(x)
+
0
-
h(x)
单调递增
极大值
单调递减
所以 hmaxx=h1m=ln1m+2m+1-m1m2+1m=1m-lnm，
令tm=1m-lnmm>0，显然tm在0,+∞上单调递减，
∵ t1=1>0，t2=12-ln2<0，
故当m≥2时，tm<0满足题意，故整数m的最小值为2．
18.【答案】
X¯=0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405=300．
因为X∼N(300, 502)，所以P(35012，故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力．
【解答】
X¯=0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405=300．
因为X∼N(300, 502)，所以P(35012，故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力．
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