山西省阳泉市2020届高三下学期第一次（3月）教学质量检测数学（文）试题 Word版含解析

山西省阳泉市2020届高三下学期第一次（3月）教学质量检测数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年阳泉市高三第一次教学质量监测试题 文科数学 注意事项：‎ ‎1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题答题卡相应的位置.‎ ‎3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.‎ ‎4.考试结束后，将本试题的答题卡交回.‎ ‎5.试题满分150分，考试时间120分钟.‎ 参考公式：‎ 柱体体积公式 其中S为底面面积，h为高 球的表面积、体积公式 ‎， ‎ 其中R为球的半径 锥体体积公式 其中S为底面面积，h为高 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可直接由模的性质计算．‎ - 18 -‎ ‎【详解】．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查求复数的模，解题时结合复数模的性质求解更加方便：，．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定集合中的元素，然后由交集定义计算．‎ ‎【详解】由题意，∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合的元素是解题关键．‎ ‎3.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取名学生进行调查，则抽取的高中生人数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由扇形图先得学生总人数，根据分层抽样的定义建立比例关系，解方程即可得到结论．‎ - 18 -‎ ‎【详解】由扇形图可得学生总人数为人，‎ 设抽取的高中生人数为，则，解得，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要了考查分层抽样的概念及应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎4.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数函数与指数函数性质，再与0、1比较可得．‎ ‎【详解】，又，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查对数和幂的大小比较，掌握对数函数与指数函数的性质是解题关键．不同类型的数比较大小时可与中间值0或1等比较．‎ ‎5.某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：），下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）‎ A. 20 B. 22.5 C. 22.75 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 18 -‎ 试题分析：根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；‎ ‎∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x-20）×0.08=0.5，解得x=22.5；‎ ‎∴这批产品的中位数是22.5‎ 考点：频率分布直方图 ‎6.函数y=sin2x的图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎7.执行如图的程序框图，则输出的S的值是（ ）‎ - 18 -‎ A. 14 B. 26 C. 30 D. 62‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件，可得结论．‎ ‎【详解】程序运行时，，‎ 满足，；满足，；满足，；满足，；满足，；不满足，输出．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，如果循环次数较多，可确定程序功能，最后得出结论．‎ ‎8.已知锐角满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦的诱导公式化简等式，再利用同角的三角函数关系式，求出 - 18 -‎ 的值，最后利用二倍角的正切公式求值即可.‎ ‎【详解】，因为是锐角，所以有 ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了正弦诱导公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的正切公式.‎ ‎9.已知非零向量满足，=．若，则实数t的值为 A. 4 B. –4 C. D. –‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由，可设，‎ 又，所以 所以，故选B．‎ ‎10.已知双曲线（）的右焦点为，以双曲线的实轴为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意，联立解得，故，解得 - 18 -‎ ‎，故所求渐近线方程为，‎ 故选A.‎ ‎11.在中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，若，，则的周长等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形面积求得，再由正弦定理得，可解得，然后由余弦定理解得，可得三角形周长．‎ ‎【详解】由题意，，‎ 又，由正弦定理得，联立解得，‎ ‎，‎ 所以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积公式，考查正弦定理和余弦定理，掌握这两个定理是解三角形的关键．‎ ‎12.椭圆C：（）的右焦点与抛物线E：的焦点F重合，点P是椭圆C与抛物线E的一个公共点，点满足，则椭圆C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线焦点得椭圆的半焦距，由得出直线 - 18 -‎ 的方程，代入抛物线方程可求得点坐标，由椭圆定义求出，从而可得离心率．‎ ‎【详解】由题意，，由得，直线方程为，‎ 由，解得，即，由椭圆的定义知另一焦点为，‎ 所以，即，‎ 所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆离心率，解题关键是求出点坐标，再由椭圆定义求得实轴长．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题~第（23）题为选考题，考生根据要求做答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若函数（，且）的图象过定点，则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数函数性质求出定点坐标后可得结论．‎ ‎【详解】令，则，即函数过定点，所以，．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的性质，掌握对数函数的性质是解题关键．‎ ‎14.设等差数列和等比数列首项都是1，公差与公比都是2，则________.‎ ‎【答案】57‎ ‎【解析】‎ - 18 -‎ ‎【分析】‎ 先求出等差数列和等比数列的通项公式，然后再写出各项并求和．‎ ‎【详解】由题意，，‎ ‎．‎ 故答案为：57．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，掌握等差数列与等比数列的通项公式是解题关键．‎ ‎15.函数的最大值为___________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎，∴当时，有最大值为4，故答案为4.‎ ‎16.若矩形ABCD的对角线交点为O′，周长为，四个顶点都在球O的表面上，且，则球O的表面积的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由矩形对称性知平面，设，则求出，，求出的最小值，即可求得球半径最小值，可得球表面积最小值．‎ ‎【详解】设，则，‎ ‎，‎ 所以时，，‎ 是矩形对角线的交点，则平面，，‎ 所以，‎ - 18 -‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是求出球半径的最小值，利用球心与截面圆圆心连线与截面圆垂直，可知只要求得矩形对角线的最小值即可．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（一）必考题 ‎17.为了解某地区某种产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）‎ 参考公式： ，‎ ‎【答案】(1) (2) ，年利润最大 ‎【解析】‎ 分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；‎ ‎ （2）年利润函数为，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. ‎ 详解：（1），，‎ ‎ ，，，，，‎ 解得：，，‎ 所以：，‎ ‎（2）年利润 - 18 -‎ 所以，年利润最大. ‎ 点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．‎ ‎18.已知等比数列是递减数列，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用等比数列的性质和通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．‎ ‎【详解】（1）等比数列是递减数列，，‎ 即有，解得，（舍去），或，‎ 可得公比.‎ ‎（2），‎ 则前项和 ‎.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于基础题．‎ ‎19.如图，在四棱锥中,底面是矩形，,是棱的中点.‎ 求证：平面平面；‎ 设，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，推出，即可证明；‎ ‎（2）利用，即可求得点到平面的距离．‎ ‎【详解】（1）在矩形中，. ‎ 又 ‎ 又 ‎ ‎（2）在中，，是棱的中点，∴ ‎ 由（1）知平面，∴. ‎ 又∵，∴平面 ‎ ‎∵，‎ ‎∴,‎ ‎∴面 - 18 -‎ ‎∵面 ‎∴‎ 所以，在中，，. ‎ 设点到平面的距离为，则.‎ ‎∴，即，解得 ‎∴点到平面的距离为.‎ ‎20.已知直线与抛物线交于P，Q两点，且的面积为16（O为坐标原点）．‎ ‎（1）求C的方程.‎ ‎（2）直线l经过C的焦点F且l不与x轴垂直；l与C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，试问在x轴上是否存在点E，使为定值？若存在，求该定值及E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在点E，且E的坐标为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由的面积为16，得到，故得解;‎ ‎（2）设直线l的方程为，联立得到韦达定理，得到，表示线段AB的垂直平分线的方程，得到，分析即得解.‎ ‎【详解】（1）将代入，得，‎ 所以的面积为．‎ 因为，所以，‎ - 18 -‎ 故C的方程为．‎ ‎（2）由题意设直线l的方程为，‎ 由，得．‎ 设，则，‎ 所以，‎ 因为线段AB的中点的横坐标为，纵坐标为，‎ 所以线段AB的垂直平分线的方程为，‎ 令，得，所以D的横坐标为，‎ 设，则，‎ 当且仅当，即时，为定值，且定值为2，‎ 故存在点E，且E的坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎21.‎ 已知函数f(x)＝x＋＋ln x(a∈R)．‎ ‎(Ⅰ)当a＝2时， 求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若关于x的函数g(x)＝－f(x)＋ln x＋2e(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，求实数a的值．‎ ‎【答案】(1) f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，函数f(x)的单调递减区间为(0,1). (2) a＝e2＋‎ - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ 当a＝2时，f′(x)＝1－＋＝＝，‎ 当x>1时f′(x)>0，当00; 当x>e时，h′(x)<0，∴函数h(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴当x＝e时，函数h(x)取得最大值，其值为h(e)＝.‎ 而函数m(x)＝x2－2ex＋a＝(x－e)2＋a－e2，‎ 当x＝e时，函数m(x)取得最小值，其值为m(e)＝a－e2，‎ ‎∴当a－e2＝，即a＝e2＋时，方程－f(x)＋ln x＋2e＝0只有一个根 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎（二）选考题 请考生在第（22）、（23）二题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为：（α为参数），A，B为直线l上的距离为2的两动点，点P为曲线C上的点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最大值.‎ - 18 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由，可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消元可化参数方程为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）用参数形式表示出点坐标，求出到直线的距离的最大值即可得面积最大值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）解：（1）直线l极坐标方程化成.‎ ‎∵，，∴直线l的直角坐标方程为.‎ 曲线C的参数方程化成：（α为参数）.‎ 平方相加得，即.‎ ‎（Ⅱ）设点，则P到直线l的距离为：‎ ‎.‎ 当时，. ‎ 设的面积为S，则 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查参数方程的应用．求面积最大值转化为求点直线距离的最大值，用参数方程表示点的坐标后问题转化不求三角函数的最大值．本题还考查了学生转化与化归能力．‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.已知函数．‎ - 18 -‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的最大值为，若，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；‎ ‎（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可 ‎【详解】（1）由题,,‎ ‎①当时恒成立,所以；‎ ‎②当时,即,所以；‎ ‎③当时,显然不成立,所以不合题意：‎ 综上所述,不等式的解集为 ‎（2）由（1）知,于是,‎ 由基本不等式可得,‎ 当且仅当时取等,所以 ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用 - 18 -‎ - 18 -‎