【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷(理工类)1【附详细答案和解析_可编辑】

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【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷(理工类)1【附详细答案和解析_可编辑】

‎【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷(理工类)1【附详细答案和解析 可编辑】‎ 真水无香陈 tougao33‎ 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________‎ ‎ 一、 选择题 (本题共计 9 小题 ,每题 5 分 ,共计45分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎1. 已知全集U={x∈N|0≤x≤4}‎,集合A={-1,2,3}‎,B={2,3}‎,则‎∁‎U‎(A∩B)=‎(        ) ‎ A.‎{0,4}‎ B.‎{0,1,4}‎ C.‎{1,4}‎ D.‎‎{0,1}‎ ‎ ‎ ‎2. 已知变量x,y满足约束条件 x+y≥0,‎x≤1,‎y≤0,‎ 则目标函数z=2x+y的最大值为(        ) ‎ A.‎0‎     B.‎1‎      C.‎2‎          D.‎‎3‎ ‎ ‎ ‎3. “a≤0‎”是“关于x的方程x‎2‎‎+ax+a=‎0(a∈R)‎有实数解”的( ) ‎ A.既不充分也不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎4. (重庆‎4‎月调研)中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”即“有数被三除余二,被五除余三,被七除余二,问该数为多少?”为解决此问题,现有同学设计如图所示的程序框图,则框图中的“”处应填入(        ) ‎ A.a-2‎‎21‎‎∈Z B.a-2‎‎15‎‎∈Z C.a-2‎‎7‎‎∈Z D.‎a-2‎‎3‎‎∈Z ‎ ‎ ‎5. 过抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点F作倾斜角为‎60‎‎∘‎的直线l,若直线l与抛物线在第一象限的交点为A,并且点A也在双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎的一条渐近线上,则双曲线的离心率为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎13‎ B.‎21‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎‎3‎ D.‎‎5‎ ‎ ‎ ‎6. 下列不等式正确的是(        ) ‎ A.log‎3‎‎0.2<‎0.2‎‎3‎<‎‎3‎‎0.2‎ B.log‎3‎‎0.2<‎3‎‎0.2‎<‎‎0.2‎‎3‎ C.‎0.2‎‎3‎‎0‎,b>0‎,且ln(a+b)=0‎,则‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值是________. ‎ ‎ 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,每题 13 分 ,共计78分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎15. 在‎△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5‎,c=6‎,sinB=‎‎3‎‎5‎. ‎ ‎(1)‎求b和sinA的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求sin(2A+π‎4‎)‎的值.‎ ‎ ‎ ‎16. 袋中装着标有数字‎1‎、‎2‎、‎3‎、‎4‎、‎5‎的小球各‎2‎个,从袋中任取‎3‎个小球,每个小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的‎3‎个小球上的最大数字,求: ‎ ‎(1)取出的‎3‎个小球上的数字互不相同的概率;‎ ‎ ‎ ‎(2)随机变量ξ的概率分布列和数学期望.‎ ‎ ‎ ‎17. 如图,在直四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,底面ABCD为等腰梯形,AB // CD,AB=4‎,AA‎1‎=2‎,BC=CD=2‎,E,F,E‎1‎是AA‎1‎,AB,AD的中点. ‎ ‎(1)‎证明:直线EE‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求直线BF与面FC‎1‎C所成角的大小;‎ ‎ ‎ ‎(3)‎求二面角B-FC‎1‎-C的平面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎18. 已知椭圆C:y‎2‎a‎2‎+x‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎2‎‎2‎,其四个顶点组成的菱形的面积是‎4‎‎2‎,O为坐标原点,若点A在直线x=2‎上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB. ‎ ‎(1) 求椭圆C的方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)求线段AB长度的最小值;‎ ‎ ‎ ‎(3)试判断直线AB与圆x‎2‎‎+y‎2‎=2‎的位置关系,并证明你的结论.‎ ‎ ‎ ‎19. 在等差数列‎{an}‎中,a‎1‎‎=3‎,其前n项和为Sn,等比数列‎{bn}‎的各项均为正数,b‎1‎‎=1‎,公比为q,且b‎2‎‎+S‎2‎=12‎,q=‎S‎2‎b‎2‎ ‎ ‎(1)求an与bn;‎ ‎ ‎ ‎(2)设数列‎{cn}‎满足cn‎=‎‎1‎Sn,求‎{cn}‎的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎20. 已知函数f(x)=lnx+x-ax‎2‎,a∈R. ‎ ‎(1)‎设g(x)=f(x)+(a-3)x,试讨论函数g(x)‎的单调性;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎当a=-2‎时,若存在正实数x‎1‎,x‎2‎满足f(x‎1‎)+f(x‎2‎)+3x‎1‎x‎2‎=0‎,求证:x‎1‎‎+x‎2‎>‎‎1‎‎2‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷(理工类)1【附详细答案和解析 可编辑】‎ 一、 选择题 (本题共计 9 小题 ,每题 5 分 ,共计45分 ) ‎ ‎1.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解:根据题意得到A∩B=‎‎2,3‎ , 则CU‎(A∩B)=‎‎0,1,4‎ . 故选B .‎ ‎2.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:画出不等式组表示的平面区域如下图所示: 可知目标函数z=2x+y位于点B处取得最大值, 联立y=0,‎x=1,‎解得B(1,0)‎, 则zmax‎=2×1+0=2‎. 故选C.‎ ‎3.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 由关于x的方程x‎2‎‎+ax+a=‎0(a∈R)‎有实数解得:‎△‎=a‎2‎‎-4a≥0‎,解得:a≤0‎或a≥4‎, ∴ “a≤0‎”是“a≤0‎或a≥4‎“的充分不必要条件,‎ ‎4.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 被‎3‎和‎7‎整除余‎2‎的数即是被‎21‎整除余‎2‎的数,所以判断框内应填入a-2‎‎21‎‎∈Z,故选A. 本题考查程序框图.‎ ‎5.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解:如图, 设A(x‎0‎,y‎0‎)‎,则‎|AF|=2‎x‎0‎‎-‎p‎2‎. 又∵ ‎|AF|=x‎0‎+‎p‎2‎, ∴ ‎2x‎0‎‎-‎p‎2‎=x‎0‎+‎p‎2‎, 解得x‎0‎‎=‎3‎‎2‎p,y‎0‎‎=‎3‎‎2‎|AF|=‎3‎‎2‎⋅2p=‎3‎p. 又∵ A‎3‎‎2‎p,‎3‎p在双曲线的一条渐近线上, ∴ ‎3‎p=ba⋅‎3‎‎2‎p,∴ b‎2‎‎=‎‎4‎‎3‎a‎2‎, 由a‎2‎‎+b‎2‎=‎c‎2‎,得a‎2‎‎+‎4‎‎3‎a‎2‎=‎c‎2‎,∴ c‎2‎a‎2‎‎=‎‎7‎‎3‎, ∴ 双曲线的离心率e=ca=‎‎21‎‎3‎. 故选B.‎ ‎6.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解:对于log‎3‎‎0.2‎,由对数函数的图像与性质可知log‎3‎‎0.2‎3‎‎0‎=1‎,‎ 综上可知,log‎3‎‎0.2<‎0.2‎‎3‎<‎‎3‎‎0.2‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 故选A.‎ ‎7.【答案】‎ C ‎【解答】‎ ‎∵ x∈R,f‎-x=sin|-x|+|sin‎-x|=sin|x|+|sinx|=fx,∴ fx为偶函数,①正确;当x∈‎π‎2‎‎,π时,fx=sin|x|+|sinx|=2sinx,在区间‎-π‎2‎,π上单调递减,故②错误;当x∈(0,π]‎时,fx=2sinx,结合fx为偶函数可画出其大致图象,可知fx在‎[-π,π]上有‎3‎个零点,故③错误;根据函数fx的图象可得fx的最大值为‎2‎,故④正确.故选C. ‎ ‎8.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解:由题设x‎2‎‎>x‎1‎>-1‎,‎ 由题知fx‎2‎-ax‎2‎≥fx‎1‎-ax恒成立.‎ 设gx=fx-ax,‎ 故gx在‎(-1,+∞)‎上单调递增,‎ 所以g‎'‎x‎≥0‎,‎ 即g‎'‎x‎=x+2‎ex-a⋅‎1‎x+1‎-a ‎ ‎=x+2‎⋅ex-x+2‎x+1‎⋅a≥0‎‎,‎ 因为x>-1‎ ,‎ 所以x+2>0‎,‎ 所以ex‎-‎1‎x+1‎⋅a≥0‎ ,‎ 故a≤‎x+1‎ex,‎ 令Fx=‎x+1‎exx>-1‎,‎ 所以F‎'‎x‎=x+2‎ex>0‎,‎ 所以Fx在‎-1,+∞‎上单调递增,‎ 所以Fx>F‎-1‎=0‎, ‎ 即a≤0‎.‎ 故选A.‎ ‎9.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 二、 填空题 (本题共计 5 小题 ,每题 5 分 ,共计25分 ) ‎ ‎10.【答案】‎ ‎3‎ ‎【解答】‎ 解:已知复数z满足‎|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1‎, 所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以‎(-2,2)‎为圆心,‎1‎为半径的圆, 因为‎|z-2-2i|=|z-(2+2i)|‎表示复数z在复平面内对应的点到点‎(2,2)‎的距离,即圆上的点到点‎(2,2)‎的距离, 所以最小点为圆心到点‎(2,2)‎的距离减去半径, 则‎|z-2-2i|‎的最小值为‎3‎. 故答案为:‎3‎.‎ ‎11.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 ‎12.【答案】‎ ‎2‎ ‎【解答】‎ 解:依题意,折叠后的四面体如图‎1‎. 设正方形边长为a,内切球半径为r, 则AG=a,EG=FG=‎a‎2‎. 记四面体内切球球心为O,如图‎2‎. ∵ VA-EFG‎=VO-EFG+VO-AEF+VO-AEG+‎VO-AFG, 即VA-EFG‎=‎1‎‎3‎(S‎△EFG+S‎△AEF+S‎△AEG+S‎△AFG)⋅r, 即‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎×a‎2‎×a‎2‎×a=‎1‎‎3‎×a‎2‎×r,所以a=8r. 又‎4πr‎2‎=‎π‎4‎,即r=‎‎1‎‎4‎, ∴ ‎a=2‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎. 故答案为:‎2‎.‎ ‎13.【答案】‎ ‎(t为参数),(θ为参数),当α=‎π‎3‎时,则C‎1‎与C‎2‎的交点坐标为‎(1, 0)‎,‎‎(‎1‎‎2‎, -‎3‎‎2‎)‎ ‎【解答】‎ ‎(1)当α=‎π‎3‎时,C‎1‎的普通方程为y=‎3‎(x-1)‎,C‎2‎的普通方程为x‎2‎‎+‎y‎2‎=‎1‎. 联立方程组,解得C‎1‎与C‎2‎的交点为‎(1, 0)‎,‎(‎1‎‎2‎, -‎3‎‎2‎)‎. 故答案为‎(1, 0)‎,‎(‎1‎‎2‎, -‎3‎‎2‎)‎.‎ ‎14.【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 解:∵ ln(a+b)=0‎, ∴ a+b=1‎, ∴ ‎1‎a‎+‎1‎b=(‎1‎a+‎1‎b)(a+b)=2+ba+ab≥2+2=4‎, 当且仅当a=b=‎‎1‎‎2‎时等号成立. 故答案为:‎4‎.‎ 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,每题 13 分 ,共计78分 ) ‎ ‎15.【答案】‎ 解:‎(1)‎在‎△ABC中,因为a>b, 故由sinB=‎‎3‎‎5‎,可得cosB=‎‎4‎‎5‎. 由已知及余弦定理, 得b‎2‎‎=a‎2‎+c‎2‎-2accosB=13.‎ 所以b=‎‎13‎. 由正弦定理asinA‎=‎bsinB, 得sinA=asinBb=‎‎3‎‎13‎‎13‎.‎ ‎(2)‎由‎(1)‎及ab, 故由sinB=‎‎3‎‎5‎,可得cosB=‎‎4‎‎5‎. 由已知及余弦定理, 得b‎2‎‎=a‎2‎+c‎2‎-2accosB=13.‎ 所以b=‎‎13‎. 由正弦定理asinA‎=‎bsinB, 得sinA=asinBb=‎‎3‎‎13‎‎13‎.‎ ‎(2)‎由‎(1)‎及a0)‎. ①若a≥0‎,则当x∈(0,‎1‎‎2‎)‎时,g‎'‎‎(x)>0‎, ∴ 函数g(x)‎在‎(0,‎1‎‎2‎)‎上单调递增; 当x∈(‎1‎‎2‎,+∞)‎时,g‎'‎‎(x)<0‎,函数g(x)‎在‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎上单调递减. ②若a<0‎,g‎'‎‎(x)=-a(x+‎1‎a)(2x-1)‎x(x>0)‎, 当a<-2‎时,易得函数g(x)‎在‎(0,-‎1‎a)‎和‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎上单调递增, 在‎(-‎1‎a,‎1‎‎2‎)‎上单调递减; 当a=-2‎时,g‎'‎‎(x)≥0‎恒成立, ∴ 函数g(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增; 当‎-20)‎, 则φ‎'‎‎(t)=1-‎1‎t=t-1‎t(t>0)‎, 当t∈(0,1)‎时,φ‎'‎‎(t)<0‎, ∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)‎在‎(0,1)‎上单调递减; 当t∈(1,+∞)‎时,φ‎'‎‎(t)>0‎, ∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增. ∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)‎在t=1‎时,取得最小值,最小值为‎1‎. ∴ ‎2(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎+(x‎1‎+x‎2‎)≥1‎, 即‎2(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎+(x‎1‎+x‎2‎)-1≥0‎ ∴ x‎1‎‎+x‎2‎≥‎‎1‎‎2‎或x‎1‎‎+x‎2‎≤-1‎. ∵ x‎1‎,x‎2‎为正实数, ∴ x‎1‎‎+x‎2‎≥‎‎1‎‎2‎. 当x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎1‎‎2‎时,x‎1‎x‎2‎‎=1‎, 此时不存在x‎1‎,x‎2‎满足条件, ∴ x‎1‎‎+x‎2‎>‎‎1‎‎2‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎∵ g(x)=f(x)+(a-3)x ‎=lnx+x-ax‎2‎+(a-3)x ‎‎=lnx-ax‎2‎+(a-2)x, ∴ g‎'‎‎(x)=‎1‎x-2ax+(a-2)‎ ‎=-‎(ax+1)(2x-1)‎x(x>0)‎. ①若a≥0‎,则当x∈(0,‎1‎‎2‎)‎时,g‎'‎‎(x)>0‎, ∴ 函数g(x)‎在‎(0,‎1‎‎2‎)‎上单调递增; 当x∈(‎1‎‎2‎,+∞)‎时,g‎'‎‎(x)<0‎,函数g(x)‎在‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎上单调递减. ②若a<0‎,g‎'‎‎(x)=-a(x+‎1‎a)(2x-1)‎x(x>0)‎, 当a<-2‎时,易得函数g(x)‎在‎(0,-‎1‎a)‎和‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎上单调递增, 在‎(-‎1‎a,‎1‎‎2‎)‎上单调递减; 当a=-2‎时,g‎'‎‎(x)≥0‎恒成立, ∴ 函数g(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增; 当‎-20)‎, 则φ‎'‎‎(t)=1-‎1‎t=t-1‎t(t>0)‎, 当t∈(0,1)‎时,φ‎'‎‎(t)<0‎, ∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)‎在‎(0,1)‎上单调递减; 当t∈(1,+∞)‎时,φ‎'‎‎(t)>0‎, ∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增. ∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)‎在t=1‎时,取得最小值,最小值为‎1‎. ∴ ‎2(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎+(x‎1‎+x‎2‎)≥1‎, 即‎2(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎+(x‎1‎+x‎2‎)-1≥0‎ ∴ x‎1‎‎+x‎2‎≥‎‎1‎‎2‎或x‎1‎‎+x‎2‎≤-1‎. ∵ x‎1‎,x‎2‎为正实数, ∴ x‎1‎‎+x‎2‎≥‎‎1‎‎2‎. 当x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎1‎‎2‎时,x‎1‎x‎2‎‎=1‎, 此时不存在x‎1‎,x‎2‎满足条件, ∴ x‎1‎‎+x‎2‎>‎‎1‎‎2‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
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