数学卷·2018届重庆市南川中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届重庆市南川中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年重庆市南川中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题：“∀x≥0，x2≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x＜0，x2＜0 B．∀x≥0，x2＜0 C．∃x＜0，x2＜0 D．∃x≥0，x2＜0‎ ‎3．若p是假命题，q是假命题，则（　　）‎ A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．￢p是假命题 D．￢q是假命题 ‎4．已知两平行直线3x﹣4y+1=0和3x﹣4y﹣4=0，则两直线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．若三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，则m的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．±1 D．2‎ ‎6．已知命题p：x=1且y=1，命题q：x+y=2，则命题p是命题q的（　　）条件．‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 ‎8．若已知A（1，1，1），B（﹣3，﹣3，﹣3），则线段AB的长为（　　）‎ A．4 B．2 C．4 D．3‎ ‎9．已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎10．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的体积为（　　）　‎ A．36π B．34π C．32π D．30π ‎11．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎12．已知圆M：（x+）2+y2=36，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足=2， •=0，则点G的轨迹方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）‎ ‎13．命题“若x2＜2，则”的逆否命题是　　．‎ ‎14．已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为　　．‎ ‎15．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA=2，底面的边AC=2，则由该三棱锥的表面积为　　．‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E： +=1 （a＞b＞‎ ‎0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知直线的方程为3x﹣4y+2=0．‎ ‎（1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程；‎ ‎（2）求直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点，且求这个点到直线的距离．‎ ‎18．如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直．‎ ‎（1）证明：BC∥平面PDA；‎ ‎（2）证明：BC⊥PD．‎ ‎19．命题p：A={x||x﹣a|≤4}，命题q：B={x|（x﹣2）（x﹣3）≤0}‎ ‎（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．‎ ‎（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．‎ ‎（1）求证：BG⊥平面PAD；‎ ‎（2）求 点G到平面PAB的距离．‎ ‎21．已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y=1被圆C截得弦长为，‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（II）从圆C外一点p（2，3）向圆引切线，求切线方程．‎ ‎22．已知椭圆C：的离心率为，且过点P（1，），F为其右焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A（4，0）的直线l与椭圆相交于M，N两点（点M在A，N两点之间），若△AMF与△MFN的面积相等，试求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市南川中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】x﹣y+1=0变为：y=x+1，求出它的斜率，进而求出倾斜角．‎ ‎【解答】解：将x﹣y+1=0变为：y=x+1，则直线的斜率k=1，‎ 由tan=1得，所求的倾斜角是，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．命题：“∀x≥0，x2≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x＜0，x2＜0 B．∀x≥0，x2＜0 C．∃x＜0，x2＜0 D．∃x≥0，x2＜0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】将全称命题改为特称命题，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，‎ 命题：“∀x≥0，x2≥0”的否定是“∃x≥0，x2＜0”，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．若p是假命题，q是假命题，则（　　）‎ A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．￢p是假命题 D．￢q是假命题 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】利用复合命题的真假写出结果即可．‎ ‎【解答】解：p是假命题，q是假命题，￢p是真命题，￢q是真命题，可得p∨‎ q是假命题．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知两平行直线3x﹣4y+1=0和3x﹣4y﹣4=0，则两直线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】直接利用两平行直线间的距离公式，求得结果．‎ ‎【解答】解：两平行直线3x﹣4y+1=0和3x﹣4y﹣4=0间的距离为d==1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．若三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，则m的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．±1 D．2‎ ‎【考点】三点共线．‎ ‎【分析】由 三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，可得，即（1，m）=λ•（3，3），由此求得m的值．‎ ‎【解答】解：∵三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，‎ ‎∴，‎ ‎∴（1，m）=λ•（3，3）=（3λ，3λ），‎ 解得 m=1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知命题p：x=1且y=1，命题q：x+y=2，则命题p是命题q的（　　）条件．‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由p⇒q，反之不成立，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：由p⇒q，反之不成立，例如取x=3，y=﹣1．‎ ‎∴命题p是命题q的充分不必要条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 ‎【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．‎ ‎【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；‎ 对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；‎ 对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；‎ 对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．若已知A（1，1，1），B（﹣3，﹣3，﹣3），则线段AB的长为（　　）‎ A．4 B．2 C．4 D．3‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】利用两点之间的距离求得AB的长．‎ ‎【解答】解：|AB|==4‎ 故选A ‎　‎ ‎9．已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的定义得，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=16，由此可求出|AB|的长．‎ ‎【解答】解：由椭圆的定义得 ‎ 两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=16，‎ 又因为在△AF1B中，有两边之和是10，‎ 所以第三边的长度为：16﹣10=6‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的体积为（　　）　‎ A．36π B．34π C．32π D．30π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是半球体与圆锥体是组合体，‎ 结合图中数据求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是半球体与圆锥体是组合体，‎ 结合图中数据可得，球的半径R==3；‎ 所以该几何体的体积为 V几何体=×πR3+πR2h ‎=×π×33+π×32×4‎ ‎=30π．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），‎ 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，‎ 解得：a=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知圆M：（x+）2+y2=36，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足=2， •=0，则点G的轨迹方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】由=2， •=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，可得|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，从而可求方程．‎ ‎【解答】解：由=2， •=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，‎ ‎∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|‎ ‎∴|GN|+|GM|=|MP|=6，‎ 故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=，‎ ‎∴短半轴长b=2，‎ ‎∴点G的轨迹方程是+=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）‎ ‎13．命题“若x2＜2，则”的逆否命题是　“若|x|≥，则x2≥2”　．‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，写出即可．‎ ‎【解答】解：命题“若x2＜2，则”的逆否命题是 ‎“若|x|≥，则x2≥2”．‎ 故答案为：“若|x|≥，则x2≥2”．‎ ‎　‎ ‎14．已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为　=1　．‎ ‎【考点】直线的两点式方程．‎ ‎【分析】由截距式，可得直线的方程．‎ ‎【解答】解：由截距式，可得直线的方程为=1．‎ 故答案为=1．‎ ‎　‎ ‎15．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA=2，底面的边AC=2，则由该三棱锥的表面积为　6　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由题意：该三棱锥的底面正三角形的边长为2‎ ‎，侧棱长为2，求出各个面的面积，相加即可．‎ ‎【解答】解：正三棱锥V﹣ABC中，侧棱长VA=2，底面三角形的边长AC=2，‎ 可得底面面积为：×2×2×sin60°=3，‎ 侧面的侧高为： =1，‎ 故每个侧面的面积为：×2×1=，‎ 故该三棱锥的表面积为3+3×=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E： +=1 （a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a；设B（﹣，y）C（，y），从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用tan30°=b/=，求得a=3b，最后根据a2=c2+b2得出离心率．‎ ‎【解答】解：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形 ‎∴BC∥OA，‎ B、C两点的纵坐标相等，‎ B、C的横坐标互为相反数 ‎∴B、C两点是关于Y轴对称的．‎ 由题知：OA=a 四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a 可设B（﹣，y）C（，y）‎ 代入椭圆方程解得：|y|=b，‎ 设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形 所以∠COD=30°‎ 对C点：tan30°==‎ 解得：a=3b 根据：a2=c2+b2‎ 得：a2=c2+‎ e2=‎ e=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知直线的方程为3x﹣4y+2=0．‎ ‎（1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程；‎ ‎（2）求直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点，且求这个点到直线的距离．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】（1）设与直线3x﹣4y+2=0垂直的直线方程为4x+3y+c=0，把点（﹣2，2）代入，能求出所求直线方程．‎ ‎（2）联立，得到直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点，再由点到直线的距离公式能求出这个点到直线的距离．‎ ‎【解答】解：（1）设与直线3x﹣4y+2=0垂直的直线方程为4x+3y+c=0，‎ 把点（﹣2，2）代入，得：﹣8+6+c=0，‎ 解得c=2，‎ ‎∴所求直线方程为4x+3y+2=0．‎ ‎（2）联立，得，‎ ‎∴直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点为A（1，0），‎ 点A（1，0）到直线3x﹣4y+2=0的距离：‎ d==1．‎ ‎　‎ ‎18．如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直．‎ ‎（1）证明：BC∥平面PDA；‎ ‎（2）证明：BC⊥PD．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出BC∥AD，由此能证明BC∥平面PDA．‎ ‎（2）推导出BC⊥CD，从而BC⊥平面PDC，由此能证明BC⊥PD．‎ ‎【解答】证明：（1）因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，‎ 因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，‎ 所以BC∥平面PDA．‎ ‎（2）因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，‎ 因为平面PDC⊥平面ABCD，‎ 平面PDC∩平面ABCD=CD，‎ BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，‎ 因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD．‎ ‎　‎ ‎19．命题p：A={x||x﹣a|≤4}，命题q：B={x|（x﹣2）（x﹣3）≤0}‎ ‎（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．‎ ‎（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；交集及其运算．‎ ‎【分析】（1）命题p：A=[a﹣4，a+4]，命题q：B=[2，3]．根据A∩B=∅，可得a+4＜2，或a﹣4＞3，解得a范围．‎ ‎（2）q是p的充分不必要条件，则a﹣4≤2，3≤a+4，解得a范围．‎ ‎【解答】解：（1）命题p：A={x||x﹣a|≤4}=[a﹣4，a+4]，命题q：B={x|（x﹣2）（x﹣3）≤0}=[2，3]．‎ ‎∵A∩B=∅，∴a+4＜2，或a﹣4＞3，‎ 解得a＜﹣2，或a＞7．‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）．‎ ‎（2）q是p的充分不必要条件，‎ 则a﹣4≤2，3≤a+4，解得1≤a≤6，‎ ‎∴实数a的取值范围是[1，6]．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．‎ ‎（1）求证：BG⊥平面PAD；‎ ‎（2）求 点G到平面PAB的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）运用直线平面的垂直的性质，判定定理证明，‎ ‎（2）运用等积法得出vG﹣PAB=VA﹣PGB=a2×h=a2×a，即可求h的值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接PG，∴PG⊥AD，∵平面PAG⊥平面ABCD ‎∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，‎ 又ABCD是菱形，且∠BAD=60°，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴GB⊥AD，‎ ‎∴GB⊥平面PAD．‎ ‎（2）解；设点G到平面PAB的距离为h，△PAB中，PA=AB=a ‎∴面积S=•a•a=a2，‎ ‎∵vG﹣PAB=VA﹣PGB=a2×h=a2×a，‎ ‎∴h=a．‎ ‎　‎ ‎21．已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y=1被圆C截得弦长为，‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（II）从圆C外一点p（2，3）向圆引切线，求切线方程．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（I）设圆C的半径为r，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，从而确定圆C的方程；‎ ‎（II）当切线方程的斜率不存在时，显然得到x=2为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k，由P的坐标和k写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d，根据直线与圆相切，得到d等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程．‎ ‎【解答】解：（I）设圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=r2‎ 因为圆心C到直线l的距离：d==，‎ 所以：r2=+=1，即r=1，‎ 圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；‎ ‎（II）当切线的斜率不存在时，显然x=2为圆的一条切线；‎ 当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，‎ 则切线方程为y﹣3=k（x﹣2），即：kx﹣y﹣2k+3=0‎ 由=1，解得k=，‎ 所以切线方程为y﹣3=（x﹣2），即3x﹣4y+6=0‎ 综上：所求的切线方程为x=2和3x﹣4y=6=0．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C：的离心率为，且过点P（1，），F为其右焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A（4，0）的直线l与椭圆相交于M，N两点（点M在A，N两点之间），若△AMF与△MFN的面积相等，试求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆C：的离心率为，椭圆方程可化为，又点P（1，）在椭圆上，即可求得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x﹣4），与椭圆方程联立，借助于韦达定理，及△AMF与△MFN的面积相等，即可求得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：的离心率为，‎ ‎∴，所以a=2c，b=c．…‎ 设椭圆方程为，又点P（1，）在椭圆上，所以，解得c=1，…‎ 所以椭圆方程为．…‎ ‎（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x﹣4），…‎ 由，消去y整理，得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，…‎ 由题意知△=（32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，解得．…‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则①，②．‎ 因为△AMF与△MFN的面积相等，所以|AM|=|MN|，所以2x1=x2+4 ③…‎ 由①③消去x2得x1=④‎ 将x2=2x1﹣4代入②得x1（2x1﹣4）=⑤‎ 将④代入⑤，‎ 整理化简得36k2=5，解得，经检验成立．…‎ 所以直线l的方程为y=（x﹣4）．…‎ ‎　‎