宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题

宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题

绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试 理科数学试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 1. 已知,是虚数单位，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知集合，则( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 3. 函数的图象大致为（ ）‎ A.B．C．‎ D．‎ 1. 设向量满足，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 2. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 3. 已知△的三个内角所对的边分别为，若，‎ 且，则△的面积( )‎ A. B. C. D. ‎ 4. ‎《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ）‎ 是 否 输出 结束 输入 开始 A. ‎ B. C. D. ‎ 5. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 1. 已知底面为长方形的四棱锥中，平面，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 2. 已知函数，，且，则（ ）‎ A. ‎ 或 B. C. D. 或 ‎ 3. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 4. 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ 5. 曲线在点处的切线方程为_________.‎ 1. 若满足约束条件，则的最大值是__________.‎ 2. 若，是第三象限角，则_______________.‎ 3. 在矩形中，，为中点，将和分别沿翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为______________.‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ （一） 必考题：共60分.‎ 4. ‎（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，，设．‎ ‎（Ｉ）证明数列是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎（ＩＩ）若，求数列的前项和.‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：‎ 艺术爱好指数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 创新灵感指数 ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5‎ （I） 求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程；‎ （II） 企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培 ‎ ‎ 训，培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为，培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为，其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？‎ 参考公式：回归方程中，.‎ 参考数据：，‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ ‎ 已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.‎ （I） 求抛物线的方程.‎ （II） 过点作抛物线的切线，是的交点，求证：点在定直线上.‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，，四边形为平行四边形，‎ 且.‎ ‎（I）证明：平面 ‎（II）当直线与平面所成角的正切值为时，‎ 求锐二面角的余弦值.‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ （I） 证明：当时，.‎ （II） 若函数在有两个零点，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．‎ 1. ‎（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.‎ （I） ‎ 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；‎ （II） 设点的直角坐标为，若直线与曲线分别交于两点，‎ 求的值.‎ 2. ‎（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ 设函数.‎ （I） 求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.‎ （II） 若集合，求实数的取值范围.‎ 绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试 理科数学试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 1. 已知,是虚数单位，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】D. 以为复数，，，所以，故选D 2. 已知集合，则( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】C 因为，‎ ‎，所以，故选C 3. 函数的图象大致为（ ）‎ A． B．C．D．‎ ‎【解析】由表达式可知，函数为偶函数，排除A，当时，为正，，所以，B正确.故选：B 1. 设向量满足，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【解析】D.由已知得，得，‎ 所以 ‎ 2. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】A. 因为双曲线的离心率为，则，所以，所以渐近线方程为，故选A .‎ 3. 已知△的三个内角所对的边分别为，若，且，则△的面积( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】B.因为，所以有正弦定理得，又因为，所以，由余弦定理得，所以，.故选B.‎ 1. ‎《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ）‎ 是 否 输出 结束 输入 开始 A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】C.‎ 2. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】 C.对八雅进行全排列，方法总数为种，满足“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的方法书为种，则所求概率为，故选C.‎ 3. 已知底面为长方形的四棱锥中，平面，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】D. 如图，去PB 中点F,连接AF，EF，因为E为PD中点，所以EF//BD，所以∠AEF（或补角）为异面直线与 所成角.由已知得，，，‎ 所以，故选D.‎ 1. 已知函数，，且，则（ ）‎ A. ‎ 或 B. C. D. 或 ‎ ‎【解析】A. 因为，所以函数图象关于对称，‎ 所以，所以或，故选A. ‎ 2. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】 B.因为函数为偶函数，为奇函数，且满足，‎ 所以，得，‎ 由得，，由于为增函数，所以当时函数取得最大值，故，即实数的最大值为，故选B.‎ 3. 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】A. 依次构成等差数列，设公差为，根据椭圆的定义得，因为，所以，所以，解得，，所以，所以在△和△中，由余弦定理得，‎ 整理得，故选A .‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ 1. 曲线在点处的切线方程为_________.‎ 答案：‎ ‎【解析】：因为，所以，所以在点处的切线方程为，即：.‎ 2. 若满足约束条件，则的最大值是__________.‎ 答案：4‎ 3. 若，是第三象限角，则_______________.‎ 答案：‎ ‎【解析】‎ 1. 在矩形中，，为中点，将和分别沿翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为______________.‎ 答案：‎ ‎【解析】由题意知，，所以，设外接圆的半径为，则有正弦定理可得，所以，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ （一） 必考题：共60分.‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，，设．‎ ‎（Ｉ）证明数列是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎（ＩＩ）若，求数列的前项和.‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：‎ 艺术爱好指数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 创新灵感指数 ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5‎ （I） 求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程；‎ （II） 企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训，培训音乐次数 对艺术爱好指数的提高量为，培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为，其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？‎ 参考公式：回归方程中，.‎ 参考数据：，‎ 解析：（I）设，有，‎ ‎（ＩＩ）员工甲经过20次的培训后，‎ ‎　　　　估计他的艺术爱好指数将达到，‎ ‎　　　　因此估计他的创新灵感指数为．‎ ‎　　　　员工乙经过20次的培训后，‎ ‎　　　　估计他的艺术爱好指数将达到，‎ ‎　　　　因此估计他的创新灵感指数为．‎ ‎　　　　由于，故培训后乙的创新灵感指数更高．‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ ‎ 已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.‎ （I） 求抛物线的方程.‎ （II） 过点作抛物线的切线，是的交点，求证：点在定直线上.‎ ‎【解析】（I）点的横坐标为，所以点的坐标为，……………2分 代入解得，所以抛物线的方程为……………4分 ‎ （ＩＩ）抛物线，则，设……………5分 ‎　　　　　　所以切线的方程为，即 ‎　　　　　　同理切线的方程为………………………………………7分 ‎　　　　　　联立解得点 ………………………………………………9分 ‎　　　　　　设直线的方程为，代入 得，所以………………………………… … 11分 所以点在上，结论得证.…………………………………………12分 1. 如图，在四棱锥中，，四边形为平行四边形，且.‎ ‎（I）证明：平面 ‎（II）当直线与平面所成角的正切值为时，求锐二面角的余弦值.‎ 解：‎ （I） 证明：∵ 四边形为平行四边形，‎ ‎ ∴，，……………………2分 ‎ ‎ ∴在△中，，∴.‎ ‎ ∴，即，……………………………………3分 ‎ 又∵平面，∴，……………………………………4分 又∵‎ ‎ ∴平面……………………………………………………………5分 （II） ‎ 由（I）知，是直线与平面所成角，，‎ ‎ ∴， 又∵平面，∴.………6分 ‎ ∴△是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则有：‎ ‎ ，………………7分 由已知是平面的法向量，………………………… …8分 设平面的法向量为，，，‎ ‎，，………………………… …10分 ‎，…………………………… …… …11分 ‎∴ 锐二面角的余弦值…………………………… …… …12分 1. 已知函数，.‎ （I） 证明：当时，.‎ （II） 若函数在有两个零点，证明：.‎ 解析：（I），……………………………2分 ‎ 当时，‎ ‎ 在区间上单调递增………………… ………………3分 ‎ ，不等式成立.………………… ……………………4分 ‎ （ＩＩ）函数在有两个零点，‎ ‎　　　　　即方程在区间上有两解，…………5分 ‎ 令，则 ‎ 令，，‎ 在区间单调递增…………………………………………6分 又，‎ 故存在唯一的实数，使得，‎ 即…………………………………………………………8分 所以在上单调递减，在区间上单调递增，‎ 且，…………………………………………………………9分 ‎，‎ 又因为，所以，…………………………………11分 方程关于的方程在上有两个零点，‎ 由的图象可知，，‎ 即.……………………………………………………………12分 ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.‎ （I） 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；‎ （II） 设点的直角坐标为，若直线与曲线分别交于两点，求的值.‎ ‎ 【解析】（I）将曲线的参数方程（为参数），‎ 化为普通方程，………………………………………………………2分 由直线的极坐标方程得：，…………4分 将代入上式得：直线的方程为，…………5分 ‎（II）因为点的直角坐标为在直线上，‎ 可设直线的参数方程为(为参数），………………………………7分 与曲线的方程联立，化简得：，，设对应的参数分别为，则………………………………………………………8分 故…………………………………………………10分 1. ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ 设函数.‎ （I） 求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.‎ （II） 若集合，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）因为 当且仅当，即时，上式等号成立，‎ 故函数的最小值为3，‎ 且取得最小值时的取值范围是.………………………………4分 （2） 因为，所以 函数化为……………………6分 令，其图像为过点,斜率为的一条直线.‎ 如图，‎ 则直线的斜率为，‎ 直线的斜率为，………………………………8分 因为，所以，即.‎ 所以的取值范围为………………………………10分