2009年山东省高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】
2009年山东省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 集合A={0, 2, a}，B={1, a2}，若A∪B={0, 1, 2, 4, 16}，则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2. 复数3-i1-i等于（ ）
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
3. 将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A.y=2cos2x B.y=2sin2x
C.y=1+sin(2x+π4) D.y=cos2x
4. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.2π+23 B.4π+23 C.2π+233 D.4π+233
5. 在R上定义运算⊗:a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗(x-2)<0的实数x的取值范围为（ ）
A.(0, 2) B.(-2, 1)
C.(-∞, -2)∪(1, +∞) D.(-1, 2)
6. 函数y=ex+e-xex-e-x的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 设函数f(x)=x2-1(x≥2），log2x（0＜x＜2）, 若f(m)=3，则实数m的值为（ ）
A.-2 B.8 C.1 D.2
8. 设P是△ABC所在平面内的一点，BC→+BA→=2BP→，则( )
A.PA→+PB→=0→ B.PC→+PA→=0→
C.PB→+PC→=0→ D.PA→+PB→+PC→=0→
9. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
10. 设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A.y2=±4x B.y2=4x C.y2=±8x D.y2=8x
11. 在区间[-π2, π2]上随机取一个数，cosx的值介于0到12之间的概率为( )
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A.13 B.π2 C.12 D.23
12. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)＝-f(x)且在区间[0, 2]上是增函数，则（ ）
A.f(-25)
0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
15. 执行程序框图，输出的T=________．
16. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 已知函数f(x)=2sinxcos2θ2+cosxsinθ-sinx(0<θ<π)，在x=π处取最小值．
1求θ的值；
2在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=2，f(A)=32，求角C．
18. 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB // CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．证明：
（1）EE1 // 平面FCC1．
(2)平面D1AC⊥平面BB1C1C．
19. 汽车厂生产A，B，C
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三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
20. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n, Sn)，均在函数y=bx+r(b>0)且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记bn=n+14an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．
21. 已知函数f(x)=13ax3+bx2+x+3，其中a≠0．
（1）当a，b满足什么条件时，f(x)取得极值？
（2）已知a>0，且f(x)在区间(0, 1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．
22. 设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=(mx, y+1)，向量b=(x, y-1)，a⊥b，动点M(x, y)的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知m=14．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程；
（3）已知m=14．设直线l与圆C:x2+y2=R2(1a，
所以 B=π4时，C=π-A-B=π-π6-π4=7π12，
当B=3π4时，C=π-A-B=π-π6-3π4=π12．
18.证明：(1)证法一：取A1B1的中点为F1，
连接FF1，C1F1，
由于FF1 // BB1 // CC1，
所以F1∈平面FCC1F1，
因为平面FCC1F1即为平面C1CFF1，
连接A1D，F1C，
由于A1F1和D1C1和CD平行且相等．
所以 四边形A1DCF1为平行四边形，
因为 A1D // F1C．
又 EE1 // A1D，
得EE1 // F1C，
而 EE1⊄平面FCC1F1，F1C⊂平面FCC1F1，
故 EE1 // 平面FCC1F1．
证法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB // CD，
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所以CD // AF，
因此 四边形AFCD为平行四边形，
所以 AD // FC．
又 CC1 // DD1，FC∩CC1=C，
FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1F1，
所以 平面ADD1A1 // 平面FCC1F1，
又 EE1⊂平面ADD1A1，
所以 EE1 // 平面FCC1．
(2)证明：连接AC，连△FBC中，FC=BC=FB，
又 F为AB的中点，
所以 AF=FC=FB，
因此∠ACB=90∘，
即 AC⊥BC．
又 AC⊥CC1，且CC1∩BC=C，
所以 AC⊥平面BB1C1C，
而 AC⊂平面D1AC，
故 平面D1AC⊥平面BB1C1C．
19.解：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得50n=10100+300，
∴ n=2000，
∴ z=2000-(100+300)-150-450-600=400．
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意，得a=2．
因此抽取的容量为5的样本中，
有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，
用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，
用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A1, A2)，(A1B1)，(A1B2)，
（A1, B3,），(A2, B1)，(A2, B2)(A2, B3)，
(B1B2)，（B1, B3,），(B2, B3)，共10个，
事件E包含的基本事件有：
(A1A2)，（A1, B1,），(A1, B2)，(A1, B3)，
(A2, B1)，(A2, B2)，(A2, B3)，共7个，
故 P(E)=710，
即所求概率为710．
(3)样本平均数x¯=18(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9．
设D表示事件“从样本中任取一数，
该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，
则基本事件空间中有8个基本事件，
事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，
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∴ P(D)=68=34，即所求概率为34．
20.解：（1）因为对任意的n∈N+，点(n, Sn)，均在函数y=bx+r（b>0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
所以得Sn=bn+r，
当n=1时，a1=S1=b+r，
a2=S2-S1=b2+r-(b1+r)=b2-b1=(b-1)b，
a3=S3-S2=b3+r-(b2+r)=b3-b2=(b-1)b2，
又因为{an}为等比数列，所以(a2)2=a1×a3，则[(b-1)b]2=(b-1)b2×(b+r)
解可得r=-1，
（2）当b=2时，an=(b-1)bn-1=2n-1，bn=n+14an=n+14×2n-1=n+12n+1
则Tn=222+323+424+…+n+12n+1
12Tn=223+324+425+…+n2n+1+n+12n+2
相减，得12Tn=222+123+124+125+…+12n+1-n+12n+2
12+123×(1-12n-1)1-12-n+12n+2=34-12n+1-n+12n+2
所以Tn=32-12n-n+12n+1=32-n+32n+1
21.解：（1）由已知得f'(x)=ax2+2bx+1，
令f'(x)=0，得ax2+2bx+1=0，
f(x)要取得极值，方程ax2+2bx+1=0，必须有解，
所以△=4b2-4a>0，即b2>a，
此时方程ax2+2bx+1=0的根为
x1=-2b-4b2-4a2a=-b-b2-aa，x2=-2b+4b2-4a2a=-b-+b2-aa，
所以f'(x)=a(x-x1)(x-x2)
当a>0时，
x
(-∞, x1)
x1
（x1，x2）
x2
(x2, +∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以f(x)在x1，x2处分别取得极大值和极小值．
当a<0时，
x
(-∞, x2)
x2
（x2，x1）
x1
(x1, +∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以f(x)在x1，x2处分别取得极大值和极小值．
综上，当a，b满足b2>a时，f(x)取得极值．
（2）要使f(x)在区间(0, 1]上单调递增，需使f'(x)=ax2+2bx+1≥0在(0, 1]上恒成立．
即b≥-ax2-12x，x∈(0, 1]恒成立，
所以b≥-(-ax2-12x)max
设g(x)=-ax2-12x，g'(x)=-a2+12x2=-a(x2-1a)2x2，
令g'(x)=0得x=1a或x=-1a（舍去），
当a>1时，0<1a<1，当x∈(0, 1a]时g'(x)>0，g(x)=-ax2-12x单调增函数；
当x∈(1a, 1]时g'(x)<0，g(x)=-ax2-12x单调减函数，
所以当x=1a时，g(x)取得最大，最大值为g(1a)=-a．
所以b≥-a
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当01时，b≥-a；
00且m≠1时，该方程表示椭圆；
当m<0时，该方程表示双曲线．
（2）当m=14时，轨迹E的方程为x24+y2=1，
设圆的方程为x2+y2=r2(0
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