高中数学第7章三角函数课时分层作业35三角函数的周期性含解析苏教版必修第一册

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高中数学第7章三角函数课时分层作业35三角函数的周期性含解析苏教版必修第一册

课时分层作业(三十五) 三角函数的周期性 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.下列函数中,周期为的是(  )‎ A.y=sin     B.y=sin 2x C.y=cos D.y=tan(-4x)‎ D [A项,T==4π;B项,T==π;‎ C项,T==8π;D项,T==.]‎ ‎2.下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分,其中不是周期函数的是(  )‎ D [根据周期函数图象特征可知A、B、C都是周期函数,D不是周期函数.]‎ ‎3.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=(  )‎ A.1    B.-‎1 ‎   C.3    D.-3‎ B [∵f(x+5)=f(x),f(-x)=-f(x),‎ ‎∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,‎ f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,‎ ‎∴f(3)-f(4)=-2+1=-1.]‎ ‎4.函数y=sin的周期不大于4,则正整数k的最小值为(  )‎ A.2    B.‎3   ‎  C.4     D.5‎ C [由T=得T==.‎ - 5 -‎ ‎∵T≤4,∴≤4,∴k≥π,‎ ‎∴正整数k的最小值为4.]‎ ‎5.设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数,且当x∈时,f(x)=sin x;当x∈时,f(x)=cos x,则f=(  )‎ A.- B.     ‎ C.     D.- A [∵T=π,x∈时,f(x)=cos x,‎ ‎∴f=f=f=cos ‎=cos=-cos =-.]‎ 二、填空题 ‎6.对于任意的x∈R都有f(x+2)=f(x),则f(x)的一个周期为________.‎ ‎2(答案不唯一) [由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2.]‎ ‎7.若函数f(x)=2cos的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正整数ω的最大值是________.‎ ‎6 [T=,又T∈(1,3),∴1<<3,又ω∈N*,则ω=3,4,5,6,∴ω的最大值为6.]‎ ‎8.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=,且f(1)=,则f(2 020)=________.‎ ‎2 [∵f(x+3)=,‎ ‎∴f(x+6)==f(x),∴f(x)的周期T=6,‎ ‎∴f(2 020)=f(336×6+4)=f(4).‎ 又f(4)=f(1+3)==2,‎ ‎∴f(2 020)=2.]‎ 三、解答题 ‎9.已知函数y=f(x)是定义在R上周期为4的奇函数.‎ - 5 -‎ ‎(1)求f(4)的值;‎ ‎(2)若-2≤x≤-1时,f(x)=sin+1,求2≤x≤3时,f(x)的解析式.‎ ‎[解] (1)∵函数y=f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,∴f(0)=0,∴f(4)=f(4+0)=f(0)=0.‎ ‎(2)设2≤x≤3,则-2≤-4+x≤-1,‎ ‎∴f(-4+x)=sin+1=sinx+1,‎ ‎∴f(x)=f(-4+x)=sinx+1.‎ ‎10.若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化,如图所示,请回答下列问题:‎ ‎(1)单摆运动的周期是多少?‎ ‎(2)从O点算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?‎ ‎(3)当t=11 s时,单摆小球相对于静止位置的位移是多少?‎ ‎[解] (1)从题图可以看出,单摆运动的周期是0.4 s.‎ ‎(2)若从O点算起,到曲线上的D点表示完成了一次往复运动;若从A点算起,到曲线上的E点表示完成了一次往复运动.‎ ‎(3)11=0.2+0.4×27,所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是‎0 cm.‎ ‎1.已知函数f(x)=sin ,则f(1)+f(2)+…+f(2 021)=(  )‎ A. B.-     ‎ C. -     D.0‎ D [f(x)的周期T==6,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=sin +sin +sin π+sin +sin +sin 2π=0.‎ 原式=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2) +f(3)+f(4) +f(5)=0.故选D.]‎ - 5 -‎ ‎2.设函数f(x)=3sin,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以为最小正周期.若f=,则sin α的值为(  )‎ A. B.或- C. D.或- D [∵f(x)的最小正周期为,ω>0,∴ω==4.‎ ‎∴f(x)=3sin.‎ 由f=3sin=3cos α=,‎ ‎∴cos α=.‎ ‎∴sin α=±=±.]‎ ‎3.函数y=2cos(ω<0)的最小正周期为4π,则ω=________.‎ ‎- [由周期公式可知4π=⇒|ω|=,由ω<0,可知ω=-.]‎ ‎4.欲使函数y=Asin ωx(A>0,ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值 ,则ω的最小值为________.‎  [函数y=Asin ωx的最小正周期为,因为在每一个周期内, 函数y=Asin ωx(A>0,ω>0)都只有一个最小值,要使函数y=Asin ωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,则y在区间[0,1]内至少含49个周期,即解得ω≥,所以ω的最小值为.]‎ ‎5.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=-(f(x)≠0).‎ ‎(1)求证:函数f(x)是周期函数;‎ ‎(2)若f(1)=-5,求f(f(5))的值.‎ ‎[解] (1)证明:∵f(x+2)=-,‎ ‎∴f(x+4)=- - 5 -‎ ‎=-=f(x),‎ ‎∴f(x)是周期函数,4就是它的一个周期.‎ ‎(2)∵4是f(x)的一个周期,‎ ‎∴f(5)=f(1)=-5,‎ ‎∴f(f(5))=f(-5)=f(-1)‎ ‎=-=-=.‎ - 5 -‎
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