专题16 分类讨论思想备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题16 分类讨论思想备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题16 分类讨论思想 专题点拨 ‎(1)分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．‎ 分类讨论思想的特点是：‎ ‎①分类讨论思想具有明显的逻辑特点；‎ ‎②分类讨论问题一般覆盖的知识点较多，有利于考查知识掌握的熟练程度和解决问题的能力；‎ ‎③解答分类讨论问题需要一定的分析技巧和分析问题的能力；‎ ‎④分类讨论思想在生活、工作实践中应用广泛，与高等数学紧密相关．‎ ‎(2)与分类讨论有关的知识点是：‎ ‎①由数学概念引起的分类讨论：‎ a．绝对值的意义：|a|分a≥0和a＜0两种情况讨论可以去掉绝对值号；‎ b．直线的斜率：分为存在和不存在两种情形；‎ c．指数函数与对数函数的底数a分为0＜a＜1和a＞1两种情形；‎ d．多项式ax2＋bx＋c分为a≠0(二次函数)和a＝0(不是二次函数)两种情形；‎ e．三角函数：按角所在的不同的区域进行分类，如按象限分类；‎ f．平面向量的有关概念，如共线分为同向和反向；‎ g．等比数列的公比q：例如q分为q＝1和q≠1.‎ ‎②由数学运算引起的讨论：‎ a．分母不为0；‎ b．开偶次方根时，被开方式为非负值；‎ c．不等式性质：两边乘以或除以一个正数或一个负数的不同；‎ d．各类函数的定义域，如正切函数的定义域． ‎ ‎(1)若对一切实数x，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【解析】　(1)当m＝0时，f(x)＝－1＜0恒成立，‎ 当m≠0时，若f(x)＜0恒成立，‎ 则 解得－4＜m＜0，‎ 综上所述，实数m的取值范围为(－4，0]．‎ ‎(2)要x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，‎ 即m＋m－6＜0，x∈[1，3]恒成立．‎ 令g(x)＝m＋m－6＜0，x∈[1，3]．‎ 当m＞0时，g(x)是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，‎ 解得m＜，所以0＜m＜.‎ 当m＝0时，－6＜0恒成立；‎ 当m＜0时，g(x)是减函数．所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，解得m＜6.‎ 所以m＜0.‎ 综上所述，实数m的取值范围为(－∞，)．‎ 五、由图形引起的分类讨论 ‎【例6】　已知方程mx2＋2y2＝m＋1(m∈R)，对于不同范围的m值，请分别指出方程所表示的图形．‎ ‎【解析】　要对m＝0和m＝－1的情况进行讨论；当m≠0且m≠－1时，方程变形为＋＝1，由＝得m＝2，这样－1，0，2把数轴分成四个区间，所以要分多种情况讨论．‎ ‎(1)当m＝0时，方程为2y2＝1，y＝±，图形为两条平行直线；‎ ‎(2)当m＝－1时，方程为－x2＋2y2＝0，即y＝±x，图形为两条相交直线；‎ ‎(3)当m≠0且m≠－1时，方程化为＋＝1.‎ ‎①m＜－1时，＞0，＜0，图形为焦点在x轴上的双曲线；‎ ‎②当－1＜m＜0时，＜0，＞0，图形为焦点在y轴上的双曲线；‎ ‎③当0＜m＜2时，0＜＜，图形为焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎④当m＝2时，方程为x2＋y2＝，图形为圆心在原点，半径为的圆；‎ ‎⑤当m＞2时，0＜＜，图形为焦点在y轴上的椭圆．‎ 六、由排列组合引起的分类讨论 ‎【例7】　 如图所示，一个地区有5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，若有4种颜色可供选用，则不同的着色方法共有多少种？‎ 巩固训练 1． 已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为________．‎ ‎【答案】0或1或－1　‎ ‎【解析】　M∩N＝N⇔N⊆M.当a＝0时，N＝∅，符合要求，当a≠0时，只要a＝，即a＝±1.‎ 2． 若a是非零实数，则＋的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，－2]∪[2，＋∞)　‎ ‎【解析】　当a>0时，＋≥2＝2，当且仅当a＝2时等号成立；当a<0时，＋＝－ ‎≤－2＝－2，当且仅当a＝－2时等号成立．‎ 1． 若直线l过点 (1, 2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______________．‎ ‎【答案】y＝2x或x＋y－3＝0　‎ ‎【解析】　①当截距为零时，即过原点(0，0)，∴直线方程为y＝2x；②当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，将点(1, 2)代入可得a＝3，∴直线方程为x＋y－3＝0.‎ 2． 已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的__________条件．‎ ‎【答案】充分非必要条件　‎ 3． 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{an}的公比q的值等于____________．‎ ‎【答案】－2　‎ ‎【解析】　根据题意，S5、S4、S6成等差数列，则2S4＝S5＋S6成等差数列，‎ ‎①当q＝1时，Sn＝na1，‎ 则S5＝5a1，S4＝4a1，S6＝6a1，‎ S5、S4、S6成等差数列不成立，故舍去；‎ ‎②当q≠1时，有＝＋，‎ 变形可得：2a5＋a6＝0，∴a5(2＋q)＝0，解得q＝－2.‎ ‎6．已知a∈R，函数f(x)＝＋a在区间上的最大值是5，则a的取值范围是____________．‎ ‎【答案】(－∞，]　‎ ‎【解析】　x∈[1，4]，x＋∈[4，5]，分类讨论：‎ ‎①当a≥5时，f(x)＝a－x－＋a＝2a－x－，函数的最大值2a－4＝5，∴a＝，舍去；‎ ‎②当a≤4时，f(x)＝x＋－a＋a＝x＋≤5，此时命题成立；‎ ‎③当41时，(*)式为－x－≤＋a≤x＋，－x－≤a≤＋.‎ 又－x－＝－(x＋)≤－2(当x＝时取等号)，＋≥2＝2(当x＝2时取等号)，所以－2≤a≤2.综上，－≤a≤2.故选A.‎ 三、解答题 ‎9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b＋c＝2acosB.‎ ‎(1)证明：A＝2B；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．‎ ‎10.已知无穷数列{an}，满足an＋2＝|an＋1－an|，n∈N*；‎ ‎(1)若a1＝1，a2＝2，求数列前10项和；‎ ‎(2)若a1＝1，a2＝x，x∈Z，且数列{an}前2017项中有100项是0，求x的可能值；‎ ‎(3)求证：在数列{an}中，存在k∈N*，使得0≤ak＜1.‎ ‎【解析】(1)数列{an}满足an＋2＝|an＋1－an|，n∈N*；a1＝1，a2＝2，‎ 则a3＝1，a4＝1，a5＝0，a6＝1，a7＝1，a8＝0，a9＝a10＝1.‎ ‎∴数列前10项和S10＝1＋2＋6＝9. ‎ ‎(2)当x＝1时，数列{an}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…‎ 所以在前2017项中恰好含有672项为0；‎ 当x＝2时，数列{an}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…‎ 所以在前2017项中恰好含有671项为0；‎ 当x＝3时，数列{an}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…‎ 所以在前2017项中恰好含有671项为0；‎ 当x＝4时，数列{an}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…‎ 所以在前2017项中恰好含有670项为0；‎ 当x＝5时，数列{an}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0，…‎ 所以在前2017项中恰好含有670项为0；‎ ‎…‎ 由上面可以得到当x＝1144或x＝1145时，在前2017项中恰好含有100项为0；‎ 同理可得，当x＝－1141或x＝－1140时，在前2017项中恰好含有100项为0；‎ ‎(3)证明：假设数列{an}中不存在ak(k∈N*)，使得0≤ak＜1，则ak＜0或ak≥1(k＝1，2，3，…)．‎ 由无穷数列{an}，满足an＋2＝|an＋1－an|，n∈N*，‎ 可得ak≥1，由于无穷数列{an}，对于给定的a1，a2，总可以相减后得到0，故假设不成立．‎ 在数列{an}中，存在k∈N*，使得0≤ak＜1.‎