【数学】2021届一轮复习人教A版(文)第九章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系学案
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、知识梳理
1.直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),
圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d
0
相切
d=r
Δ=0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0).
方法
位置关系
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1+r2
无解
外切
d=r1+r2
一组实数解
相交
|r1-r2|1,
即>1,解得k∈(-,).
【答案】 (1)B (2)k∈(-,)
【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a,b)在圆O:x2+y2=1上”,则直线ax+by=1与圆O的位置关系如何?
解:由点M在圆上,得a2+b2=1,
所以圆心O到直线ax+by=1的距离d==1,
则直线与圆O相切.
判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.
(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断.
①如果Δ<0,那么直线与圆相离;②如果Δ=0,那么直线与圆相切;③如果Δ>0,那么直线与圆相交.
(2020·陕西四校联考)直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定,与a,b取值有关
解析:选B.将圆的方程化为标准方程得+=,所以圆心坐标为,半径r=.因为圆心到直线ax-by=0的距离d===r,所以直线与圆相切.故选B.
切线与圆的综合问题(多维探究)
角度一 圆的切线问题
(1)2020·宁夏银川一中一模)与3x+4y=0垂直,且与圆(x-1)2+y2=4相切的一条直线是( )
A.4x-3y=6 B.4x-3y=-6
C.4x+3y=6 D.4x+3y=-6
(2)(一题多解)(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m= ,r= .
【解析】 (1)设与直线3x+4y=0垂直的直线方程为l:4x-3y+m=0,
直线l与圆(x-1)2+y2=4相切,则圆心(1,0)到直线l的距离为半径2,即=2,
所以m=6或m=-14,所以4x-3y+6=0,或4x-3y-14=0,结合选项可知B正确,
故选B.
(2)法一:设过点A(-2,-1)且与直线2x-y+3=0垂直的直线方程为l:x+2y+t=0,所以-2-2+t=0,所以t=4,所以l:x+2y+4=0.令x=0,得m=-2,则r==.
法二:因为直线2x-y+3=0与以点(0,m)为圆心的圆相切,且切点为A(-2,-1),所以×2=-1,所以m=-2,r==.
【答案】 (1)B (2)-2
圆的切线方程的求法
(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k;
(2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.
[注意] 求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k,则说明另一条切线的斜率一定不存在,此时另一条切线的方程为x=x0).
角度二 圆的弦长问题
(1)(一题多解)(2020·安徽合肥调研)已知直线l:x+y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)相交所得的弦长为2,则圆C的半径r=( )
A. B.2
C.2 D.4
(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=x,l2:y=kx-1,若l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,则k的值为( )
A. B.1
C. D.
【解析】 (1)法一:圆C的圆心为(2,1),圆心到直线l的距离d==,又弦长为2,所以2=2,所以r=2,故选B.
法二:联立得整理得2x2-12x+20-r2=0,设直线与圆的两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=6,x1·x2=,所以|AB|=|x1-x2|=×=×=2,解得r=2.
(2)圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径为2,圆心到直线l1:y=x的距离d1==,
所以l1被圆C所截得的弦长为2=2.圆心到直线l2的距离d2=,
所以l2被圆C所截得的弦长为4=2,
所以d2=0.
所以2k-1=0,解得k=,故选C.
【答案】 (1)B (2)C
求直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法:用圆的几何性质求解,运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2;
(2)代数法:联立直线与圆的方程得方程组,消去一个未知数得一元二次方程,再利用根与系数的关系结合弦长公式求解,其公式为|AB|=|x1-x2|.
1.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+=0或2x-y-=0
解析:选A.设直线方程为2x+y+c=0,由直线与圆相切,得d==,c=±5,所以所求方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.
2.(2020·河北石家庄质检)已知a∈R且为常数,圆C:x2+2x+y2-2ay=0,过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A,B两点.当∠ACB最小时,直线l的方程为2x-y=0,则a的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:选B.圆的方程配方,得(x+1)2+(y-a)2=1+a2,圆心为C(-1,a),当弦AB最短时,∠ACB最小,此时圆心C与定点(1,2)的连线和直线2x-y=0垂直,所以×2=-1,解得a=3.
3.(2020·山东枣庄期末改编)若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0中弦AB的中点,则弦AB所在直线的方程为 ,|AB|= .
解析:圆x2+y2-6x=0的标准方程为(x-3)2+y2=9.又因为点P(1,1)为圆中弦AB的中点,所以圆心与点P所在直线的斜率为=-,故弦AB所在直线的斜率为2,所以直线AB的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.圆心(3,0)与点P(1,1)之间的距离d=,圆的半径r=3,则|AB|=2=4.
答案:2x-y-1=0 4
圆与圆的位置关系(师生共研)
(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
(2)两圆C1:x2+y2+4x+y+1=0,C2:x2+y2+2x+2y+1=0相交于A,B两点,则|AB|= .
【解析】 (1)由题意得圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=,所以2=2,解得a=2,圆M,圆N的圆心距|MN|=,小于两圆半径之和3,大于两圆半径之差1,故两圆相交.
(2)由(x2+y2+4x+y+1)-(x2+y2+2x+2y+1)=0得弦AB所在直线方程为2x-y=0.
圆C2的方程为(x+1)2+(y+1)2=1,
圆心C2(-1,-1),半径r2=1.
圆心C2到直线AB的距离
d== .
所以|AB|=2=2=.
【答案】 (1)B (2)
(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
①确定两圆的圆心坐标和半径;
②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d,并求r1+r2,|r1-r2|;
③比较d,r1+r2,|r1-r2|的大小,然后写出结论.
(2)两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长,先求出公共弦所在直线的方程,在其中一个圆中,由弦心距d,半弦长
,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.
1.圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则m的值为( )
A.2 B.-5
C.2或-5 D.不确定
解析:选C.由圆心C1(m,-2),r1=3;圆心C2(-1,m),r2=2;
则两圆心之间的距离为|C1C2|==2+3=5,
解得m=2或-5.故选C.
2.(2020·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C过点A(0,-8),且与圆x2+y2-6x-6y=0相切于原点,则圆C的方程为 ,圆C被x轴截得的弦长为 .
解析:将已知圆化为标准式得(x-3)2+(y-3)2=18,圆心为(3,3),半径为3.由于两个圆相切于原点,连心线过切点,故圆C的圆心在直线y=x上.由于圆C过点(0,0),(0,-8),所以圆心又在直线y=-4上.联立y=x和y=-4,得圆心C的坐标(-4,-4).又因为点(-4,-4)到原点的距离为4,所以圆C的方程为(x+4)2+(y+4)2=32,即x2+y2+8x+8y=0.圆心C到x轴距离为4,则圆C被x轴截得的弦长为2×=8.
答案:x2+y2+8x+8y=0 8
核心素养系列17 直观想象——解决直线与圆的综合问题
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.
已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为( )
A.5 B.10
C.15 D.20
【解析】 由已知,圆心为O(0,0),半径为2.
设圆心O到AC,BD的距离分别为d1,d2,作OE⊥AC,OF⊥BD,垂足分别为E,F,则四边形OEMF为矩形,连接OM,则d+d=OM2=3.又|AC|=2,|BD|=2,
所以S四边形ABCD=|AC|·|BD|=2·≤(4-d)+(4-d)=8-(d+d)=5,当且仅当d1=d2时取等号,即四边形ABCD的面积的最大值为5.
【答案】 A
直线与圆综合问题的求法
(1)圆与直线l相切的情形
圆心到l的距离等于半径,圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形
①圆心到l的距离小于半径,过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦.
②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦.
③过圆内一点的所有弦中,最短的是垂直于过这点的直径的那条弦,最长的是过这点的直径.
1.(2020·聊城模拟)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选C.因为圆心到直线的距离为=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为1的点有3个.
2.P在直线l:x+y=2上,过P作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则四边形OAPB面积的最小值为 .
解析:连接OP,OA,OB,
则S四边形OAPB=|OA|·|PA|=|OA|·=.
而|OP|的最小值为|OP|min==,
所以(S四边形OAPB)min=1.
答案:1
[基础题组练]
1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.外切 D.内切
解析:选B.圆O1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1,圆O2的圆心坐标为(0,2),半径长r2=2,所以两圆的圆心距d=,而r2-r1=1,r1+r2=3,则有r2-r10,x,y∈R,p:“|x|+≤1”,q:“x2+y2≤r2”,若p是q的必要不充分条件,则实数r的取值范围是( )
A. B.(0,1]
C. D.[2,+∞)
解析:选A.如图,“|x|+≤1”表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部,“x2+y2≤r2”表示圆及其内部,易知圆心O(0,0)到直线AD:2x+y-2=0的距离d==,由p是q的必要不充分条件,得0
查看更多