高考数学复习 17-18版 附加题部分 第3章 第68课 数学归纳法
第68课 数学归纳法
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
数学归纳法的原理
√
数学归纳法的简单应用
√
应用数学归纳法证明不等式
√
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2．数学归纳法的框图表示
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )
(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )
(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )
(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于________．
3 [因为凸n边形最小为三角形，所以第一步检验n等于3.]
3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．
k＋2 [k为偶数，则k＋2为偶数．]
4．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝__________，a3＝__________，a4＝__________，猜想an＝__________.
3 4 5 n＋1
5．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋
1)”由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是__________．
2k [当n＝k时，不等式为1＋＋＋…＋均成立．
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，
即·…·>.
则当n＝k＋1时，·…·>·＝
＝>
＝＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
[规律方法] 1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立，再证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
[变式训练2] 已知数列{an}，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N＋时，an＋1a2.
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，ak＋10.
又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，
∴ak＋2－ak＋1<0，
∴ak＋20，n∈N＋.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性. 【导学号：62172359】
[解] (1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.
∴a1＝－1(a1>0)．
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N＋)．
(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时，通项公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，整理得
a＋2ak＋1－2＝0，
∴ak＋1＝－，
即n＝k＋1时通项公式成立．
由①②可知对所有n∈N＋，an＝－都成立．
[规律方法] 1.猜想{an}的通项公式时应注意两点：(1)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2，a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系．
2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．
[变式训练3] 已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N＋.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．
[解] 由x1＝及xn＋1＝，
得x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，已证命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，
即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么
x2k＋2－x2k＋4＝－
＝＝
>0，
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．
结合(1)(2)知，对∀n∈N＋命题成立．
[思想与方法]
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要弄清n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法．
[易错与防范]
1．第一步验证当n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．
2．由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用归纳假设，否则就不是数学归纳法．
3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．
课时分层训练(十二)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
1．(2017·如皋市高三调研一)用数学归纳法证明等式：
12－22＋32＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋). 【导学号：62172360】
[证明] n＝1时，1－22＝－3，左边等于右边；
假设n＝k时，有
12－22＋32－…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立，
则n＝k＋1时，
12－22＋32－…＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]得证．
所以12－22＋32－…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)成立．
2．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N＋，n≥2)．
[证明] (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设n＝k时命题成立，即
1＋＋＋…＋<2－.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－
＝2－命题成立．
由(1)(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2时均成立．
3．(2017·镇江期中)已知数列{an}满足an＋1＝，n∈N＋，a1＝.
(1)计算a2，a3，a4；
(2)猜想数列的通项an，并用数学归纳法证明．
[解] (1)由递推公式，得a2＝＝＝，
a3＝，a4＝.
(2)猜想：an＝.
证明：①n＝1时，由已知，等式成立．
②设n＝k(k∈N＋)时，等式成立．即ak＝.
所以ak＋1＝＝＝＝＝，
所以n＝k＋1时，等式成立．
根据①②可知，对任意n∈N＋，等式成立．
即通项an＝.
4．(2017·盐城三模)记f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)(n≥2，n∈N＋)．
(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2)当n≥2，n∈N＋时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明.
【导学号：62172361】
[解] (1)因为f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)＝(3n＋2)C，
所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.
(2)由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.
下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可．
(ⅰ)当n＝2时，f(2)＝8能被4整数，结论成立；
(ⅱ)假设n＝k时，结论成立，即f(k)＝(3k＋2)C能被4整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(3k＋5)C
＝(3k＋2)C＋3C
＝(3k＋2)(C＋C)＋(k＋2)C
＝(3k＋2)C＋(3k＋2)C＋(k＋2)C
＝(3k＋2)C＋4(k＋1)C，此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立．
综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋，λ>0)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．
[解] (1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.
(2)由(1)可猜想数列通项公式为：
an＝(n－1)λn＋2n.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立，
②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时等式成立，
即ak＝(k－1)λk＋2k，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k
＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，
所以当n＝k＋1时，猜想成立，
由①②知数列的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n(n∈N＋，λ>0)．
2．(2017·扬州期中)已知Fn(x)＝(－1)kCfk(x)](n∈N)．
(1)若fk(x)＝xk，求F2015(2)的值；
(2)若fk(x)＝(x∉{0，－1，…，－n})，求证：Fn(x)＝.
[解] (1)Fn(x)＝(－1)kCfk(x)]＝(－x)kC]＝(1－x)n，∴F2015(2)＝－1.
(2)①n＝1时，左边＝1－＝＝右边，
②设n＝m时，对一切实数x(x≠0，－1，…，－m)，
有(－1)kC＝，
那么，当n＝m＋1时，对一切实数x(x≠0，－1，…，－(m＋1))，有
(－1)kC＝1＋(－1)k[C＋C]＋(－1)m＋1
＝(－1)kC＋(－1)kC＝(－1)kC－·
＝－·
＝＝.
即n＝m＋1时，等式成立．
故对一切正整数n及一切实数x(x≠0，－1，…，－n)，有
(－1)kC＝.
3．(2017·南通调研一)已知函数f0(x)＝x(sin x＋cos x)，设fn(x)是fn－1(x)的导数，n∈N＋.
(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；
(2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明．
[解] (1)因为fn(x)为fn－1(x)的导数，
所以f1(x)＝f′0(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x)
＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)，
同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x.
(2)由(1)得f3(x)＝f′2(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x，
把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为
f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)cos，
f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)cos，
f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)cos，
猜测fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos(*)．
下面用数学归纳法证明上述等式．
(ⅰ)当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立；
(ⅱ)假设当n＝k时，等式(*)成立，即fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos.
则当n＝k＋1时，
fk＋1(x)＝f′k(x)
＝sin＋(x＋k)cos＋cos＋(x－k)
＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)]
＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]cos，
即n＝k＋1时，命题成立．
由(ⅰ)(ⅱ)可知，对∀n∈N＋，fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos.
4．(2017·苏北四市期末)已知数列{an}满足an＝3n－2，f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n∈N＋.
(1)求证：g(2)>；
(2)求证：当n≥3时，g(n)>.
[证明] (1)由条件an＝3n－2，g(n)＝＋＋＋…＋，
当n＝2时，g(2)＝＋＋＝＋＋＝>.
(2)用数学归纳法加以证明：
①当n＝3时，g(3)＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋
>＋＋＝＋＋>＋＋>，
所以当n＝3时，结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立，即g(k)>，
则n＝k＋1时，
g(k＋1)＝g(k)＋
>＋>＋－
＝＋＝＋，
由k≥3可知，3k2－7k－3>0，即g(k＋1)>.
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
综合①②可得，当n≥3时，g(n)>.
