【精品试卷】2021届高三数学入学调研试题一理（含解析）

【精品试卷】2021届高三数学入学调研试题一理（含解析）

1 2021 届高三数学入学调研试题（一）理 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．若复数 z 的实部与虚部分别为 1 ， 2 ，则 2z  （ ） A． 3 4i  B． 3 4i  C．3 4i D．3 4i 2．设集合 2{ | 4}A x x  ， { | 2 , }xB y y x   R ，则 A B  （ ） A． ( 2,2) B． (0,2) C． (2, ) D． ( , 2) (2, )   3．若函数 ( ) lg( )f x x a  的图象经过抛物线 2 8y x 的焦点，则 a （ ） A．1 B． 0 C． 1 D． 2 4．已知两个单位向量 a ，b 的夹角为 60 ，则下列向量是单位向量的是（ ） A． a b B． 1 2 a b C． 1 2 a b D． a b 5． ABC△ 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 2B C ，则b  （ ） A． cosc C B． cosc A C． 2 cosc C D． 2 cosc A 6．设 x ， y 满足约束条件 2 6 0 2 x y x y x       ，则 z x y  的取值范围为（ ） A．[ 90, ]2 B．[ 94, ]2 C．[0,4] D．[4, ) 7．设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的两位数，将组成 a 的 2 个数字按从小到大排成的 两位数记为 ( )I a ，按从大到小排成的两位数记为 ( )D a (例如 75a  ，则 ( ) 57I a  ， ( ) 75D a  )， 执行如图所示的程序框图，若输入的 51a  ，则输出的b  （ ） A．30 B．35 C． 40 D． 45 8．已知 2 2 1 1( )1 1 x xf x x    ，则曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程为（ ） A． y x  B． y x C． 2y x D． 2y x  9．sin cos( )6 πx x   （ ） A． 1 1sin(22 4 π)6x   B． 1 1sin(22 4 π)6x   C． 1 1sin(22 2 π)3x   D． 1 3sin(22 4 π)3x   10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩 缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共1200 个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个 小灯的概率为（ ） A． 160 359 B． 289 359 C． 119 1077 D． 958 1077 11．在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 为侧棱 1DD 上一点， 1AB  ， 1 2AA  ，且异面直线 DB 与 1C E 所成角的余弦值为 26 13 ，则 DE  （ ） A． 1 2 B． 2 3 C．1 D． 3 2 12．设 F 是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点，O 为坐标原点过 F 作 C 的一条渐近线的 垂线，垂足为 H ，若 FOH△ 的内切圆与 x 轴切于点 B ，且 2BF OB  ，则C 的离心率为（ ） 2 A． 3 17 4  B． 4 17 4  C． 3 3 17 8  D． 3 3 17 4  第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 6( )3 yx  的展开式中 5x y 的系数为 ． 14．已知函数 ( ) sinf x x ，若 ( ) ( )f a x f a x   ， 0 πa  ，则 a  ． 15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母 线与底面所成角的正切值为 ． 16．已知函数 2 2 (( ) log )f x x a x   是 R 上的奇函数，函数 ( ) | 2 |g x m x a   ，若 ( ) ( )f x g x 对 3[ ,2]4x  恒成立，则 m 的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）设 nS 为数列{ }na 的前 n 项和，已知 3 7a  ， 1 ( 2)n na a d n   ，其中 d 是不为 0 的 常数，且 1a ， 2a ， 6a 成等比数列． （1）求{ }na 的通项公式； （2）若 55mS m ，求 m ． 18．（12 分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图． （1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好； （2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的 活动，中奖率为 0.1，中奖可获得1元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量． ①活动期间，一位顾客买了3罐百事可乐，他恰好获得 2 元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望． 3 19．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知 ( 1,2 )P x y ， ( 1,2 )Q x y ，且 3OP OQ   ，记动点 ( , )M x y 的轨迹为  ． （1）求  的方程； （2）若过点 (1,0)N 的直线l 与  交于 A ， B 两点，且 2BN NA  ，求直线l 的斜率． 20．（12 分）如图，在四面体 ABCD 中，AD AB ，平面 ABD  平面 ABC ， 2 2AB BC AC  ， 且 4AD BC  ． （1）证明： BC  平面 ABD ； （2）设 E 为棱 AC 的中点，当四面体 ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E  的余弦值． 21．（12 分）已知函数 2( ) ( 2)lnf x a x ax x    ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 ( )f x 在 (0, )a 上存在最大值 ( )P a ，证明： 234ln 2 ( ) 42p a a a    ． 4 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 4cos  ，曲线C 与曲线 D 关于极点对称． （1）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线 D 的直角坐标方程； （2）设 P 为曲线 D 上一动点，记 P 到直线 sin 3    与直线 cos 2   的距离分别为 1d ， 2d ， 求 1 2d d 的最小值． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 ( ) | 1| | 2|f x x x    ，且不等式 ( )f x k 的解集为{ | 3 }x x a   ． （1）求 k ， a ； （2）若 m n k  ，证明： ( ) ( ) 12f m f n  ． 2021 届高三入学调研试卷 理 科 数 学（一）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】∵ 1 2iz    ，∴ 2 1 4 4i 3 4iz       ． 2．【答案】B 【解析】∵ ( 2,2)A   ， (0, )B   ，∴ (0,2)A B  ． 3．【答案】C 【解析】抛物线 2 8y x 的焦点坐标为 (2,0) ，则 (2) lg(2 ) 0f a   ，即 2 1a  ， 解得 1a   ． 4．【答案】D 【解析】由平面向量的减法可得 a b 的模为1，则 a b 是单位向量． 5．【答案】C 【解析】∵ 2B C ，∴sin sin 2 2sin cosB C C C  ，∴ 2 cosb c C ． 6．【答案】A 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示， 当直线 z x y  过点 (0,0) 时， z 取得最小值 0 ； 直线 z x y  过点 3( ,3)2 时， z 取得最大值 9 2 ， 故 9[0, ]2z ． 7．【答案】D 【解析】 51a  ， 51 15 36b    ； 36a  ， 63 36 27b    ； 27a  ， 72 27 45b    ， ∵ 45 为5 的倍数，∴输出的 45b  ． 8．【答案】C 【解析】令 1 1 xt x   ，则 1 1 tx t   ， 2 2 2 11 ( ) 21( ) 1 11 ( )1 t ttf t t t t      ， ∵ 2 2 2 2) ) ) (1 1(( tf t t    ，∴ (0) 2f   ， ∵ (0) 0f  ，∴曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程为 2y x ． 9．【答案】B 【解析】 3 1sin cos( ) sin cos( ) sin ( cos sin )6 2 π 6 π 2x x x x x x x      3 1 1 1sin 2 (1 cos2 ) sin(2 )4 2 π 4 6 4x x x      ． 10．【答案】D 【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为 x ， y ， 则 360 2 4 1200 x y x y      ，解得 120 240 x y    ， 若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为 2 120 2 360 9581 7 C C 107   ． 11．【答案】A 【解析】以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D xyz ，如图所示， 则 (0,0,0)D ， (1,1,0)B ， 1(0,1,2)C ，则 (1,1,0)DB  ， 设 (0 2)DE t t   ，则 1 (0, 1, 2)C E t   ， 从而 1 2 1 26, | | | 132 1 ( | s 2) co DB C E t        ， ∵ 0 2t  ，∴ 1 2t  ． 12．【答案】C 【解析】∵ F 到渐近线的距离为| |FH b ，∴ 2 2| |OH c b a   ， 则 FOH△ 的内切圆的半径 2 a b cr   ， 设 FOH△ 的内切圆与 FH 切于点 M ，则| | 2 a b cMH r    ， ∵ 2BF OB  ，∴ 2| | | | 3FM BF c  ，∴ 2| | | | | |3 2 a b cBF MH c FH b      ， 即3 3b a c  ，则 2 2 2 2 2)9 9( 6 9b c a c ac a     ，∴ 24 3 9 0e e   ， ∵ 1e  ，∴ 3 3 17 8e  ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．【答案】 2 【解析】 6( )3 yx  的展开式中 5x y 的系数为 1 6 1C ( ) 23    ． 14．【答案】 π 2 【解析】∵ ( ) ( )f a x f a x   ，∴ ( )f x 的图象关于直线 x a 对称， 又 ( ) sinf x x ，且 0 πa  ，∴ π 2a  ． 15．【答案】 2 【解析】设该圆锥的半径与高分别为 r ， h ，则 3 21 4 1π π2 3 3r r h  ，即 2h r ， 该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 2h r  ． 16．【答案】[7 , )2  【解析】由 2 2 (( ) log )f x x a x   是 R 上的奇函数，得 2(0) log ( ) 0f a  ，则 1a  ， 因为 2 2 2 2 1( ) log 1 ) log 1 (f x x x x x       在 (0, ) 上单调递减， 所以 ( )f x 是 R 上的减函数，作出 ( )f x 与 ( )g x 的图象，如图所示， 由图可知 3 3( ) ( )4 4 (2) (2) f g f g       ，即 2 51 2 log ( 5 2) 3 m m        ，则 7 2m  ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 17．【答案】（1） 3 2na n  ；（2） 37m  ． 【解析】（1）∵ 1 ( 2)n na a d n   ，∴数列{ }na 是公差为 d 的等差数列， ∵ 3 7a  ，∴ 1 7 2a d  ， 2 7a d  ， 6 7 3a d  ， ∵ 1a ， 2a ， 6a 成等比数列，∴ 2(7 2 )(7 3 ) (7 )d d d    ， ∴ 2 3d d ，∴ 3d  或 0d  ， ∵ 0d  ，∴ 3d  ， 7 ( 3) 3 3 2na n n      ． （2）∵ 1( 552 )m m m a aS m  ，∴ 1 110ma a  ，即3 2 109m   ，∴ 37m  ． 18．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为 960 7 ，可口可乐销量的平均数为 940 7 ，百事可乐的 销量更好；（2）① 0.027 ；②570 元． 【解析】（1）百事可乐销量的平均数为 1 100 120 120 140 160 140 180 960 7 7x        ， 可口可乐销量的平均数为 2 80 120 100 140 180 140 180 940 7 7x        ， ∵ 1 2x x ，∴百事可乐的销量更好． （2）①他恰好获得 2 元红包说明他有两次中奖一次未中奖， 故所求的概率为 2 2 3 0.1 (1 0.1C ) 0.027   ． ②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为 (960 940) 3 1900 3 5700     罐， 记连续三周顾客中奖总次数为 X ，则 (5700,0.1)X B ，则 5700 0.1 570EX    ， 故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为570 1 570  元． 19．【答案】（1） 2 2 14 x y  ；（2） 15 6k   ． 【解析】（1）∵ 3OP OQ   ，∴ 2( 1)( 1) 4 3x x y    ，∴ 2 24 4x y  ， 即 2 2 14 x y  ，此即为  的方程． （2）设直线l 的斜率为 k ，则直线l 的方程为 ( 1)y k x  ， 当 0k  时， 3BN NA  或 1 3BN NA  ，不合题意； 当 0k  时，由 2 2 ( 1) 4 4 y k x x y      ，得 2 2 2(1 4 2 0) 3k y ky k    ， 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 1 2 2 2 1 4 ky y k     ， 2 1 2 2 3 1 4 ky y k    ， ∵ 2BN NA  ， 2 2(1 , )BN x y   ， 1 1( )1,NA x y  ， ∴ 2 12y y  ，∴ 1 2 1 2 2 1 4 ky y y k       ， 2 2 1 2 32 1 4 ky k     ， ∵ 1 0y  ，∴ 2 5 12k  ，∴ 15 6k   ． 20．【答案】（1）证明见解析；（2） 30 6 ． 【解析】（1）证明：因为 AD AB ，平面 ABD  平面 ABC ，平面 ABD  平面 ABC AB ， AD  平面 ABD ，∴ AD  平面 ABC ， 因为 BC  平面 ABC ，所以 AD BC ， 因为 2 2AB BC AC  ，所以 2 2 2AB BC AC  ，所以 AB BC ， 因为 AD AB A ，所以 BC  平面 ABD ． （2）设 (0 4)AD x x   ，则 4AB BC x   ， 四面体 ABCD 的体积 2 3 21 1 1( ) (4 ) ( 8 16 )(0 4)3 2 6V f x x x x x x x         ， 21 1( ) (3 16 16) ( 4)(3 4)6 6f x x x x x       ， 当 40 3x  时， ( ) 0f x  ， ( )V f x 单调递增； 当 4 43 x  时， ( ) 0f x  ， ( )V f x 单调递减， 故当 4 3AD x  时，四面体 ABCD 的体积取得最大值， 以 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系 B xyz ， 则 (0,0,0)B ， 8(0, ,0)3A ， 8( ,0,0)3C ， 8 4(0, , )3 3D ， 4 4( , ,0)3 3E ， 设平面 BCD 的法向量为 ( , , )x y zn ，则 0 0 BC BD        n n ，即 8 03 8 4 03 3 x y z      ， 令 2z   ，得 (0,1, 2) n ， 同理，平面 BDE 的法向量为 (1, 1,2) m ， 5 30cos , 65 6      m n ， 由图可知，二面角 C BD E  为锐角，故二面角C BD E  的余弦值为 30 6 ． 21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1） 2 ( 1)(2 2)( ) 2 ( 0)a x x af x a x xx x           ， 当 2a   时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 (0, ) 上单调递减； 当 2a   时，由 ( ) 0f x  ，得 20 2 ax   ， ( )f x 在 ( 20, )2 a  上单调递增； 由 ( ) 0f x  ，得 2 2 ax  ， ( )f x 在 2, )2(a   上单调递减． （2）易知 0a  ，当 0 2a  时， 2 2 a a  ， 由（1）知， ( )f x 在 (0, )a 上单调递增，此时 ( )f x 在 (0, )a 上不存在最大值， 当 2a  时， ( )f x 在 ( 20, )2 a  上单调递增，在 ( 2 , )2 a a 上单调递减， 则 2 2 m x 2 2 ( 2) 2 2 4( ) ( ) ( 2)ln ( ) ( 2)ln2 2 2 2 2 4a a a a a a a af x f a a             ， 故 22 4( ) ( 2)ln ( 2)2 4 a ap a a a     ， 设 22 4( ) ( 2)ln ( 2)2 4 x xg x x x     ， 2( ) 1 ln 2 2 x xg x     ， ∵ 2x  ，∴ ( ) 0g x  ，∴ ( )g x 在 (2, ) 上单调递增， ∴ ( ) (2) 4ln2g x g  ，即 ( ) 4ln2p a  ， ∵ 23 14 (3 4)( 2)2 2a a a a     ，且 2a  ， ∴要证： 23( ) 42p a a a   ，只需证 2 2 3 4ln 2 4 2 a a a    ， 即证 2 5 6ln 02 4 a a   ， 设 2 5 6( ) ln ( 2)2 4 x xh x x    ，则 1 5( ) 02 4h x x     ， 则 ( )h x 在 (2, ) 上单调递减，从而 ( ) (2) ln2 1 0h x h    ，即 2 5 6ln 02 4 a a   ， 则 23( ) 42p a a a   ，从而 234ln 2 ( ) 42p a a a    ． 22．【答案】（1） 2 2( 2) 4x y   ；（2） 7 2 2 ． 【解析】（1）∵ 4cos  ，∴ 2 4 cos   ，∴ 2 2 4x y x  ，即 2 2( 2) 4x y   ， ∴曲线 D 的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y   ． （2）由（1）可设 ( 2 2cos ,2sin )P    ， [0,2π)  ， 直线 sin 3    与直线 cos 2   的直角坐标方程分别为 3y   ， 2x  ， 从而 1 2sin 3d   ， 2 2 ( 2 2cos ) 4 2cosd        ， 1 2 2sin 3 4 2cos 7 2 2 sin )π( 4d d           ， 故 1 2d d 的最小值为 7 2 2 ． 23．【答案】（1） 5k  ， 2a  ；（2）证明见解析． 【解析】（1）当 2x   时，由 ( ) 2 1f x x k    ，得 1 2 kx   ， 因为不等式 ( )f x k 的解集为{ | 3 }x x a   ，所以 1 32 k    ，解得 5k  ， 当 1x  时，由 ( ) 2 1 5f x x   ，得 2x  ，所以 2a  ， 经检验 5k  ， 2a  满足题意． （2）证明：因为| 1| | 2| | 1 2| | 2 1|m m m m m         ，所以 ( ) | 2 1|f m m  ， 同理 ( ) | 2 1|f n n  ， 因为 5m n k   ， 所以 ( ) ( ) | 2 1| | 2 1| | 2 1 2 1| | 2( ) 2| 12f m f n m n m n m n             ．