数学·甘肃省白银市会宁三中2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

数学·甘肃省白银市会宁三中2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

‎2016-2017学年甘肃省白银市会宁三中高三（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．‎ ‎1．已知集合M={s|s=++}，那么集合M的子集个数为（　　）‎ A．2个 B．4个 C．8个 D．16个 ‎2．设函数f（x）=的定义域为M，函数g（x）=lg（1+x）的定义域为N，则（　　）‎ A．M∩N=（﹣1，1] B．M∩N=R C．∁RM=[1，+∞） D．∁RN=（﹣∞，﹣1）‎ ‎3．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e ‎5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若是角θ终边上的一点，且，则m的值为（　　）‎ A． B．6 C．或 D．﹣6或6‎ ‎6．已知函数f（x）=sinx+cosx在x0处取得最大值，则x0可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“∀x∈R，ex＞0”的否定是“∃x∈R，ex＞0”‎ B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题 C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”24‎ D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题Z ‎8．“2a＞2b”是“”的（　　）n A．充分不必要条件 B．必要不充分条件r C．充要条件 D．既不充分也不必要条件H ‎9．若函数y=g（x）与函数f（x）=2x的图象关于直线y=x对称，则g（）的值为（　　）O A． B．1 C． D．﹣1b ‎10．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（　　）0‎ A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）G ‎11．已知函数y=f（x）的定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=（lg3）f（lg3），c=（log2）f（log2），则（　　）z A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞bC ‎12．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　）P A． B． C． D．u ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）．1‎ ‎13．函数y=3sin（﹣2x）的单调增区间是　　．C ‎14．设点P是曲线y=x3﹣x+上的任意一点，点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为　　．/‎ ‎15．由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为　　．O ‎16．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值．设f（x）=min{2x﹣1， }（x＞0），则f（x）的最大值为　　．T ‎17．已知函数f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为　　．7‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）A ‎18．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．O ‎（Ⅰ）求的值；j ‎（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．w ‎19．已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．=‎ ‎20．设p：不等式x2+（m﹣1）x+1＞0的解集为R；q：∀x∈（0，+∞），m≤x+恒成立．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．=‎ ‎21．已知函数f（x）=x3+bx2+cx﹣1当x=﹣2时有极值，且在x=﹣1处的切线的斜率为﹣3．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．‎ ‎22．已知函数f（x）=﹣﹣ax（a∈R）．‎ ‎（1）当a=时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．‎ ‎23．已知函数f（x）=﹣x2+alnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣2x+2x2，讨论函数g（x）的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若（Ⅱ）中函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省白银市会宁三中高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析6558764‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．‎ ‎1．已知集合M={s|s=++}，那么集合M的子集个数为（　　）‎ A．2个 B．4个 C．8个 D．16个 ‎【考点】集合中元素个数的最值．‎ ‎【分析】分类讨论，确定M的元素的个数，即可求出集合M的子集个数．‎ ‎【解答】解：由题意，x在第一象限，s=1+1+1=3；‎ x在第二象限，s=1﹣1﹣1=﹣1；‎ x在第三象限，s=﹣1﹣1+1=﹣1；‎ x在第四象限，s=﹣1+1﹣1=﹣1，‎ ‎∴M={3，﹣1}，‎ ‎∴集合M的子集个数为22=4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．设函数f（x）=的定义域为M，函数g（x）=lg（1+x）的定义域为N，则（　　）‎ A．M∩N=（﹣1，1] B．M∩N=R C．∁RM=[1，+∞） D．∁RN=（﹣∞，﹣1）‎ ‎【考点】对数函数的定义域．‎ ‎【分析】求对数函数的定义域，可得M、N，再利用集合间的运算法则得出结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=的定义域为M，函数g（x）=lg（1+x）的定义域为N，‎ ‎∴M={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，N={x|1+x＞0}={x|x＞﹣1}，‎ ‎∴∁RM=[1，+∞），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】扇形面积公式；弧长公式．‎ ‎【分析】先根据扇形面积公式S=lr，求出r=2，再根据求出α．‎ ‎【解答】解：设扇形的半径为r，中心角为α，根据扇形面积公式S=lr得6=，‎ ‎∴r=2，‎ 又扇形弧长公式l=r•α，‎ ‎∴．‎ 故选C ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　）‎ A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e ‎【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．‎ ‎【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）‎ ‎∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，‎ 解得f′（1）=﹣1，‎ 故选B；‎ ‎　‎ ‎5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若是角θ终边上的一点，且，则m的值为（　　）‎ A． B．6 C．或 D．﹣6或6‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】根据三角函数的定义，可得sinθ（r表示点P到原点的距离），结合是角θ中边上的一点，且构造出一个关于m的方程，解方程即可求出m值．‎ ‎【解答】解：是角θ终边上的一点，角θ终边在第二象限，所以m＞0．‎ 则点P到原点的距离r=．‎ 则sinθ==，则m=‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数f（x）=sinx+cosx在x0处取得最大值，则x0可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】先利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图象与性质，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=sin（x+），‎ ‎∴当x+=+2kπ，即x=+2kπ（k∈Z）时，函数取得最大值．‎ ‎∵函数f（x）=sinx+cosx在x0处取得最大值，‎ ‎∴x0可能是．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“∀x∈R，ex＞0”的否定是“∃x∈R，ex＞0”‎ B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题 C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”‎ D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；‎ B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；‎ C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”；‎ D、写出原命题的逆命题再判定真假．‎ ‎【解答】A、“∀x∈R，ex＞0”的否定是“∃x0∈R，ex≤0”；∴命题错误；‎ B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；‎ C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；‎ D、“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x﹣1有一个零点时，‎ a=﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a=﹣1或a=0；∴命题错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．“2a＞2b”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】结合指数不等式和分式不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：由2a＞2b，得a＞b，‎ 由，得，即ab（b﹣a）＜0，‎ 所以“2a＞2b”是“”的既不充分也不必要条件．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．若函数y=g（x）与函数f（x）=2x的图象关于直线y=x对称，则g（）的值为（　　）‎ A． B．1 C． D．﹣1‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【分析】由已知得g（x）=log2x，由此能求出g（）．‎ ‎【解答】解：∵函数y=g（x）与函数f（x）=2x的图象关于直线y=x对称，6558764‎ ‎∴g（x）=log2x，‎ ‎∴g（）=log2=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（　　）‎ A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，‎ ‎∴f（2）f（3）＜0，‎ 在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，‎ 故选：B ‎　6558764‎ ‎11．已知函数y=f（x）的定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=（lg3）f（lg3），c=（log2）f（log2），则（　　）‎ A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b ‎【考点】抽象函数及其应用；对数值大小的比较；导数的几何意义．‎ ‎【分析】设F（x）=xf（x），根据题意得F（x）是偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数，由此比较、lg3和2的大小，结合函数的性质，不难得到本题的答案．‎ ‎【解答】解：设F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），‎ ‎∵当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x），且f（﹣x）=﹣f（x）‎ ‎∴当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0‎ 由此可得F（x）=xf（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，‎ ‎∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，‎ ‎∴F（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，在区间（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函数．‎ ‎∵0＜lg3＜lg10=1，∈（1，2）‎ ‎∴F（2）＞F（）＞F（lg3）‎ ‎∵=﹣2，从而F（）=F（﹣2）=F（2）‎ ‎∴F（）＞F（）＞F（lg3）‎ 即＞＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b 故答案为：A ‎　‎ ‎12．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，‎ ‎∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，‎ 故函数为偶函数，‎ 当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B； ‎ 当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，‎ ‎∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，‎ 故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，‎ 故选：D ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）．‎ ‎13．函数y=3sin（﹣2x）的单调增区间是　[kπ+（k∈Z）　．‎ ‎【考点】复合三角函数的单调性．‎ ‎【分析】由诱导公式和复合三角函数的单调性可得：原函数的单调递增区间即为函数y=3sin（2x﹣）的单调递减区间，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得答案．‎ ‎【解答】解：由诱导公式原三角函数可化为y=﹣3sin（2x﹣），‎ ‎∴原函数的单调递增区间即为函数y=3sin（2x﹣）的单调递减区间，‎ 由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，‎ ‎∴所求函数的单调递增区间为：[kπ+（k∈Z）‎ 故答案为：[kπ+（k∈Z）．‎ ‎　‎ ‎14．设点P是曲线y=x3﹣x+上的任意一点，点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为　[0°，90°]∪[120°，180°）　．‎ ‎【考点】简单复合函数的导数；直线的倾斜角．‎ ‎【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案．‎ ‎【解答】解：设点P是曲线上的任意一点，‎ ‎∵∴y'=3x2﹣‎ ‎∴点P处的切线的斜率k=3x2﹣‎ ‎∴k ‎∴切线的倾斜角α的范围为：[0°，90°]∪[120°，180°）‎ 故答案为：[0°，90°]∪[120°，180°）‎ ‎　‎ ‎15．由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为　　．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】根据余弦函数的对称性，用定积分表示出封闭图形的面积，再进行计算即可．‎ ‎【解答】解：根据余弦函数的对称性可得，直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为 ‎2=2sinx=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值．设f（x）=min{2x﹣1， }（x＞0），则f（x）的最大值为　1　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】利用新定义，化简函数，分别确定函数的值域，即可求得f（x）的最大值．‎ ‎【解答】解：由题意，‎ ‎∵0＜x≤1时，2x﹣1∈（﹣1，1]；x＞1时，∈（0，1）‎ ‎∴f（x）的最大值为1‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎17．已知函数f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为　13　．‎ ‎【考点】对数函数的值域与最值．‎ ‎【分析】根据f（x）的定义域为[1，9]先求出y=[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2﹣3的最大值．‎ ‎【解答】解：由f（x）的定义域为[1，9]可得y=[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，‎ 又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2﹣3，‎ ‎∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．‎ ‎∴当x=3时，g（x）有最大值13．‎ 故答案为：13‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎18．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．‎ ‎【考点】三角函数的最值；二倍角的余弦．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；‎ ‎（Ⅱ）利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1﹣cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x﹣1，得到f（x）是关于cosx的二次函数，利用配方法把f（x）变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） =；‎ ‎（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx ‎=3cos2x﹣4cosx﹣1‎ ‎=，‎ 因为cosx∈[﹣1，1]，‎ 所以当cosx=﹣1时，f（x）取最大值6；当时，取最小值﹣．‎ ‎　‎ ‎19．已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】集合关系中的参数取值问题．‎ ‎【分析】分别解出集合A，B，根据A∪B=A，可得B⊆A，从而进行求解；‎ ‎【解答】解：∵A∪B=A，∴B⊆A 又A={﹣2≤x≤5}，‎ 当B=∅时，由m+1＞2m﹣1，解得m＜2，‎ 当B≠∅时，则解得2≤m≤3，‎ 综上所述，实数m的取值范围（﹣∞，3]．‎ ‎　‎ ‎20．设p：不等式x2+（m﹣1）x+1＞0的解集为R；q：∀x∈（0，+∞），m≤x+恒成立．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据不等式的性质分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：若p为真：判别式△＜0，则（m﹣1）2﹣4＜0，所以：﹣1＜m＜3‎ 若q为真：：∀x∈（0，+∞），x+≥2，当且仅当x=1时取“=”所以：m≤2．‎ ‎（1）当p为真q为假时：2＜m＜3‎ ‎（2）当q为真p为假时：m≤﹣1‎ 综上所述：m≤﹣1或2＜m＜3‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x3+bx2+cx﹣1当x=﹣2时有极值，且在x=﹣1处的切线的斜率为﹣3．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）根据函数f（x）在x=﹣2处有极值，且在x=﹣1处切线斜率为﹣3，列出方程组；‎ ‎（2）利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值与最小值；‎ ‎【解答】（1）f'（x）=3x2+2bx+c 依题意得 解得：‎ ‎∴函数f（x）的解析式为f（x）=x3+3x2﹣1．‎ ‎（2）由（1）知f'（x）=3x2+6x．令f'（x）=0，‎ 解得x1=﹣2，x2=0‎ 列表：‎ x ‎﹣1‎ ‎（﹣1，0）‎ ‎0‎ ‎（0，2）‎ ‎2‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎﹣1‎ ‎19‎ 从上表可知，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值是19，最小值是﹣1．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=﹣﹣ax（a∈R）．‎ ‎（1）当a=时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先求导，再根据导数求出函数的单调区间；‎ ‎（2）需要分两类，函数f（x）在[﹣1，1]上为单调减函数和函数f（x）在[﹣1，1]上为单调增函数，然后分离参数，根据函数的最值，求出范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=﹣﹣x，‎ ‎∴f′（x）=+﹣==，‎ 令f′（x）=0，解得x=0．或x=ln2，‎ 当f′（x）＞0时，即x＜0，或x＞ln2，故函数f（x）单调递增，‎ 当f′（x）＜0时，即0＜x＜ln2，故函数f（x）单调递减，‎ 所以函数f（x）单调增区间为（﹣∞．0）∪（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）‎ ‎（2）∵f′（x）=+﹣a，‎ ‎①若函数f（x）在[﹣1，1]上为单调减函数，‎ ‎∴f′（x）=+﹣a≤0，在[﹣1，1]恒成立，‎ 即a≥+‎ 令g（x）=+，‎ 则g′（x）=﹣=，‎ ‎ 当x∈[﹣1，ln），g（x）单调递减，x∈（ln，1]单调递增，‎ 又因为g（1）=，g（﹣1）=，‎ g（1）＜g（﹣1），‎ 故g（x）max=g（﹣1）=，‎ 故a≥，‎ ‎②若函数f（x）在[﹣1，1]上为单调增函数，6558764‎ ‎∴f′（x）=+﹣a＞0，在[﹣1，1]恒成立，‎ 即a＜+‎ 令h（x）=+，‎ 则h′（x）=﹣=，‎ ‎ 当x∈[﹣1，ln），g（x）单调递减，x∈（ln，1]单调递增，‎ 故当x=ln，h（x）有最小值，最小值为h（x）min=h（ln）=‎ 故a≤，‎ 综上所述实数a的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=﹣x2+alnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣2x+2x2，讨论函数g（x）的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若（Ⅱ）中函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求出g（x）的导数，分类讨论，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；‎ ‎（Ⅲ）不等式g（x1）≥mx2恒成立即为≥m，求得=1﹣x1++2x1lnx1，令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为当a=2时，f（x）=﹣x2+2lnx，‎ 所以f′（x）=﹣2x+．‎ 因为f（1）=﹣1，f'（1）=0，‎ 所以切线方程为y=﹣1；‎ ‎（Ⅱ）g（x）=x2﹣2x+alnx的导数为g′（x）=2x﹣2+=，‎ a≤0，单调递增区间是（，+∞）；单调递减区间是（0，）；‎ ‎0＜a＜，单调递增区间是（0，），（，+∞）；‎ 单调递减区间是（，）；‎ a≥，g（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；‎ ‎（Ⅲ）由（II）函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），‎ ‎0＜a＜，x1+x2=1，0＜x1＜，＜x2＜1‎ ‎=1﹣x1++2x1lnx1，‎ 令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），h′（x）=+2lnx，‎ 由0＜x＜，则＜0，‎ 又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，）递减，‎ 即有h（x）＞h（）=﹣﹣ln2，即m≤﹣﹣ln2，‎ 即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣﹣ln2]．‎ ‎　‎ ‎2016年11月14日