2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

4.3.2 　对数的运算 必备知识 · 自主学习 1. 对数的运算性质 (1) 性质： 如果 a>0 ，且 a≠1 ， M>0 ， N>0 ，那么 ①积的对数： log a (MN)=___________ ； ②商的对数： log a =___________ ； ③幂的对数： log a M n =______. 导思 1. 对数运算有哪些运算性质？ 2. 怎样用 lg 2 ， lg 3 计算 log 2 3 ？ log a M+log a N log a M-log a N nlog a M (2) 本质：正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算 . (3) 应用：广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题 . 【 思考 】 你能用文字语言叙述对数的运算性质吗？ 提示： 积的对数等于积的各个因式的对数的和； 商的对数等于分子的对数减去分母的对数； 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数 . 2. 换底公式 (1) 公式： log a b=_______(a>0 ，且 a≠1 ； b>0 ； c>0 ，且 c≠1). (2) 本质：将对数的底数换成任意大于零，且不等于 1 的实数 . (3) 应用：将底数换成 10 或 e ，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算 . 【 思考 】 (1) 对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ (2) 你能用换底公式证明结论 log N M 吗？ 提示： (1)log a b= ， log a b= . (2) log N M. 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1)lg(xy)=lg x·lg y. ( 　　 ) (2)log 3 . ( 　　 ) (3) =log 2 16. ( 　　 ) 提示： (1)×.lg(xy)=lg x+lg y. (2)×.log 3 =log 3 27-log 3 9. (3)√. 逆用换底公式可得 . 2. 若 lg a-2lg 2=1 ，则 a= ( 　　 ) A.4 B.10 C.20 D.40 【 解析 】 选 D.lg a-2lg 2=lg a-lg 4=lg =1 ， 所以 =10 ，所以 a=40. 3.( 教材二次开发：复习巩固改编 ) 若 ln x=2ln a- ln b ，则 x=_______.  【 解析 】 因为 ln x=2ln a- ln b=ln a 2 ，所以 x=a 2 . 答案： a 2 关键能力 · 合作学习 类型一　对数运算性质的应用 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 温州高一检测 )lg = ( 　　 ) A.-4 B.4 C.10 D.-10 2. 若 a=log m x ， b=log m y ， c=log m z ，则用 a ， b ， c 表示 log m =_______.  3.lg 2 2+lg 2·lg 5+lg 5=_______.  【 解析 】 1. 选 A.lg =lg 10 -4 =-4. 2. 原式 =log m (xy 2 )=log m x+log m y 2 +log m =log m x+2log m y- log m z=a+2b- c. 答案： a+2b- c 3.lg 2 2+lg 2 · lg 5+lg 5=lg 2 · (lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1. 答案： 1 【 解题策略 】 利用对数运算性质化简求值 (1)“ 收”：将同底的两个对数的和 ( 差 ) 合并为积 ( 商 ) 的对数，即公式逆用； (2)“ 拆”：将积 ( 商 ) 的对数拆成同底的两个对数的和 ( 差 ) ，即公式的正用； (3)“ 凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用 lg 2+lg 5=1 ，进行计算或化简 . 【 补偿训练 】 若 lg x-lg y=a ，则 = ( 　　 ) A.3a B.a 3 C. D. 【 解析 】 选 A.lg x-lg y=lg =a ， =3a. 类型二　对数换底公式的应用 ( 数学运算 ) 【 典例 】 1.(2020· 淮安高一检测 ) 设 a=lg 2 ， b=lg 3 ，则 log 2 6= ( 　　 ) A.ab 2 B.a 2 b C. D. 2. 设 log 3 4·log 4 8·log 8 m=log 4 16 ，则 m 的值是 ( 　　 ) A. B.9 C.18 D.27 3.(2020· 泸州高一检测 ) 实数 a ， b 满足 2 a =5 b =10 ，则下列关系正确的是 ( 　　 ) 【 思路导引 】 1. 利用换底公式将 log 2 6 换成常用对数后用 a ， b 表示； 2. 换成常用对数约分求 m 值； 3. 利用指对互化表示出 a ， b 后验证等式是否成立 . 【 解析 】 1. 选 C. 因为 a=lg 2 ， b=lg 3 ， 所以 log 2 6= 2. 选 B. 因为 log 3 4 · log 4 8 · log 8 m 所以 lg m= · lg 3=lg 3 2 ，解得 m=9. 3. 选 B. 因为 2 a =5 b =10 ， 所以 a=log 2 10 ， b=log 5 10 ， 所以 =lg 2 ， =lg 5 ， 所以 =lg 2+lg 5=lg (2×5)=1. 【 解题策略 】 利用换底公式进行化简和求值 (1) 一般换底为常用对数或自然对数进行化简求值； (2) 如果出现多个指数式相等的式子，则先化为对数式，再利用对数的运算性 质化简求值； (3) 注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式 =log b a. 【 跟踪训练 】 1. 设 lg 2=a ， lg 3=b ，则 log 12 5= ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 因为 lg 2=a ， lg 3=b ， 则 log 12 5= 2. 若实数 a ， b ， c 满足 2 a =1 009 b =2 018 c =2 020 ，则下列式子正确的是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由已知，得 2 a =1 009 b =2 018 c =2 020 ， 得 a=log 2 2 020 ， b=log 1 009 2 020 ， c=log 2 018 2 020 ， 所以 =log 2 020 2 ， =log 2 020 1 009 ， =log 2 020 2 018 ，而 2×1 009=2 018 ， 所以 【 补偿训练 】 已知 2 x =5 y =t ， =2 ，则 t= ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 因为 2 x =5 y =t>0 ， t≠1 ， 所以 代入 =2 ，所以 =2 ， 所以 ln 10=ln t 2 ，所以 t 2 =10 ，则 t= . 类型三　实际问题中的对数运算 ( 数学运算 ) 【 典例 】 (2020· 海淀高一检测 )2018 年 9 月 24 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英 国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动 . 在 1859 年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为 《 论小于某值的素数个 数 》 的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想 . 在此之前，著名数学家欧拉 也曾研究过这个问题，并得到小于数字 x 的素数个数大约可以表示为 π(x)≈ 的 结论 . 若根据欧拉得出的结论，估计 1 000 以内的素数的个数为 ( 　　 ) ( 素数即质数， lg e≈0.434 29 ，计算结果取整数 ) A.768 B.144 C.767 D.145 【 思路导引 】 根据素数计算公式，利用换底公式计算 . 【 解析 】 选 D. 由题意可知： π(1 000)≈ = lg e≈ ×0.434 29≈145. 所以根据欧拉得出的结论，估计 1 000 以内的素数的个数为 145. 【 解题策略 】 关于对数运算在实际问题中的应用 (1) 在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算 . (2) 在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算 . 【 跟踪训练 】 根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限 M 约为 10 10 ， 目前人类可预测的地面危机总数 N 约为 3 6 ×2 30 . 则下列各数中与 最接近的是 ( 　　 ) ( 参考数据： lg 2≈0.30 ， lg 3≈0.48) 【 解析 】 选 B. 汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限 M 约为 10 10 ， 目前人类可预测的地面危机总数 N 约为 3 6 ×2 30 . 所以 ，两边取常用对数， 可得 lg =lg 10 10 -lg 3 6 -lg 2 30 ≈10-6×0.48-30×0.30=-1.88. 所以 =10 -1.88 ≈ . 课堂检测 · 素养达标 1.2log 5 10+log 5 0.25= ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.4 【 解析 】 选 C. 原式 =log 5 10 2 +log 5 0.25=log 5 (100×0.25)=log 5 25=2. 2. 已知正实数 a ， b ， c 满足 log 2 a=log 3 b=log 6 c ，则 ( 　　 ) A.a=bc B.b 2 =ac C.c=ab D.c 2 =ab 【 解析 】 选 C. 设 log 2 a=log 3 b=log 6 c=k ， 则 a=2 k ， b=3 k ， c=6 k ，所以 c=ab. 【 误区警示 】 本题容易忽视设出 log 2 a=log 3 b=log 6 c=k ，导致无法表示出 a ， b ， c. 3.( 教材二次开发：综合运用改编 ) 已知 xlog 3 2=1 ，则 2 x +2 -x 的值是 ( 　　 ) A.1 B.3 C. D. 【 解析 】 选 D. 因为 xlog 3 2=1 ， 所以 x=log 2 3 ， 所以 2 x +2 -x = 4.log 2 3·log 3 5·log 5 16=_______.  【 解析 】 原式 = 答案： 4 5. =_______.  【 解析 】 答案： 1 对数的运算 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 注意对数的运算性质的形式 转化思想：对数的运算性质可以把乘，除，乘方运算转化为加，减，乘运算 数学运算：通过对数的运算性质及换底公式的运用，培养数学运算的核心素养 运算性质 实际应用 换底公式