2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷【word版本；可编辑；含答案】

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1 / 9 2020 年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷 一、选择 1.已知集合푈 = {−2, −1,0,1,2,3}, 퐴 = {−1,0,1}, 퐵 = {1,2}，则∁푈(퐴 ∪ 퐵) =() A.{−2,3} B.{−2,2,3} C.{−2, −1,0,3} D.{−2, −1,0,2,3} 2.若훼为第四象限角，则() A.cos2훼 > 0 B.cos2훼 < 0 C.sin2훼 > 0 D.sin2훼 < 0 3.在 XXXXXXXXXX 期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订 单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿 者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计 第二天新订单是1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的 配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需 要志愿者() A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有 一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环， 向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外 每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层 共有扇面形石板(不含天心石)() A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2푥 − 푦 − 3 = 0的距 离为() A.√5 5 B.2√5 5 C.3√5 5 D.4√5 5 6.数列{푎푛}中，푎1 = 2，푎푚+푛 = 푎푚푎푛.若푎푘+1 + 푎푘+2 + ⋯ + 푎푘+10 = 215 − 25，则푘 = () A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中 对应的点为푀，在俯视图中对应的点为푁，则该端点在侧视图中对应的点 为() 2 / 9 A.퐸 B.퐹 C.퐺 D.퐻 8.设푂为坐标原点，直线푥 = 푎与双曲线퐶: 푥2 푎2 − 푦2 푏2 = 1(푎 > 0，푏 > 0)的两 条渐近线分别交于퐷，퐸两点.若△ 푂퐷퐸的面积为8，则퐶的焦距的最小值 为() A.4 B.8 C.16 D.32 9.设函数푓(푥) = ln|2푥 + 1| − ln|2푥 − 1|，则푓(푥)() A.是偶函数，且(1 2 , +∞)在单调递增 B.是奇函数，且(− 1 2 , 1 2)在单调递减 C.是偶函数，且(−∞, − 1 2)在单调递增 D.是奇函数，且(−∞, − 1 2)在单调递减 10.已知△ 퐴퐵퐶是面积为9√3 4 的等边三角形，且其顶点都在球푂的球面上.若 球푂的表面积为16휋，则푂到平面퐴퐵퐶的距离为() A.√3 B.3 2 C.1 D.√3 2 11.若2푥 − 2푦 < 3−푥 − 3−푦，则() A.ln(푦 − 푥 + 1) > 0 B.ln(푦 − 푥 + 1) < 0 C.ln|푥 − 푦| > 0 D.ln|푥 − 푦| < 0 12.0 − 1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列푎1푎2 ⋯ 푎푛 ⋯满足 푎푖 ∈ {0,1}(푖 = 1,2, ⋯ )，且存在正整数푚，使得푎푖+푚 = 푎푖(푖 = 1,  2, ⋯ )成 立，则称其为0 − 1周期序列，并称满足푎푖+푚 = 푎푖(푖 = 1,  2, ⋯ )的最小正 整数푚为这个序列的周期.对于周期为푚的0 − 1序列푎1푎2 ⋯ 푎푛 ⋯ , 퐶(푘) = 1 푚 ∑ 푎푖 푚 푖=1 푎1+푘(푘 = 1,  2, ⋯ ,  푚 − 1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5 的0 − 1序列中，满足퐶(푘) ≤ 1 5 (푘 = 1,2,3,4)的序列是() A.11010 ⋯ B.11011 ⋯ C.10001 ⋯ D.11001 ⋯ 二、填空题 13.已知单位向量푎→，푏 → 的夹角为45∘, 푘푎→ − 푏 → 与푎→垂直，则푘 =________. 14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区， 每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法有________种． 15.设复数푧1, 푧2满足|푧1| = |푧2| = 2，푧1 + 푧2 = √3 + 푖，则|푧1 − 푧2| =________. 16.设有下列四个命题： 푝1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 푝2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 푝3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 푝4：若直线푙 ⊂平面훼，直线푚 ⊥平面훼，则푚 ⊥ 푙. 则下列命题中所有真命题的序号是________. ①푝1 ∧ 푝4；②푝1 ∧ 푝2；③¬푝2 ∨ 푝3；④¬푝3 ∨ ¬푝4. 3 / 9 三、解答题 17.△ 퐴퐵퐶中，sin2퐴 − sin2퐵 − sin2퐶 = sin퐵sin퐶. (1)求퐴； (2)若퐵퐶 = 3，求△ 퐴퐵퐶周长的最大值． 18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增 加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块， 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本 数据(푥푖, 푦푖)(푖 = 1,2, ⋯ ,20)，其中푥푖和푦푖分别表示第푖个样区的植物覆盖面 积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑ 푥푖 20 푖=1 = 60， ∑ 푦푖 20 푖=1 = 1200，∑ (푥푖 − 푥¯ ) 220 푖=1 = 80，∑ (푦푖 − 푦¯ ) 220 푖=1 = 9000， ∑ (푥푖 − 푥¯ )20 푖=1 (푦푖 − 푦¯ ) = 800. (1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等 于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2)求样本(푥푖, 푦푖)(푖 = 1,2, ⋯ ,20)的相关系数（精确到0.01）； (3)根据现有统计资料，各地块间植物短盖面积差异很大，为提高样本的 代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为 更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数：푟 = ∑ (푥푖−푥¯ )푛 푖=1 (푦푖−푦¯ ) √∑ (푥푖−푥¯ ) 2푛 푖=1 ∑ (푦푖−푦¯ ) 2푛 푖=1 ，√2 ≈ 1.414. 4 / 9 19.已知椭圆퐶1: 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的右焦点퐹与抛物线퐶2的焦点重 合．퐶1的中心与퐶2的顶点重合，过퐹且与푥轴垂直的直线交퐶1于퐴，퐵两点， 交퐶2于퐶，퐷两点．且|퐶퐷| = 4 3 |퐴퐵|. (1)求퐶1的离心率； (2)设푀是퐶1与퐶2的公共点．若|푀퐹| = 5，求퐶1与퐶2的标准方程． 20.如图已知三棱柱퐴퐵퐶 − 퐴1퐵1퐶1的底面是正三角形，侧面퐵퐵1퐶1퐶是矩形， 푀，푁分别为퐵퐶，퐵1퐶1的中点，푃为퐴푀上一点，过퐵1퐶1和푃的平面交퐴퐵 于퐸，交퐴퐶于퐹． (1)证明：퐴퐴1//푀푁，且平面퐴1퐴푀푁 ⊥面퐸퐵1퐶1퐹. (2)设푂为△ 퐴1퐵1퐶1的中心，若퐴푂//面퐸퐵1퐶1퐹，且퐴푂 = 퐴퐵，求直线퐵1퐸 与平面퐴1퐴푀푁所成角的正弦值． 5 / 9 21.已知函数푓(푥) = sin2푥sin2푥. (1)讨论푓(푥)在(0, 휋)上的单调性； (2)证明：|푓(푥)| ≤ 3√3 8 ； (3)证明：sin2푥sin22푥sin24푥 ⋯ sin22푛푥 ≤ 3푛 4푛. 22.已知曲线퐶1, 퐶2的参数方程分别为퐶1： {푥 = 4cos2휃， 푦 = 4sin2휃 (휃为参数)，퐶2： { 푥 = 푡 + 1 푡 ， 푦 = 푡 − 1 푡 (푡为参数). (1)将퐶1，퐶2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，푥轴正半轴为极轴建立极坐标系.设퐶1，퐶2的交点 为푃，求圆心在极轴上，且经过极点和푃的圆的极坐标方程. 23.已知函数푓(푥) = |푥 − 푎2| + |푥 − 2푎 + 1|. (1)当푎 = 2时，求不等式푓(푥) ≥ 4的解集； (2)若푓(푥) ≥ 4，求푎的取值范围. 6 / 9 参考答案与试题解析 2020 年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷 一、选择 1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C 11.A 12.C 二、填空题 13.√2 2 14.36 15.2√3 16.①③④ 三、解答题 17.解：(1)在△ 퐴퐵퐶中，设内角퐴, 퐵, 퐶的对边分别为푎, 푏,c， ∵sin2퐴 − sin2퐵 − sin2퐶 = sin퐵sin퐶， 由正弦定理得，푎2 − 푏2 − 푐2 = 푏푐， 即푏2 + 푐2 − 푎2 = −푏푐， 由余弦定理得， cos퐴 = 푏2+푐2−푎2 2푏푐 = − 1 2 . ∵0 < 퐴 < 휋，∴퐴 = 2휋 3 . (2)由(1)知퐴 = 2휋 3 ，因为퐵퐶 = 3，即푎 = 3， 由余弦定理得，푎2 = 푏2 + 푐2 − 2푏푐cos퐴， ∴9 = 푏2 + 푐2 + 푏푐 = (푏 + 푐)2 − 푏푐， 由基本不等式√푏푐 ≤ 푏+푐 2 知푏푐 ≤ (푏+푐)2 4 ， 结合上式得9 = (푏 + 푐)2 − 푏푐 ≥ 3 4 (푏 + 푐)2, (푏 + 푐)2 ≤ 12， ∴푏 + 푐 ≤ 2√3， 当且仅当푏 = 푐 = √3时取等号， ∴△ 퐴퐵퐶周长的最大值为3 + 2√3. 18.解：(1)由题意可知， 1个样区这种野生动物数量的平均数= 1200 20 = 60， 故这种野生动物数量的估计值= 60 × 200 = 12000； (2)由参考公式得， 7 / 9 푟 = ∑ (푥푖 − 푥¯ )푛 푖=1 (푦푖 − 푦¯ ) √∑ (푥푖 − 푥¯ ) 2 푛 푖=1 ∑ (푦푖 − 푦¯ ) 2 푛 푖=1 = 800 √80×9000 = 8 6√2 ≈ 0.94； (3)由题意可知，各地块间植物短盖面积差异很大， 因此在调查时，先确定该地区各地块间植物短盖面积大小并且由小到大排 序， 每十个分为一组，采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本 统计． 19.解：(1)퐹为퐶1的焦点且퐴퐵 ⊥ 푥轴， ∴퐹(푐, 0)， |퐴퐵| = 2푏2 푎 ， 设퐶2的标准方程为푦2 = 2푝푥(푝 > 0)， ∵퐹为퐶2的焦点且퐴퐵 ⊥ 푥轴， ∴퐹 (푝 2 , 0). 由抛物线的定义可得，|퐶퐷| = 2푝． ∵|퐶퐷| = 4 3 |퐴퐵|.퐶1与퐶2焦点重合， ∴{푐 = 푝 2 ，2푝 = 4 3 × 2푏2 푎 ， 消去푝得：4푐 = 8푏2 3푎 ， ∴3푎푐 = 2푏2， ∴3푎푐 = 2푎2 − 2푐2， 设퐶1的离心率为푒， 则2푒2 + 3푒 − 2 = 0， ∴푒 = 1 2 或푒 = −2（舍）， 故퐶1的离心率为1 2 . (2)由(1)知푎 = 2푐，푏 = √3푐，푝 = 2푐． ∴퐶1: 푥2 4푐2 + 푦2 3푐2 = 1， 8 / 9 퐶2: 푦2 = 4푐푥， 联立两曲线方程，消去푦得3푥2 + 16푐푥 − 12푐2 = 0， ∴(3푥 − 2푐)(푥 + 6푐) = 0， ∴푥 = 2 3 푐或푥 = −6푐（舍）， 从而|푀퐹| = 푥 + 푝 2 = 2 3 푐 + 푐 = 5 3 푐 = 5， ∴푐 = 3， ∴퐶1与퐶2的标准方程分别为푥2 36 + 푦2 27 = 1，푦2 = 12푥. 20.(1)证明：∵푀，푁分别为퐵퐶，퐵1퐶1的中点，底面为正三角形， ∴퐵1푁 = 퐵푀，四边形퐵퐵1푁푀为矩形，퐴1푁 ⊥ 퐵1퐶1， ∴퐵퐵1//푀푁，而퐴퐴1//퐵퐵1，푀푁 ⊥ 퐵1퐶1∴퐴퐴1//푀푁， 又∵푀푁 ∩ 퐴1푁 = 푁， ∴面퐴1퐴푀푁 ⊥面퐸퐵1퐶1퐹. (2)∵三棱柱上下底面平行，平面퐸퐵1퐶1퐹与上下底面分别交于퐵1퐶1， ∴퐸퐹//퐵1퐶1//퐵퐶. ∵퐴푂//面퐸퐵1퐶1퐹，퐴푂 ⊂面퐴푀푁퐴1，面퐴푀푁퐴1 ∩面퐸퐵1퐶1퐹 = 푃푁， ∴퐴푂//푃푁，四边形퐴푃푁푂为平行四边形， 而푂为正三角形的中心，퐴푂 = 퐴퐵， ∴퐴1푁 = 3푂푁，퐴푀 = 3퐴푃, 푃푁 = 퐵퐶 = 퐵1퐶1 = 3퐸퐹. 由(1)知直线퐵1퐸在平面퐴1퐴푀푁内的投影为푃푁直线퐵1퐸与平面퐴1퐴푀푁所成 角即为等腰梯形퐸퐹퐶1퐵1中퐵1퐸与푃푁所成角在等腰梯形퐸퐹퐶1퐵1中，令퐸퐹 = 1，过퐸作퐸퐻 ⊥ 퐵1퐶1于퐻，则 푃푁 = 퐵1퐶1 = 퐸퐻 = 3，퐵1퐻 = 1，퐵1퐸 = √10，sin∠퐵1퐸퐻 = 퐵1퐻 퐵1퐸 = √10 10 . 21.(1)解：∵푓(푥) = 2sin3푥cos푥， ∴푓′(푥) = 2sin2푥(3cos2푥 − sin2푥) = −8sin2푥sin (푥 + 휋 3) sin (푥 − 휋 3). 当푥 ∈ (0, 휋 3)时，푓′(푥) > 0,  푓(푥)单调递增； 当푥 ∈ (휋 3 , 2휋 3 )时，푓′(푥) < 0,  푓(푥)单调递减； 当푥 ∈ (2휋 3 , 휋)时，푓′(푥) > 0,  푓(푥)单调递增； (2)证明：由푓(푥) = 2sin3푥cos푥得，푓(푥)为R上的奇函数． 푓2(푥) = 4sin6푥cos2푥 = 4(1 − cos2푥)3cos2푥 = 4(1 − cos2푥)3 × 3cos2푥 3 ≤ 4 3 × (3−3cos2푥+3cos2푥 4 )4 = (3 4)3. 当1 − cos2푥 = 3cos2푥，即cos푥 = ± 1 2 时等号成立，故|푓(푥)| ≤ 3√3 8 . (3)证明：由(2)知：sin2푥sin2푥 ≤ 3√3 8 = (3 4) 3 2； sin22푥sin4푥 ≤ 3√3 8 = (3 4) 3 2； sin222푥sin23푥 ≤ 3√3 8 = (3 4) 3 2； ⋯ sin22푛−1푥sin2푛푥 ≤ 3√3 8 = (3 4) 3 2， 9 / 9 ∴sin2푥sin32푥sin34푥 ⋯ sin32푛−1푥sin22푛푥 ≤ (3 4) 3푛 2 ， ∴sin3푥sin32푥sin34푥 ⋯ sin32푛−1푥sin32푛푥 = sin푥(sin2푥sin32푥sin34푥 ⋯ sin32푛−1푥sin22푛푥)sin2푛푥 ≤ (3 4) 3푛 2 ， ∴sin2푥sin22푥sin24푥 ⋯ sin22푛푥 ≤ 3푛 4푛. 22.解：(1)퐶1： {푥 = 4cos2휃，① 푦 = 4sin2휃，② ①+②得，푥 + 푦 = 4，故퐶1的普通方程为：푥 + 푦 − 4 = 0. 由{ 푥 = 푡 + 1 푡 ， 푦 = 푡 − 1 푡 可得{ 푥2 = 푡2 + 2 + 1 푡2 ，③ 푦2 = 푡2 − 2 + 1 푡2 ，④ ③−④得，푥2 − 푦2 = 4，故퐶2的普通方程为：푥2 − 푦2 = 4. (2)联立퐶1, 퐶2 {푥 − 푦 − 4 = 0， 푥2 − 푦2 = 4， 解得：{ 푥 = 5 2 ， 푦 = 3 2 ， 所以点푃坐标为：푃 (5 2 , 3 2). 设所求圆圆心为푄(푎, 0)，半径为푎， 故圆心푄(푎, 0)到푃 (5 2 , 3 2)的距离为√(5 2 − 푎)2 + (3 2 − 0)2 = 푎， 解得푎 = 17 10 ，所以圆푄的圆心为(17 10 ,  0)，半径为17 10 ， 则圆푄的直角坐标方程为：(푥 − 17 10) 2 + 푦2 = (17 10)2， 即．푥2 + 푦2 − 17 5 푥 = 0，所以所求圆的极坐标方程为：휌 = 17 5 cos휃. 23.解：(1)当푎 = 2时，푓(푥) = { 7 − 2푥，푥 ≤ 3， 1，3 < 푥 ≤ 4， 2푥 − 7，푥 > 4. 因此，不等式푓(푥) ≥ 4的解集为{푥|푥 ≤ 3 2 或푥 ≥ 11 2 }. (2)因为푓(푥) = |푥 − 푎2| + |푥 − 2푎 + 1| ≥ |푎2 − 2푎 + 1| = (푎 − 1)2， 故当(푎 − 1)2 ≥ 4，即|푎 − 1| ≥ 2时，푓(푥) ≥ 4， 所以当푎 ≥ 3或푎 ≤ −1时，푓(푥) ≥ 4； 当−1 < 푎 < 3时，푓(푎2) = |푎2 − 2푎 + 1| = (푎 − 1)2 < 4. 所以푎的取值范围是(−∞, −1] ∪ [3, +∞).