【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷（理工类）3【附详细答案和解析_可编辑】
【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷（理工类）3【附详细答案和解析 可编辑】
真水无香陈 tougao33
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 5 分 ，共计45分 ， ）
1. 已知R是实数集，集合A={-1,0,1},B={x|2x-1≥0}，则A∩(∁RB)=( )
A.{-1,0} B.{1} C.[12,1] D.(-∞,12)
2. 设变量x，y满足约束条件x+2≥0，x-y+3≥0，2x+y-3≤0，则目标函数z=x+6y的最大值为( )
A.3 B.4 C.18 D.40
3. 设a→，b→是非零向量，则“|a→+b→|＝|a→|-|b→|”是“a→ // b→”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a的值为( )
A.32 B.23 C.13 D.-2
5. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60∘的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为( )
A.13 B.213 C.233 D.5
6. 若a=21.1，b=12-0.9,c=log5 4，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.c>b>a B.a>c>b C.a>b>c D.c>a>b
7. 关于函数fx=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①fx是偶函数
②fx在区间π2,π单调递增
③fx在[-π,π]有4个零点
④fx的最大值为2，正确的为（ ）
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
8. 已知函数f(x)=xlnx+ax+3，g(x)=x3-x2，若 ∀x1,x2∈[13,2]，f(x1)-g(x2)≥0，则实数a的取值范围为( )
A.[0, +∞) B.[1, +∞) C.[2, +∞) D.[3, +∞)
9. 已知O是平面内一点，A、B、C是平面内不共线的三点，,动点P满足OP→=OA→+λAB→|AB→|+AC→|AC→|(λ∈[0,+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ， ）
10. 已知复数玄满足|z+2-2i|=1，则z-2-2i的最小值为________（i是虚数单位）.
11. 多项式3xy2-4x3y+12的项________次数是________，三次项系数是________．
12. 若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为12，点P为棱AA1上一点，则四棱锥P-BCC1B1的体积为________.
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13. 直线（t为参数）被圆（θ为参数）所截得的弦长为________．
14. 函数 f(x)=x2+1x2-1(x>1) 的最小值为________.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ， ）
15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a>b，a=5，c=6，sinB=35．
(1)求b和sinA的值；
(2)求sin(2A+π4)的值．
16. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙、乙胜丙的概率都为23，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第3局甲当裁判的概率；
(2)记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望．
17. 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB // CD，AB=4，AA1=2，BC=CD=2，E，F，E1是AA1，AB，AD的中点．
(1)证明：直线EE1 // 平面FCC1；
(2)求直线BF与面FC1C所成角的大小；
(3)求二面角B-FC1-C的平面角的余弦值．
18. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线L:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA⋅kOB=-b2a2，求证：△AOB的面积为定值．
19. 设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1a1+b2a2+…+bnan=1-12n，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．
20. 已知函数 f(x)=ex-lnx-(a-1)x(其中e为自然对数的底数).
(1)若 a=e，求f(x) 的单调区间；
(2)若 a=1 ,求证： f(x)>32+ln32.
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参考答案与试题解析
【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷（理工类）3【附详细答案和解析 可编辑】
一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 5 分 ，共计45分 ）
1.【答案】
A
【解答】
解：∵ B={x|x≥12}，
∴ ∁RB={x|x<12}，A={-1,0,1}，
∴ A∩(∁RB)={-1,0}.
故选A.
2.【答案】
C
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）
由z=x+6y得y=-16x+16z，
平移直线y=-16x+16z，
由图象可知当直线y=-16x+16z经过点A时，直线y=-16x+16z的截距最大，
此时z最大．
由x-y+3=0，2x+y-3=0，解得x=0，y=3，即A(0，3).
将A(0，3)的坐标代入目标函数z=x+6y，
得z=3×6=18．
即z=x+6y的最大值为18．
故选C．
3.【答案】
A
【解答】
由|a→+b→|＝|a→|-|b→|，可得a→与b→共线反向，
由a→ // b→，可得|a→+b→|＝|a→|-|b→|或|a→+b→|＝|a→|+|b→|，
∴ “|a→+b→|＝|a→|-|b→|”是“a→ // b→”的充分而不必要条件．
4.【答案】
C
【解答】
解：当a=-2，n=1时，
则：a=1-1-2=32，
当n=2时，
则：a=1-23=13，
当n=3时，
则：a=1-3=-2，
故关系式的周期为3，
又2018=3×672+2，
故输出a=13．
故选C.
5.【答案】
B
【解答】
解：如图，
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设A(x0,y0)，则|AF|=2x0-p2．
又∵ |AF|=x0+p2，
∴ 2x0-p2=x0+p2，
解得x0=32p，y0=32|AF|=32⋅2p=3p．
又∵ A32p,3p在双曲线的一条渐近线上，
∴ 3p=ba⋅32p，∴ b2=43a2，
由a2+b2=c2，得a2+43a2=c2，∴ c2a2=73，
∴ 双曲线的离心率e=ca=213．
故选B．
6.【答案】
C
【解答】
解：b=12-0.9=20.9，20<20.9<21，
所以1
2.
所以a>b>c.
故选C．
7.【答案】
C
【解答】
∵ x∈R,f-x=sin|-x|+|sin-x|=sin|x|+|sinx|=fx，∴ fx为偶函数，①正确；当x∈π2,π时，fx=sin|x|+|sinx|=2sinx，在区间-π2,π上单调递减，故②错误；当x∈(0,π]时，fx=2sinx，结合fx为偶函数可画出其大致图象，可知fx在[-π,π]上有3个零点，故③错误；根据函数fx的图象可得fx的最大值为2，故④正确．故选C．
8.【答案】
B
【解答】
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解：函数g(x)的导数g'(x)=3x2-2x=x(3x-2)，
∴ 函数g(x)在[13, 23]上递减，则[23, 2]上递增，
g(13)=127-19=-227，g(2)=8-4=4，
若∀x1,x2∈[13,2]，f(x1)-g(x2)≥0成立，
即当13≤x≤2时，f(x)≥4恒成立，
即ax+xlnx≥1恒成立，
即a≥x-x2lnx在13≤x≤2上恒成立，
令h(x)=x-x2lnx，
则h'(x)=1-2xlnx-x，h''(x)=-3-2lnx，
当13≤x≤2时，h''(x)=-3-2lnx<0，
即h'(x)=1-2xlnx-x在13≤x≤2上单调递减，
由于h'(1)=0，
∴ 当13≤x<1时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
当11，所以x2-1>0，
f(x)=x2+1x2-1
=x2-1+1x2-1+1
≥2+1=3，
当且仅当x2-1=1x2-1，即x=2时等号成立.
故答案为：3.
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三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ）
15.【答案】
解：(1)在△ABC中，因为a>b，
故由sinB=35，可得cosB=45．
由已知及余弦定理，
得b2=a2+c2-2accosB=13.
所以b=13．
由正弦定理asinA=bsinB，
得sinA=asinBb=31313．
(2)由(1)及ab，
故由sinB=35，可得cosB=45．
由已知及余弦定理，
得b2=a2+c2-2accosB=13.
所以b=13．
由正弦定理asinA=bsinB，
得sinA=asinBb=31313．
(2)由(1)及a0，得4k2-m2+3>0．
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2⋅4m2-123+4k2+km⋅(-8km3+4k2)+m2=3m2-12k23+4k2．
∵ kOA⋅kOB=-b2a2=-34，
∴ y1y2x1x2=-34，即y1y2=-34x1x2．
∴ 3m2-12k23+4k2=-34⋅4m2-123+4k2，即2m2-4k2=3．
∵ |AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)⋅48(4k2-m2+3)(3+4k2)2
=48(1+k2)(3+4k2)2⋅3+4k22=24(1+k2)3+4k2．
又O点到直线y=kx+m的距离d=|m|1+k2，
∴ S△AOB=12d|AB|=12|m|1+k224(1+k2)3+4k2
=12m21+k2⋅24(1+k2)3+4k2=123+4k22⋅243+4k2=3为定值．
【解答】
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（1）解：由题意得 ca=12c2=a2-b2b=|0-0+6|2⇒a2=4，b2=3．
∴ 椭圆的方程为：x24+y23=1；
（2）证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则A，B的坐标满足x24+y23=1y=kx+m，消去y化简得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0．
x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，
由△>0，得4k2-m2+3>0．
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2⋅4m2-123+4k2+km⋅(-8km3+4k2)+m2=3m2-12k23+4k2．
∵ kOA⋅kOB=-b2a2=-34，
∴ y1y2x1x2=-34，即y1y2=-34x1x2．
∴ 3m2-12k23+4k2=-34⋅4m2-123+4k2，即2m2-4k2=3．
∵ |AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)⋅48(4k2-m2+3)(3+4k2)2
=48(1+k2)(3+4k2)2⋅3+4k22=24(1+k2)3+4k2．
又O点到直线y=kx+m的距离d=|m|1+k2，
∴ S△AOB=12d|AB|=12|m|1+k224(1+k2)3+4k2
=12m21+k2⋅24(1+k2)3+4k2=123+4k22⋅243+4k2=3为定值．
19.【答案】
解：（1）设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∵ a2，a5，a14构成等比数列，
∴ a52=a2a14，即(1+4d)2=(1+d)(1+13d)，
解得d=0（舍去），或d=2．
∴ an=1+(n-1)×2=2n-1．
（2）由已知，b1a1+b2a2+…+bnan=1-12n，n∈N*，
当n=1时，b1a1=12；
当n≥2时，bnan=1-12n-(1-12n-1)=12n．
∴ bnan=12n，n∈N*．
由（1），知an=2n-1，n∈N*，
∴ bn=2n-12n，n∈N*．
又Tn=12+322+523+...+2n-12n，
则12Tn=122+323+...+2n-32n+2n-12n+1．
两式相减，得12Tn=12+(222+223+...+22n)-2n-12n+1=32-12n-1-2n-12n+1，
∴ Tn=3-2n+32n．
【解答】
解：（1）设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∵ a2，a5，a14构成等比数列，
∴ a52=a2a14，即(1+4d)2=(1+d)(1+13d)，
解得d=0（舍去），或d=2．
∴ an=1+(n-1)×2=2n-1．
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（2）由已知，b1a1+b2a2+…+bnan=1-12n，n∈N*，
当n=1时，b1a1=12；
当n≥2时，bnan=1-12n-(1-12n-1)=12n．
∴ bnan=12n，n∈N*．
由（1），知an=2n-1，n∈N*，
∴ bn=2n-12n，n∈N*．
又Tn=12+322+523+...+2n-12n，
则12Tn=122+323+...+2n-32n+2n-12n+1．
两式相减，得12Tn=12+(222+223+...+22n)-2n-12n+1=32-12n-1-2n-12n+1，
∴ Tn=3-2n+32n．
20.【答案】
(1)解：若 a=e，则f(x)=ex-lnx-(e-1)x，
所以f'(x)=ex-1x-e+1(x>0)，
f'(x)在(0,+∞) 上是增函数，且 f'(1)=0，
所以x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)是减函数；
x∈(1,+∞)时，f'(x)>0,f(x)是增函数，
所以f(x)的递减区间为 (0,1) ,递增区间为 (1,+∞).
(2)证明：若a=1,则f(x)=ex-lnx,f'(x)=ex-1x，
f'(x)在(0,+∞) 上是增函数，且 f'(12)=e-2<0，
f'(23)=e23-32=(e2)13-(278)13，
由e2>4>278，可得 f'(23)>0，
所以存在x0∈(12,23) ,使得 f'(x0)=0，即ex0=1x0.
x∈(0,x0)时，f'(x)<0,f(x)是减函数；
x∈(x0,+∞)时，f'(x)>0,f(x) 是增函数，
所以 f(x)≥f(x0)=ex0-lnx0=1x0-lnx0.
设g(x)=1x-lnx(12g(23)=32+ln32，
所以f(x)≥f(x0)>32+ln32.
【解答】
(1)解：若 a=e，则f(x)=ex-lnx-(e-1)x，
所以f'(x)=ex-1x-e+1(x>0)，
f'(x)在(0,+∞) 上是增函数，且 f'(1)=0，
所以x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)是减函数；
x∈(1,+∞)时，f'(x)>0,f(x)是增函数，
所以f(x)的递减区间为 (0,1) ,递增区间为 (1,+∞).
(2)证明：若a=1,则f(x)=ex-lnx,f'(x)=ex-1x，
f'(x)在(0,+∞) 上是增函数，且 f'(12)=e-2<0，
f'(23)=e23-32=(e2)13-(278)13，
由e2>4>278，可得 f'(23)>0，
所以存在x0∈(12,23) ,使得 f'(x0)=0，即ex0=1x0.
x∈(0,x0)时，f'(x)<0,f(x)是减函数；
x∈(x0,+∞)时，f'(x)>0,f(x) 是增函数，
所以 f(x)≥f(x0)=ex0-lnx0=1x0-lnx0.
设g(x)=1x-lnx(12g(23)=32+ln32，
所以f(x)≥f(x0)>32+ln32.
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