专题07+函数++函数的基本性质+--函数的周期性-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试
2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试
07 函数 函数的基本性质 --函数的周期性
【考点讲解】
一、 具本目标：
了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
二、知识概述：
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__最小__正周期．
2.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x的值：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
3.函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a
0在
[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
【解析】 f(x)的图象如图．
当x∈[－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；
当x∈[0,1)时，xf(x)>0无解；
当x∈[1,3]时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．
故x∈(－1,0)∪(1,3)．【答案】 C
【变式】（1）【2014·安徽高考】若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为
f(x)＝则＝________.
又因为f(x)是奇函数，
所以有
【答案】
【变式】（2）【2017山东】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 时,,则f(919)=
【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.
在此范围内，
且
时，设
，且
互质，
若
，则由
，可设
，且
互质.
从而，则
，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此
，于是不可能与内的部分对应相等，所以只需要考虑与每个周期内部分的交点.
如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除外，其它交点均为的部分．
且当时，，所以在附近只有一个交点，
因而方程解的个数为个．故填．
【答案】8
【模拟考场】
1.（2016山东理9）已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，，则（ ）.
A. B. C. D.
【解析】由知，当时， 的周期为，所以.
又当时，，所以.
于是.故选D.
【答案】D
2.【2014·大纲全国卷】奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A．－2 B．－1 C．0 D． 1
【答案】 D
3．【2014·安徽高考】设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则＝( )
A. B. C．0 D．－
【解析】 因为f(x＋π)＝f(x)＋sin x，所以f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.
所以f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)．所以f(x)是以2π为周期的周期函数．
又，，
所以..
因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以，所以.故选A.
【答案】 A
4.已知，方程在［0，1］内有且只有一个根，则在区间内根的个数为（ ）
A．2011 B．1006 C．2013 D．1007
【答案】C
5.【2017湖南统一考试】已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A. -2 B. C. 3 D.
【解析】因为奇函数满足，所以，即周期为3，所以，故选D．
【答案】D
6.【2016高考四川文科】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .
【解析】因为函数是定义在上周期为2的奇函数，
所以，所以，
即，，所以.
【答案】-2
7.【2014四川，文13】设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 .
【解析】因为是定义在R上的周期为2的函数，所以有.
【答案】1
8.【2012·浙江高考】设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则________.
【答案】
9.设定义在上的函数满足，若，则．
【解析】∵，∴，∴，
∴是一个周期为4的周期函数，∴．
∵，∴＝＝．
【答案】
10.已知是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则______.
【解析】.故函数的周期为4.
∴.
∵，由题意，得.∴.
【答案】2.5
