备战2014高考数学 高频考点归类分析(真题为例):平面向量与其它知识的综合

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备战2014高考数学 高频考点归类分析(真题为例):平面向量与其它知识的综合

平面向量与其它知识的综合 典型例题 例1. (2012年广东省理5分)对任意两个非零的平面向量和,定义.若平面向量满足,与的夹角,且和都在集合中,则=【  】‎ A. B‎.1 C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】新定义,平面向量的数量积,三角函数的值域,集合的概念。‎ ‎【解析】∵由定义 ,‎ ‎ ∴=,。∴。‎ ‎∵ ,∴,即。‎ ‎∵,∴。‎ ‎    又∵,∴=。∴。‎ ‎∴ ,=。故选C。‎ 例2. (2012年广东省文5分)对任意两个非零的平面向量,定义.若平面向量满足与的夹角,且和都在集合中,则【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】新定义,平面向量的数量积,三角函数的值域,集合的概念。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【解析】∵由定义 ,‎ ‎ ∴=,。∴。‎ ‎∵ ,∴,即。[来源:学科网]‎ ‎∵,∴。∴。‎ ‎∴=。故选D。‎ 例3. (2012年湖南省理5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,= 1则【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 A。‎ ‎【考点】平面向量的数量积运算,余弦定理。[来源:学|科|网]‎ ‎【解析】如图知。[来源:学&科&网]‎ ‎∴。‎ 又由余弦定理得,即,解得。‎ 故选A。‎ 例4. (2012年上海市理4分)在平行四边形中,,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】平面向量的基本运算。‎ ‎【解析】如图所示,以为原点,向量所在直线为轴,过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系。‎ ‎∵平行四边形中,,,‎ ‎∴。‎ 设,则。‎ ‎∴由得,。‎ ‎∴的横坐标为,的纵坐标为。‎ ‎∴‎ ‎∴。‎ ‎∵函数在有最大值,‎ ‎∴在时,函数单调增加。[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎∴在时有最小值2;在时有最大值5。‎ ‎∴的取值范围是。‎ 例5. (2012年上海市文4分)在矩形中,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】平面向量的基本运算。‎ ‎【解析】如图所示,以为原点,向量所在直线为轴,过所在直线为轴建立平面直角坐标系。‎ ‎∵在矩形中, ,‎ ‎∴。‎ 设,则。‎ ‎∴由得,。‎ ‎∴的坐标为。∴。‎ ‎∴。‎ ‎∵,∴。‎ ‎∴的取值范围是。‎ 例6. (2012年安徽省理5分)若平面向量满足:;则的最小值是 ▲ 来 ‎【答案】。‎ ‎【考点】平面向量,基本不等式的应用。‎ ‎【解析】∵,∴。‎ ‎ 又∵,∴。∴。‎ ‎ ∴的最小值是。‎ 例7.(2012年山东省理12分)已知向量m=(sinx,1),函数的最大值为6。‎ ‎(Ⅰ)求A;‎ ‎(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象像左平移个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象。求g(x)在上的值域。‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)。‎ ‎ ∵函数的最大值为6。而 ‎ ∴。‎ ‎(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,‎ 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数。‎ 当时,,.。‎ ‎∴函数g(x)在上的值域为。‎ ‎【考点】向量的运算,三角函数的值域,函数图象平移的性质。‎ ‎【解析】(Ⅰ)求出函数关于的表达式,化简后根据三角函数的值域确定A。‎ ‎(Ⅱ)由平移的性质,求出g(x),由得出的范围,从而求得函数g(x)在上的值域。‎ 例8.(2012年湖北省理12分)已知向量,设函数的图像关于直线=π对称,其中为常数,且 ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期; ‎ ‎(2)若的图像经过点,求函数在区间上的取值范围。‎ ‎【答案】解:‎ ‎。‎ ‎(Ⅰ)∵函数的图像关于直线=π对称,∴。‎ ‎∴。‎ 又∵,∴。‎ ‎∴的最小正周期为。‎ ‎(II)若的图像经过点,则有,∴。‎ ‎∴。‎ ‎∵,∴。∴。‎ ‎∴函数在区间上的取值范围为。‎ ‎【考点】数量积的坐标表达式,三角函数的恒等变化,正弦函数的定义域和值域。‎ ‎【解析】(Ⅰ)先利用向量数量积运算性质,求函数的解析式,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为,最后利用函数的对称性和ω的范围,计算ω的值,从而得函数的最小正周期。‎ ‎(II)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得λ的值,再求内层函数的值域,最后将内层函数看做整体,利用正弦函数的图象和性质即可求得函数的值域。‎ 例9. (2012年江苏省14分)在中,已知.[来源:学科网]‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若求A的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵,∴,即。‎ ‎ 由正弦定理,得,∴。‎ ‎ 又∵,∴。∴即。‎ ‎ (2)∵ ,∴。∴。‎ ‎ ∴,即。∴。‎ ‎ 由 (1) ,得,解得。‎ ‎ ∵,∴。∴。‎ ‎【考点】平面向。量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。‎ ‎【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。‎ ‎ (2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。‎ 例10.(2012年上海市理18分)对于数集,其中,,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎ (1)若>2,且,求的值;(4分)‎ ‎ (2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当n>1时,1=1;(6分)‎ ‎ (3)若X具有性质P,且1=1,(为常数),求有穷数列的通项公式.(8分)‎ ‎【答案】解:(1)选取,则Y中与垂直的元素必有形式。‎ ‎ ∴,从而=4。‎ ‎ (2)证明:取,设满足。‎ ‎ 由得,∴、异号。‎ ‎ ∵-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1。‎ 故1ÎX。‎ 假设,其中,则。‎ 选取,并设满足,即。‎ 则、异号,从而、之中恰有一个为-1。‎ 若=-1,则,矛盾;‎ 若=-1,则,矛盾.‎ ‎∴=1。‎ ‎ (3)猜测,i=1, 2, …, 。‎ ‎ 记,=2, 3, …, 。‎ ‎ 先证明:若具有性质P,则也具有性质P。‎ ‎ 任取,、Î.当、中出现-1时,显然有满足。‎ ‎ 当且时,、≥1。‎ ‎ ∵具有性质P,∴有,、Î,使得。‎ 从而和中有一个是-1,不妨设=-1,‎ 假设Î且Ï,则。‎ 由,得,与Î矛盾。‎ ‎∴Î,从而也具有性质P。‎ 现用数学归纳法证明:,i=1, 2, …, 。‎ 当=2时,结论显然成立。‎ ‎ 假设时,有性质P,则,i=1, 2, …, ;‎ ‎ 则当时,若有性质P,则 ‎ 也有性质P,所以。‎ ‎ 取,并设满足,即。‎ 由此可得与中有且只有一个为-1。‎ ‎ 若,则,所以,这不可能;‎ ‎ ∴,,又,所以。‎ ‎ 综上所述,,i=1, 2, …, 。 [来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系,数学归纳法和反证法的应用。‎ ‎【解析】(1)根据题设直接求解。‎ ‎ (2)用反证法给予证明。‎ ‎ (3)根据题设,先用反证法证明:若具有性质P,则也具有性质P,再用数学归纳法证明猜测,i=1, 2, …, 。‎
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