2018-2019学年安徽省阜阳三中高二上学期第一次调研考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年安徽省阜阳三中高二上学期第一次调研考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 安徽省阜阳三中2018-2019学年高二上学期第一次调研考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．在中，若，则等于（ ）‎ A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理化简已知的等式，根据B为三角形的内角，得到sinB不为0，在等式两边同时除以sinB，得到sinA的值，然后再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．‎ ‎【详解】‎ 根据正弦定理 ， 化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB， ∵sinB≠0，在等式两边同时除以sinB得 ， 又A为三角形的内角， 则A=30°或150°． 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时在求值时注意三角形内角的范围．‎ ‎2．在中，，,,则（ ）‎ A． B． 3 C． D． 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，故由余弦定理得.‎ 考点：解三角形，正余弦定理．‎ ‎3．在数列中，对所有的正整数都成立，且，则等于(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列{an}中，对所有的正整数n都成立，令n=5得，把代入即可解得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵数列{an}中，对所有的正整数n都成立，令n=5得，， ∵，∴，解得a5=1． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求数列中的项，正确理解数列的递推公式和递推关系是解题的关键．‎ ‎4．在等比数列中，，，则等于(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公比为q，由等比数列的通项公式可得 a5=a1q4，由此求出q2的值，再由 a3=a1 q2 求得结果．‎ ‎【详解】‎ 设公比为q，由等比数列的通项公式可得 a5=a1q4，即 9=1•q4，解得 q2‎ ‎=3，∴a3=a1 q2=3， 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．‎ ‎5．设等差数列的前项和为，若，，则（　　）‎ A． 63 B． 45 C． 36 D． 27‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为是等差数列，所以成等差数列，又，所以.故选B．‎ 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和．‎ ‎6．已知为等比数列, ,,则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： ，由等比数列性质可知 考点：等比数列性质 视频 ‎7．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：利用余弦定理求出正方形面积 ‎；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案为A.‎ 考点：余弦定理和三角形面积的求解.‎ ‎【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积，最后得到答案.‎ ‎8．已知是等比数列，，则=（ ）‎ A． 16（） B． 6（） C． （） D． （）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列，由此能出a1a2+a2a3+…+anan+1．‎ ‎【详解】‎ ‎：∵等比数列{an}中，， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∴{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列，‎ ‎ ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列有前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎9．在中，若，则这三角形一定是（ ）‎ A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰直角三角形 D． 等腰或直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），代入已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用多项式乘以多项式法则计算，整理后利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简后，得到B+C=90°，即可确定出三角形的形状．‎ ‎【详解】‎ sinA（cosB+cosC）=sinB+sinC， 变形得：sin（B+C）（cosB+cosC）=sinB+sinC， 即（sinBcosC+cosBsinC）（cosB+cosC）=sinB+sinC， 展开得：sinBcosBcosC+sinCcos2B+sinBcos2C+sinCcosCcosB=sinB+sinC， sinBcosBcosC+sinCcosCcosB=sinB（1-cos2C）+sinC（1-cos2B）， cosBcosC（sinB+sinC）=sinBsin2C+sinCsin2B，即cosBcosC（sinB+sinC）=sinBsinC（sinB+sinC）， ∵sinB+sinC≠0， ∴cosBcosC=sinBsinC， 整理得：cosBcosC-sinBsinC=0，即cos（B+C）=0， ∴B+C=90°， 则△ABC为直角三角形． 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．‎ ‎10．若为钝角三角形，其中角为钝角，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，结合正弦定理分析可得 ，分析A的范围，可得tanA的范围，进而代入上式中计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，△ABC为钝角三角形， ， 由正弦定理，，又由C为钝角，且， 则 ，则 ， 则有，‎ 则的取值范围是（2，+∞）； 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的恒等变形，关键是对的变形．‎ ‎11．等差数列中，，且，为其前项和，则（ ）‎ A． 小于0，大于0 B． 小于0，大于0‎ C． 小于0，大于0 D． 小于0，大于0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得：由等差数列的性质可得 ‎ ．即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：因为a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|， 所以由等差数列的性质可得：． 故选C：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，掌握等差数列的前n项和公式．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎12．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差＝( )‎ A． －2 B． － C． D． 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得 ，即 ， 解得d=-， 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．‎ ‎13．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列， ∴（a1+4）2=a1（a1+6）， ∴a1=-8， ‎ ‎∴a2=-6． 故答案为-6.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，属基础题.．‎ ‎14．已知的一个内角为，并且三边长成公差为4的等差数列，则的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设三角形的三边分别为x-4，x，x+4，则，‎ 化简得：x-16=4-x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14‎ 则△ABC的面积S=×6×10sin120°=‎ 考点：1.数列的应用；2.正弦定理 ‎15．若数列的通项公式，则数列的前项的和=________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题= lgn - lg（n+1），（n∈N*），利用“累加求和”即可得出数列{bn}的前99项和T99．‎ ‎【详解】‎ 由题= lgn - lg（n+1），（n∈N*），‎ 则数列{bn}的前99项和T99=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+…+（lg99-lg100）=lg1-lg100=-2．‎ 即答案为-2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了 “累加求和”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16．在中，已知的平分线交于．若，，，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在中,由余弦定理得,即,由角平分线定理得,设,则,在中运用余弦定理得,解之得,又,所以.‎ 考点：角平分线定理和余弦定理的运用．‎ ‎【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的面积问题.求解本题的关键是如何求一个角和夹这个角的两边的长.为此先在中运用余弦定理求出,再由角平分线定理求出,最后在中运用余弦定理求得,也就是求出,这也是解答好本题的突破口.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知正项数列的前项和为，是与的等比中项,求数列的通项公式.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是与的等比中项，可得 ‎ ‎，两式相减把已知条件转化为an-an-1=2，从而可求数列{an}的通项公式．‎ ‎【详解】‎ 由是与(an＋1)2的等比中项，得Sn＝(an＋1)2.‎ 当n＝1时，a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1.‎ 当n≥2时，Sn－1＝ (an－1＋1)2，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝ (a－a＋2an－2an－1)，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.‎ ‎∵an>0，∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2.∴数列{an}是等差数列．　数列{an}首项a1＝1，公差d＝2，‎ 通项公式为an＝2n－1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，属基础题.‎ ‎18．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出sinC，再利用正弦定理，求sinA的值； （2）先求cosB，再利用余弦定理求b．即可得到的值 ‎【详解】‎ ‎：（1）∵，∴ ， ∵，， ‎ ‎∴由正弦定理可得 ； （2） ， ∵，，， ∴ ‎ 则=.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，向量的数量积，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎19．已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列．‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)求.‎ ‎【答案】(1)（1）Sn＝－3n2＋28n ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列{an}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，a112＝a1a1，再利用等差数列的通项公式可得(a1+10d)2＝a1(a1+12d)，化为d（2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式an； （2）由（1）可得a3n-2=-2（3n-2）+27=-6n+31，可知此数列是以25为首项，-6为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n-2．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设{an}的公差为d.由题意，a112＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．‎ 于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.‎ ‎(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．‎ 从而Sn＝ (a1＋a3n－2)＝ (－6n＋56)＝－3n2＋28n.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，属中档题.‎ ‎20．已知函数的最小正周期为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）中，角的对边分别为，，，的面积，求.‎ ‎【答案】(1)(2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简 ，根据函数的最小正周期即可求出的值 ‎2）由（1）知，.由，求得，再根据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ 故函数的最小正周期，解得. ‎ ‎（2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面积，解得.由余弦定理可得 ，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．‎ ‎21．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足 ‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． （2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎． 数列的前n项和，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎22．在中，角，，所对的边分别为，，，满足：①的外心在三角形内部（不包括边）；②.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求代数式的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意利用余弦定理有，代入②式整理可得,结合特殊角的三角函数可得.‎ ‎(2)由题意结合正弦定理和(1)中的结论可得，结合锐角三角形的性质可得,结合三角函数的性质可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为的外心在三角形内部（不包括边），所以为锐角三角形，‎ 由余弦定理得：，‎ 移项：，‎ 代入可得 ，‎ 所以，即,‎ 因为为锐角三角形，所以，则有，所以.‎ ‎（2）由正弦定理得：,‎ 因为，且，‎ 所以代入上式化简得：‎ ‎，‎ 又为锐角三角形，则有,‎ 所以，则有，即.‎