高考数学专题复习练习：考点规范练57
考点规范练57 不等式选讲
考点规范练A册第45页
基础巩固
1.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=|x-1|-|2x-a|.
(1)当a=5时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)设不等式f(x)≥3的解集为A,若5∈A,6∉A,求整数a的值.
解(1)当a=5时,不等式f(x)≥0可化为|x-1|-|2x-5|≥0,
即(x-1)2≥(2x-5)2,解得2≤x≤4,
故不等式f(x)≥0的解集为[2,4].
(2)据题意可得|5-1|-|10-a|≥3,|6-1|-|12-a|<3,
解得9≤a≤11,a<10或a>14,即9≤a<10.
又因为a∈Z,所以a=9.〚导学号74920364〛
2.(2016中原名校联盟四月仿真联考)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.
解(1)由f(x)≤6,得|2x-a|≤6-a,即a-6≤2x-a≤6-a,
即a-3≤x≤3,故a-3=-2,即a=1.
(2)由(1)知,f(x)=|2x-1|+1,令φ(n)=f(n)+f(-n),
则φ(n)=|2n-1|+|2n+1|+2=2-4n,n≤-12,4,-12
12.
故φ(n)的最小值为4,因此实数m的取值范围是[4,+∞).〚导学号74920365〛
3.已知f(x)=3x+1a+3|x-a|.
(1)若a=1,求f(x)≥8的解集;
(2)对任意a∈(0,+∞),任意x∈R,f(x)≥m恒成立,求实数m的最大值.
解(1)当a=1时,由f(x)≥8得|3x+1|+3|x-1|≥8,
①当x≤-13时,-(3x+1)-3(x-1)≥8,x≤-1,
∴x≤-1;
②当-131,n>1,且对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m+n的最小值.
解(1)令f(x)=|x-1|-|x-2|,
则f(x)≥|x-1-x+2|=1,故t≤1.
故T=(-∞,1].
(2)由(1)知,对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,
只需log3m·log3n≥tmax=1.
又m>1,n>1,所以log3m>0,log3n>0.
又1≤log3m·log3n≤log3m+log3n22=[log3(mn)]24(当log3m=log3n时取“=”),
所以log3(mn)≥2,mn≥9,
所以m+n≥2mn≥6,
即m+n的最小值为6(此时m=n=3).〚导学号74920367〛
5.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c都大于0,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c≥9.
(1)解∵f(x+2)=m-|x|,
∴f(x+2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.
又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.
(2)证明由(1)知1a+12b+13c=1,且a,b,c都大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c≥a×1a+2b×12b+3c×13c2=9,
当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.〚导学号74920368〛
能力提升
6.(2016河南洛阳二模)已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M.
(1)求M;
(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.
(1)解f(x)=|x+1|+|x-1|=-2x,x<-1,2,-1≤x≤1,2x,x>1.
当x<-1时,由f(x)=-2x<4,得-21时,由f(x)=2x<4,得15;
(2)若f(x)≤a|x+3|,求a的最小值.
解(1)当a=-2时,f(x)=1-3x,x<-1,3-x,-1≤x≤1,3x-1,x>1.
由f(x)的单调性及f-43=f(2)=5,
得f(x)>5的解集为
xx<-43,或x>2.
(2)由f(x)≤a|x+3|得a≥|x+1||x-1|+|x+3|.
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得|x+1||x-1|+|x+3|≤12,
即a≥12(当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立).
故a的最小值为12.〚导学号74920371〛
